专题26.5反比例函数与一次函数综合问题大题专练（重难点培优）-2022-2023学年九年级数学下册尖子生培优题典

20212022学年九年级数学下册尖子生培优题典【人教版】专题26.5反比例函数与一次函数综合问题大题专练（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________一、解答题（共24题）1．（2022·广西·北海市外国语实验学校九年级阶段练习）如图，已知点A(a，2)，B(-1，b)是直线y=2x-6与反比例函数(1)求该反比例函数的解析式；(2)连接OA、OB，求(3)根据图像，直接写出不等式2x-6>m【答案】(1)反比例函数的解析式为y=8(2)SΔ(3)不等式2x-6>mx的解集-1≤x<0或【分析】（1）由一次函数的解析式求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）由于直线AB与y轴交于点C，所以三角形AOB的面积是三角形AOC和三角形OCB的面积之和，依此列式计算即可；（3）根据图像求解即可．【详解】（1）解：∵点A(a，2)，∴2=2a-6，∴a=4，∴A(4，把A的坐标代入y=mx得，∴m=8，∴反比例函数的解析式为y=8（2）解：∵直线AB与y轴交于点C，∴当x=0时，y=-6．∴点C(0，∴OC=6，∴SΔ（3）解：观察图像，不等式2x-6>mx的解集为：-1≤x<0或【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，利用待定系数法确定反比例函数的解析式，三角形的面积以及函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．2．（2022·北京市第十九中学三模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)经过点，A(0,-1)，B(3,2(1)求这个一次函数的解析式；(2)①当双曲线y=mx(m≠0)经过点B②当x>3时，对于x的每一个值，永远有kx+b-mx>1(k≠0)【答案】(1)y=x-1(2)①6；②m≤3且m≠0【分析】（1）待定系数法求解析式；（2）①将点B坐标代入解析式即可；②解不等式kx+b-mx>1，x=3时求出m（1）解：将点A0,-1，B得3k+b=2b=-1解得k=1b=-1∴一次函数解析式：y=x-1；（2）解：①将点B3,2得m=3×2=6．②当x=3时，y=kx+b-1=3-1-1=1，∴m=3×1=3，∴满足条件的m的取值范围是：m≤3且m≠0．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键．3．（2022·北京市三帆中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=mx+4+mm≠0的图象与y轴交于点C，与反比例函数y=kxk≠0的图象交于点(1)求反比例函数的表达式；(2)当BC=AC时，直接写出关于x的方程mx(3)当BC≤2AC时，求m的取值范围．【答案】(1)y=-(2)x1=1(3)当m≥2或-2≤m＜0【分析】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n=4，代入反比例函数解析式可求k，即可求解；（2）由题意可得点C为原点，可求m=-4，代入方程可求解；（3）分类讨论求解，分当m＜0时与当m＞0两种情况求解，当BC=2AC时，三角形想似，可求出点（1）解：∵一次函数y=mx+4+mm≠0的图象与y轴交于点C，与反比例函数y=kxk≠0的图象交于点∴n=-m+4+m，∴n=4，∴点A-1,4∴k=-1×4=-4，∴反比例函数的表达式为y=-4（2）解：当BC=AC时，则点C是AB的中点，∴点C为原点，∴0=4+m，∴m=-4，∴方程mx2+∴x1=1（3）解：如图，当m＜0时，过点A作AN⊥x轴，过点B作BN⊥AN于N，过点C作CM⊥AN于当BC=2AC时，∵AN⊥x轴，BN⊥AN，∴∠AMC=∠AMB=90°，∵CM∥BN，∴∠ACM=∠ABM，∴△ACM∽△ABN，∴AC∴BN=3，∴B2将点B2,-2代入y=mx+4+m∴m=-2，根据图象可知，当-2≤m＜0时，如图，当m＞0时，过点A作AN⊥y轴于N，过点B作当BC=2AC时，AB=AC，即点A是BC的中点，∵AN⊥y轴，BN⊥y轴，∴∠ANC=∠BMC=90°，∵∠ACN=∠BCM，∴△ACN∽△BCM，∴ACBC∴BM=2，∴B-2将点B-2,2代入y=mx+4+m∴m=2，根据图象可知，当m≥2时，BC≤2AC，综上，当m≥2或-2≤m＜0时，【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题、函数图象上点的坐标的特征、函数与方程的关系以及相似三角形的判定与性质，找到临界状态时k的值是解决问题的关键，同时渗透了数形结合的思想．4．（2022·重庆巴蜀中学九年级阶段练习）如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式，并在图中作出该反比例函数的图象．(2)根据图象，直接写出满足k1x+(3)请自己作图：连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求△ABC【答案】(1)y=x-2(2)-1≤x<0(3)8【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数y=（2）观察图象可得当-1≤x<0或（3）过点C作CD⊥x轴交AB于点D，求出D的坐标，即可求得CD=4（1）解：把点A3,1代入yk2∴反比例函数的解析式为y=把B-1,n代入y=∴点B-1,-3把点A3,1，B3k1+∴一次函数的解析式为y=对于y=当x=12时，y=6；当x=2时，y=32；当画出反比例函数图象，如下：（2）解：观察图象得：当-1≤x<0或∴满足k1x+b≥k（3）解：如图，过点C作CD⊥x轴交AB于点∵点B与点C关于原点对称，B∴点C1,3对于y=x-2，当x=1∴点D1,-1∴CD=4∴SΔ【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用．5．（2022·山东师范大学第二附属中学九年级阶段练习）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)根据图象，直接写出满足kx+b≥(3)连接OA、OB，求【答案】(1)y=6(2)1≤(3)8【分析】（1）将点A(1,6)代入y=mx，求出m的值，再将B(3,n)（2）找出图象中反比例函数图象不高于一次函数图象部分对应的x的取值范围；（3）设直线y=2x+8与y轴交于点C，连接OA，求得C（1）（1）将点A(1,6)代入y∴m=6∴y=将B(3,n)∴n=2∴B(3,2)将A(1,6),B(3,2)∴k+解得k=-2∴y=（2）解：根据图象可知使kx+b≥mx成立的（3）解：设直线y=2x+8与y轴交于点C令x=0，可得y∴C(0,8)∴S==8．【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数交点的问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．6．（2022·安徽·合肥市小庙中学九年级阶段练习）如图，一次函数y=-x+b的图象与反比例函数y=-kx(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若直线y=4与直线AB交于点C，与双曲线交于点D，根据图象，直接写出不等式-【答案】(1)一次函数的表达式为y=-x-4(2)不等式-x+b【分析】（1）运用待定系数法求出在一次函数的表达式，从而求出点A的坐标，再运用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；（2）根据反比例函数的性质求出点D的横坐标，然后根据函数的图象即可求得．（1）解：由点B-4,0在一次函数y=-x∴一次函数的表达式为y=-由点A-6,m在y=-∴A-6,2把A-6,2代入y=-k∴反比例函数的表达式为：y=-（2）解：y=4，即y当yD=4时，4=-12观察图象，不等式-x+b【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及反比例函数与一次函数图象交点的问题，求得点的坐标是解题的关键．7．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校九年级阶段练习）如图1，一次函数AB：y=12x+1的图象与反比例函数y=kx（x＞0）大的图象交于点A（a，3），与y轴交于点(1)求a，k的值．(2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC=AD．①如图2，连接OA，OC，求△OAC的面积．②点P在x轴上，若以点A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，写出符合条件的点P的坐标．【答案】(1)a=4，k=12(2)①9；②P（3，0）或P（19，0）或P（﹣19，0）或P（4+11，0）或P（4－11，0）【分析】（1）将点A的坐标代入y=12x+1求得a，再把点A坐标代入y=kx求出（2）①设C（m，n），D（z，0），利用中点坐标公式求出m，n，s的坐标，进而求得△OAC的面积；②根据等腰三角形的定义分3种情况，结合勾股定理求解．【详解】（1）解：将（a，3）代入y=12x3=12aa=4将（4，3）代入y=k∴k=12（2）解：①∵AC=AD，A（4，3），设C（m，n），D（z，0），由中点公式知：n+02=3，m+z2n=6，将n=6代入y=12xm=2，∴z=6，∴△OAC的面积=6×6÷2－6×3÷2=9；②设P（s，0），当x=0时，y=0+1=1，∴B（0，1），∵A（4，3），∴当PA=PB，（s-4）2+32=解得s=3，∴P（3，0），当PB=AB，s2+12=42+解得s=±19，∴P（19，0）或P（﹣19，0）．当PA=AB，（s-4）2+32=解得s1=4+11，s1=4－∴P（4+11，0）或P（4－11，0）．综上可知，P（3，0）或P（19，0）或P（﹣19，0）或P（4+11，0）或P（4－11，0）．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，等腰三角形的定义，勾股定理，中点坐标公式，解决问题的关键是画出图形，全面分类．8．（2022·安徽·合肥市第四十八中学九年级阶段练习）如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于两点A(1)求反比例函数和一次函数的函数表达式；(2)直接写出：不等式kx+b≥(3)求△AOB【答案】(1)反比例函数表达式为y=3(2)-3<x<0(3)4【分析】（1）将B(-3，-1)代入y=m（2）根据求不等式kx+b≥mx的解集，即为求一次函数y（3）由一次函数表达式可求出C点坐标，再根据S△（1）解：将B(-3，-1)代入y解得：m=3∴反比例函数表达式为y=将A(1，n)代入∴A(1将A(1，3)，B(-3，解得：k=1∴一次函数表达式为y=（2）∵求不等式kx+b≥mx的解集，即为求一次函数y又由图象可知当-3<x<0和x>1时一次函数y∴不等式kx+b≥mx（3）对于y=x+2，令x∴C(0∴S△【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，一次函数与几何的综合．利用数形结合的思想是解题关键．9．（2022·湖南·李达中学九年级阶段练习）如图，一次函数y=mx+nm≠0的图象与反比例函数y=kxk≠0的图象相交于第二、四象限内的点A-2,a(1)分别求出a和b的值；(2)结合图象直接写出mx+(3)在x轴上取一点P，当PA-PB取得最大值时，求【答案】(1)a=4，(2)-2<x<0(3)P【分析】（1）利用k的几何意义，求出反比例函数解析式，再求出A,（2）根据图象，找到双曲线在直线上方时，x的取值范围即可；（3）作B关于x轴的对称点B'，连接AB'，交x轴与点P，求出直线A（1）解：由S△AOC=4=∵反比例函数y=∴k=-8∴反比例函数：y=将A-2,a，Bb解得a=4，b（2）由（1）知A-2,4，B结合图象可知mx+n<kx（3）解：作B关于x轴的对称点B'8,1，连接AB'交x轴与点则PA当且仅当，A，B'，P三点共线时，取“=”号，有最大值设AB代入A-2,4，B有4=-2c+d∴AB取y=0，得x∴P34故当PA-PB取得最大值时：．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，是解题的关键．10．（2022·全国·九年级单元测试）如图，一次函数y1=kx+bk≠0与反比例函数y2=mxm≠0的图像交于点(1)求一次函数和反比例函数的解析式．(2)在x轴上求一点N，当△ABN的面积为3时，则点N的坐标为______．(3)将直线y1向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值y1【答案】(1)y1=x+1(2)1,0或-3,0(3)-2<x<-1或1<x<2【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数可求得反比例函数解析式，进而求得点B坐标，进而把A、B坐标代入一次函数解析式可求得一次函数的解析式．（2）首先求得直线AB与x轴的交点P的坐标，设点N坐标为（0，n），进而可确定△APN和△BPN三角形的底和高，再根据三角形面积求得点N的坐标即可；（3）由题意可得直线y3（1）解：∵y2=m∴m=1×2=2，即反比例函数解析式为y2当y2=-1时，a=-2，即∵y1=kx+b过A1,2可得k+b=2-2k+b=-1，解得k=1∴一次函数解析式为y1（2）如下图，设点P为一次函数y1=x+1与当y1=0时，有∴点P的坐标为（1，0），设点N的坐标为（n，0），则PN=n-(-1)∵S===3∴PN=n+1解得n=1或n=-3，∴点N的坐标为N1,0或-3,0故答案为：N1,0或-3,0（3）如图，设y2与y3的图像交于C、∵y1向下平移两个单位得y3，且∴y3将直线y3得y=x-1y=2x，解得x=-1∴C-1,-2，D在A、D两点之间或B、C两点之间时，存在y1∴当函数值y1>y2>y3【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合，解题关键是熟练运用待定系数法求出解析式，利用数形结合思想解决问题．11．（2022·江苏泰州·八年级期末）如图，直线y=x+b与双曲线y=kx（k为常数，k≠0）在第一象限内交于点A(2，4)，且与x轴，y轴分别交于(1)求直线和双曲线的解析式；(2)点P在坐标轴上，且△BCP的面积等于8，求P点的坐标；(3)将直线AB绕原点旋转180°后与x轴交于点D，与双曲线第三象限内的图像交于点E，猜想四边形ABED的形状，并证明你的猜想．【答案】(1)y=8x(2)(6,0)，(-10,0)，(0,-6)或(0,10)(3)平行四边形，理由见解析【分析】（1）将点A(2，4)代入直线y=x+b与双曲线y=kx求出（2）利用解析式求出B、C的坐标，分类讨论：当P在x轴、y轴上时，可求出P点的坐标；（3）根据：对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证．（1）解：把A(2，4)代入双曲线y=8x（k为常数，∴双曲线的解析式为y=把A(2，4)代入直线y=x+b，可得∴直线的解析式为y=x+2；（2）在y=x+2中，令y=0，则x=-2；令x=0，则y=2，∴B(-2，0)①当P在x轴上时，设P点的坐标为x，∵△BCP的面积等于8∴12|x-(-2)|×2=8，解得x=6或∴P点的坐标为(6，0)或②当P在y轴上时，同理可得P点的坐标为(0，-6)综合①②，P点的坐标为(6，0)，(-10，0)，（3）四边形ABED为平行四边形．理由如下：∵A(2,4)，B(-2,0)绕原点旋转180°后对应的的坐标为(-2，-4)设旋转后的直线解析式为y=mx+n∴解得m=1∴旋转后的直线解析式为y=x-2，∴D(2由反比例函数的对称性可知：E(-2，即OB=OD，OA=OE，∴四边形ABED为平行四边形．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合、待定系数法求解析式、三角形面积、平行四边形的判断、旋转，涉及数形结合、分类讨论思想，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象性质是解题的关键．12．（2022·山东威海·九年级期末）如图，一次函数y＝x＋4的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于A（－1，a），B两点，与x轴交于点(1)直接写出结果：k＝，点B的坐标为；(2)若点P在x轴上，且SΔACP=3【答案】(1)3；（3，1）(2)（0，0）或（8，0）【分析】（1）利用点A在y=x+4上求a，进而代入反比例函数y=kx求k，然后联立方程求出交点（2）设出点P坐标表示三角形面积，列出方程，即可求出P点坐标．（1）解：把点A（1，a）代入y=x+4，得a=3，∴A（1，3），把A（1，3）代入反比例函数y=k∴k=-3；∴反比例函数的表达式为y=-3联立两个函数的表达式得y=-3解得x=-1y=3或x=-3∴点B的坐标为（3，1）．故答案为：3；（3，1）．（2）当y=x+4=0时，得x=-4，∴点C（4，0），设点P的坐标为（m，0），∵S△ACP∴12解得m1=0，∴点P的坐标为（0，0）或（8，0）．【点睛】本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达式．13．（2022·辽宁·大连市第九中学九年级阶段练习）如图，直线y1=k1x(1)求直线和双曲线的表达式；(2)根据图象，直接写出满足关于x的不等式k1【答案】(1)直线的解析式为y1=(2)不等式k1x+b【分析】（1）把点A(1,2)代入双曲线y2=k2（2）由不等式k1（1）解：∵点A(1,2)在双曲线y∴k2∴双曲线的表达式为y2=将点B(m,-1)得m=-2∴点B的坐标为(-2,-1)．将点A(1,2),B(-2,-1)得k1解得k1=1∴直线的解析式为y1（2）由图象可知，不等式k1x+b<【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，利用图象的交点坐标结合函数图象确定不等式的解集，掌握数形结合的方法解题是关键．14．（2022·山东省济南第五十六中学九年级阶段练习）如图，点A（－4，n）和B（2，－4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=(1)求反比例函数和一次函数的表达式．(2)观察图象，当x＞0时，直接写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围．(3)求△AOB的面积．【答案】(1)y=-8(2)x＞2(3)6【分析】（1）先把B点坐标代入y=mx求出m（2）观察函数图象得到当x＞2时，反比例函数图象都在一次函数图象上方，依此可求反比例函数值大于一次函数值x取值范围；（3）根据x轴上点的坐标特征确定C点坐标，然后根据△AOB的面积=SΔ（1）将B（2，－4）代入y=mx得m=2×（－4）=－8∴y=－8将A（－4，n）代入y=－8x得－4n=－8解得n=2，则A点坐标为（－4，2），将A（－4，2）和B（2，－4）代入y=kx+b得：-4k解得k=-1即y=－x－2．（2）由图象可知，当x＞0，反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围x＞2．（3）当y=0时，－x－2=0，解得x=－2，则C点坐标为（－2，0），所以△AOB的面积=S=12×2×2+1=6．【点睛】本题考查了求反比例函数和一次函数的表达式，利用函数图象求不等式的解集，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练运用数形结合是解题的关键．15．（2022·湖南·安化县冷市镇中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=-32x与反比例函数y=kx的图象在第二象限交于点A(1)求反比例函数的解析式；(2)点B的坐标为(3,0)，若点P在y轴上，且△AOB的面积与△AOP的面积相等，直接写出点P的坐标．【答案】(1)y=-(2)0,92【分析】（1）点A的横坐标为2，可得A的纵坐标为3，把点A（－2,3）代入y=kx即可求得（2）三角形APO的底为OP的长，高为A点的横坐标的绝对值，由面积相等得到等式，解得OP的值即可，此时应考虑y的正负半周两种情况．（1）解：∵点A的横坐标为2，且点A在正比例函数y=-3∴点A的纵坐标为-3把点A（－2,3）代入y=kx，得解得k=-6，∴反比例函数的解析式为y=-6（2）解：∵S△AOP=1S△AOB=12又∵△AOB的面积与△AOP的面积相等，∴OP=∴点P的纵坐标为92或-∴点P的坐标为0,92或【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，解题的关键是求面积相等的有关问题中，需要考虑多种情况．16．（2022·江苏·靖江市实验学校八年级阶段练习）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=6x(x>0)的图像交于A（m，6），B（n(1)求一次函数的解析式；(2)根据图像直接写出kx+b-6x<0(3)若M是x轴上一点，且△MOB和△AOB的面积相等，求点M坐标．【答案】(1)y=3x+9(2)0<x<1或x>2(3)M（3，0）或M（3，0）【分析】（1）先根据反比例函数的表达式求出点A和点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数的表达式即可；（2）观察图像，一次函数的图像在反比例函数的图像下方，写出x的取值范围即可；（3）求出一次函数与x轴的交点P的坐标，根据SΔAOB=SΔAOP（1）解：∵点A和点B在反比例函数的图像上，∴当y=6时，6=6x，解得：x=1，当y=3时，3=6x∴A（1，6），B（2，3），把点A和点B代入y＝kx+b，6=k+b3=2k+b，解得：k=-3∴一次函数的解析式为：y=3x+9．（2）∵kx+b-6∴kx+b<6∵点A的横坐标为1，点B的横坐标为2，由图可知：当0<x<1时或x>2时，kx+b<6∴x的取值范围时：0<x<1或x>2．（3）令一次函数与x轴交于点P，当y=0时，0=3x+9，解得：x=3，∴P（3，0）∵点A到x轴的距离为6，点B到x轴的距离为3，∴SΔAOB=∵SSΔMOB=1∴M（3，0）或M（3，0）【点睛】题考查一次函数与反比例函数的交点、待定系数法、一元一次不等式等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用图像解决问题，学会构建方程解决问题．17．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图，反比例函数y＝mx的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（n，1(1)求反比例函数的关系式与n的值；(2)求不等式kx+b﹣mx＜0(3)线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AB1，求出点B1的坐标．【答案】(1)y=8x，n(2)0＜x＜2或x＞8(3)B1（1,2【分析】（1）把点A的坐标为（2,6），代入可求出反比例函数的关系式，进而确定点B的坐标，得出答案；（2）根据图象直接得出答案；（3）过点A、B分别作y轴、x轴的平行线，两条平行线相交于点C，得到△ABC，画出旋转后的图象得到△AB1C1，B1C1交（1）把点A的坐标为（2，4），代入反比例函数y＝mx得：m＝2×4＝8∴反比例函数的关系式为y=8把B（n,1）代入y=8x得，n＝即反比例函数的关系式为y=8x，n＝（2）根据（1）的结果可知B(8,1)，将不等式kx+b-mx＜则该不等式的意义为：当一次函数图象在反比例函数图象下方时，自变量的取值范围，根据两个函数的图象，结合A(2,4)、B(8,1)，可得不等式kx+b-mx＜0的解集为：0＜x＜2或（3）如图，过点A、B分别作y轴、x轴的平行线，两条平行线相交于点C，得到△ABC，AC∥y轴，∵A(2,4)、B(8,1)，AC∥y轴，∴C点的横坐标与A点相等，纵坐标与B点相等，∴C点坐标为(2,1)，则AC=yA-将△ABC绕着点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，B1根据旋转的性质有：∠CAC1=90∘∴AC1=3∵AC∥y轴，BC∥∴AC1∥则OD=AC1-则点B1∴B1（1,2故答案为：B1（1,2【点睛】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，旋转的性质等知识，把点的坐标代入是常用的方法，旋转前后线段之间的关系以及线段与坐标之间的相互转化是解决问题的关键．18．（2021·湖南·永州柳子中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y1=k1x+b与双曲线y2=k2x相交于A（2(1)求y1，y(2)根据函数图像，直接写出关于x的不等式k1x+b<(3)过点B作BP//x轴交y轴于点P，在x轴上是否存在点Q，使得△ABQ的面积等于△ABP的面积的一半，若存在求出Q点的坐标．【答案】(1)y1=-x+1(2)-2<x<0或x>3(3)存在，52,0【分析】（1）把A（2，3），B（m，2）两点代入y2=k2x求得k2，m值，便可求得（2）根据图像即可求得；（3）先求出直线与x轴交点C的坐标及BP=3，要△ABQ的面积等于△ABP的面积的一半，只要Q点与点C的距离QC=12（1）解：∵直线y1=k1x+b与双曲线y2=k2x相交于A（∴k2∴k2∴双曲线的表达式为：y2=-6x，B（把A（2，3），B（3，2）代入y1-2k解得：k1∴直线的表达式为：y1（2）解：由图像可知，直线在A点的右边与y轴的左侧部分或在B点的右边部分，在双曲线下方∴-2<x<0或x>3．（3）解：如下图，∵BP//x轴，B（3,2），∴BP=3由y1=-x+1，令-x+1=0解得：x=1．∴C点的横坐标为1，∴要△ABQ的面积等于△ABP的面积的一半，只要QC=12设Q(所以xQ-1=解得：xQ=∴Q点坐标为(52,0)【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例、一次函数解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，以及直线与双曲线的位置关系，三角形的面积，数形结合是解题关键．19．（2022·浙江金华·八年级期末）已知反比例函数y1=kx和(1)如图，若直线y=x+1交反比例函数y1=kx在第一象限于点A，交x轴于点B，且(2)若点P(2-a,-1)和Q(2-b,-2)是反比例函数y1=kx图像上两点，请比较(3)若n>0，且满足n≤x≤n+1时，函数y1最大值为2n；当n+2≤x≤n+3时，函数y2最小值为-n．求当x为何值时，【答案】(1)k=2(2)a>b，见解析(3)x=2.5或x=3【分析】（1）将y=0代入y=x+1解得：x=﹣1，BO=1，设A点纵坐标为y，由S△OAB=1，则可列式12×1⋅y=1，解得y=2，将y=2代入y=x+1中得：2=x+1，解得：x=1，故A点坐标为：（1，2），将（1，2）代入y（2）由（1）知k=2，故函数解析式为：y1=2x，将P(2-a,-1)代入y1=2x中得：-1=22-a，可解得：a=4则a＞b；（3）由n>0，且满足n≤x≤n+1时，函数y1最大值为2n，故函数y1在n≤x≤n+1区间上时递减的，则当x=n是，函数值最大为2n，则2n=2n，解得：n当3≤x≤4时，函数y2最小值为-1，可分为两种情况讨论：y2在3≤x≤4区间内递增时，x=3时取最小值-1，当y2在3≤x≤4区间内递减时，x=4（1）解：将y=0代入y=x+1中得：0=x+1，解得：x=﹣1，∴BO=1，设A点纵坐标为y，∵S△OAB∴12×1⋅y=1，解得将y=2代入y=x+1中得：2=x+1，解得：x=1，故A点坐标为：（1，2），将（1，2）代入y1=kx（2）由（1）知k=2，故函数解析式为：y1将P(2-a,-1)代入y1=2x中得：-1=将Q(2-b,-2)代入y1=2x中得：-2=∴a＞b；（3）解∵n>0，且满足n≤x≤n+1时，函数y1最大值为2n故函数y1在n≤x≤n+1∴当x=n是，函数值最大为2n，故2n=2n，解得：n=±1（舍去﹣当3≤x≤4时，函数y2最小值为-1当y2在3≤x≤4区间内递增时，x=3时取最小值-1代入y2=-kx中，得-1=-∴函数解析式为：y2此时y1-y2=2，即为：当y2在3≤x≤4区间内递减时，x=4时取最小值-1代入y2=-kx中，得-1=-∴函数解析式为：y2此时y1-y2=2，即为：故答案为：x=2.5或x=3．【点睛】本题考查求一次函数的解析式以及图象，反比例函数的解析式以及图象的增减性，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．20．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A-6,0，D-7,3，点B、(1)点B的坐标_________；(2)将正方形ABCD以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B'、D'正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时(3)在（2）的情况下，问是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、【答案】(1)-3,1(2)t=9，y=(3)存在，点P、Q的坐标为P132,0、Q32,4或P7,0、Q3,2或P(7【分析】（1）过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE≌△BAF，从而得出DE=AF，AE=BF，再结合点A、D的坐标即可求出点B的坐标；（2）设反比例函数为y=kx，根据平行的性质找出点B′、D′的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，6n）．分B′D′为对角线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m、n（1）解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，如图1所示．∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°，∵∠EAD+∠ADE=90°，∠EAD+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF．在△ADE和△BAF中，∠AED∴△ADE≌△BAFAAS∴DE=AF，AE=BF．∵点A-6,0，D∴DE=3，AE=1，∴点B的坐标为-6+3,0+1，即-3,1．故答案为：-3,1．（2）设反比例函数为y=k由题意得：点B'坐标为-3+t,1，点D'坐标为∵点B'和D∴k=-3+t解得：t=9，k=6，∴反比例函数解析式为y=6（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，6n以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：①B′D′为对角线时，∵四边形B′PD′Q为平行四边形，∴6n解得：m=13∴P（132，0），Q（32，②当B′D′为边时．∵四边形PQB′D′为平行四边形，∴m-n=6-26解得：m=7n=3∴P（7，0），Q（3，2）；∵四边形B′QPD′为平行四边形，∴n-m=6-20-解得：m=-7n=-3∴P（7，0）、Q（3，2）.综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形，符合题意的点P、Q的坐标为：P（132，0）、Q（32，4）或P（7，0）、Q（3，2）或P（7，0）、Q（3，【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出△ADE≌△BAF；（2）找出关于k、t的二元一次方程组；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键．21．（2022·浙江杭州·八年级期末）在直角坐标系中，设反比例函数y1=k1xk1≠0与一次函数y2=k2x+b((1)求m的值和一次函数y2(2)当y1>y(3)把函数y2的图象向下平移n（n>0）个单位后，与函数y1的图象交于点p1,q1和p2【答案】(1)m=4；y(2)x<-2或0<x<1(3)n=4；p【分析】（1）由B的坐标代入y1=k1x（2）根据图像即可求得；（3）根据反比例函数图像上点的坐标特征，求得q1=-4，由y=2x+2n过点（l，4)，即可求得n=4，根据反比例函数图像上点的坐标特征即可求得（1）解：∵过点A1,m，把B-2,-2代入反比例函数∴-2=k∴k1∴y把点A1,m代入反比例函数y∴m=4∴m=4，∴A1,4把A、B的坐标代入y2=k解得k2∴一次函数y2的表达式为：y（2）观察图像，当y1>y2时，x的取值范围（3）依题意得：把点-1,q1代入y1∴函数y2的图像向下平移nn>0个单位后得到y=2x+2-n，且过点∴-4=-2+2-n，∴n=4，∵点p2,q∴q2∴p2【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数的解析式，掌握函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与平移变换，是解题的关键．22．（2022·重庆一中八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，OA=OB=15OC=2，经过A，B两点的直线与反比例函数y=kx在第一象限内的图象交于点D，经过A，C两点的直线与反比例函数y=kx在第一象限内的图象交于点E(1)求直线AC的解析式及E点的坐标；(2)若y轴上有一动点F，直线AB上有一动点G．当EG+22AG(3)如图2，若y轴上有一动点Q，直线AB上有一动点P，以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出P点到直线AC的距离．【答案】(1)（1，15）(2)2(3)122613或4【分析】（1）先确定出点A，C坐标，再用待定系数法求出直线AC的解析式，再用待定系数法出反比例函数解析式，联立求出点E坐标；（2）先判断出GH=22AG，进而判断出EH垂直于x轴时，EG+22AG最小，进而求出点G坐标，再判断出点F在EG'（3）分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求出点P坐标，最后用三角形的面积求出点P到直线AC的距离．（1）解：∵OA=OB=15OC=2∴A（2，0），B（0，2），OC=10，∴C（0，10），设直线AC的解析式为y=mx+10，∴2m+10=0，解得m=5，∴直线AC的解析式为y=5x+10①，∵点D（3，5）在反比例函数y=k∴k=3×5=15，∴反比例函数解析式为：y=15联立①②解得：x=1y=15∴点E在第一象限内，∴点E坐标为：（1，15）；（2）如图1，由（1）值，A（2，0），B（0，2），代入y=kx＋b中，可得k=1，b=2，∴直线AB的解析式为：y=x+2，过点G作GH⊥x轴于点H，∵OA=OB，∴∠OAB=45°，∴GH=22∴EG+2点G在EH上，且EH⊥x轴，即G（1，3）时，EG＋22AG最小，如图作点G（1，3）关于y轴的对称点G'，连接FG'∴G'（1，3），连接EG'交y此时，△EFG的周长最小，其值为：EG＋即△EFG的周长最小值为237（3）解：由（2）知，直线AB的解析式为y=x+2，设P（p，p+2），Q（0，q），∵以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形，D（3，5），E（1，15），①当PQ与DE为对角线时，12∴p=4，∴P（4，6），如图3，过P作PK⊥AC于K，∵A（2，0），C（0，10），∴AC=226∴S△A