2023-2024学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）第五章 轴对称与旋转（知识归纳+题型突破）（解析版）

第五章轴对称与旋转（知识归纳+题型突破）1、通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分．2、能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形．3、理解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质．4、认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形．5、通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.探索它的基本性质：一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.6、了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.7、探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质.8、认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。2.性质：（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。（2）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。3.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。（图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。）4.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。5．中心对称图形与中心对称：中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。6.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形是全等形。关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

题型一轴对称【例1】（2024·湖南永州·一模）下列图标是第十九届杭州亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．根据轴对称概念可知，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，据此分析解答．【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：A．【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，（1）轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，那么如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上．利用轴对称的性质对各选项进行判断即可．【详解】解：∵与关于直线对称，∴，，，与不一定平行，故A、B、C项一定正确，不符合题意，D项不一定正确，符合题意．故选：D．【例3】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，若最外面大圆的面积为，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了轴对称的性质、圆的认识等，能够结合图形得出阴影部分的面积和大圆面积之间的关系是解题的关键．根据图形可以看出阴影部分的面积是总面积的一半，即可求解．【详解】解：根据题意，得阴影部分的面积为，故选：B．【例4】（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（

）

A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋【答案】B【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：

该球最后落入2号袋．故选：B．【例5】（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，为一条长方形纸带，，将沿折叠，A，D两点分别与，对应，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知折叠的性质及平行线的性质是解决问题的关键．如图，由折叠的性质可知，已知，根据两直线平行，内错角相等可得，从而可得答案．【详解】解：如图，由折叠的性质可知，∵，，∴，∴，∴，即；故选C．【例6】（22-23八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图所示，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于M，交于N，，则的周长为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得，，则的周长为：，即可得．【详解】解：∵P点关于、的对称点，，∴，，则的周长为：，故选：C．【例7】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）作图题：(1)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．在图中画出关于直线对称的．（要求：与，与，与相对应）(2)如图是由个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中个小正方形涂黑，请用种不同的方法分别在图中再将个小正方形涂黑，使图案成为轴对称图形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查轴对称变换作图，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．（1）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称图形；以直线为对称轴，分别作点的对称点，的对称点，的对称点，顺次连接，即可解答；（2）根据轴对称图形的性质先确定一个对称轴，再找出已涂黑小正方形的关键点的对称点，画出图形即可，因为对称轴有很多种，所以图形就有很多种．【详解】（1）解：如图，先在格点上找出点，，的对称点，，，分别连结，，，就是关于直线的对称图形．（2）解：再将个空白的小正方形涂黑，使图案同时也成轴对称的关系，如下图所示．

巩固训练：1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图所示的四幅图案中，轴对称图形的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了轴对称图形的识别；如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此判断即可．【详解】解：所给图案中，第1、2、4个图形是轴对称图形，有3个，故选：C．2．（23-24八年级上·广东湛江·期中）下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本题考查轴对称的定义，根据轴对称的定义（如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称）进行逐一判断即可：【详解】解：根据轴对称的概念，A、B、C都不成轴对称，不符合题意；只有D成轴对称，符合题意．故选：D．3．（2024八年级·全国·竞赛）下列说法正确的是（

）A．两个图形关于某条直线对称，它们的对称点一定在这条直线的两侧B．两个全等的三角形一定关于某条直线对称C．线段是轴对称图形，它的对称轴只有它的垂直平分线D．在平面内任意的两条直线所组成的图形一定是轴对称图形【答案】D【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形和全等图形的定义，解题的关键是熟练掌握对称轴的性质，学会利用轴对称解决问题．根据轴对称的性质和定义，对选项进行逐一分析，选择正确答案即可．【详解】解：A.两个图形关于某条直线对称，它们的对称点不一定在这条直线的两侧，原说法错误，故此选项不符合题意；B.两个全等的三角形不一定关于某条直线对称，原说法错误，故此选项不符合题意；C.线段是轴对称图形，它的对称轴有两条，分别是线段的垂直平分线和线段本身所在的直线，原说法错误，故此选项不符合题意；D.在平面内任意的两条直线所组成的图形一定是轴对称图形，原说法正确，故此选项符合题意；故选：D．4．（23-24八年级上·陕西商洛·期中）如图，和关于直线l对称，连接，在直线l上任取一点O，连接，，下列结论中，不一定正确的是（

）

A． B．C．l垂直平分 D．【答案】A【分析】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；根据轴对称的性质及全等三角形的概念进行求解．【详解】解：∵和关于直线l对称，∴，l垂直平分，，∴只有A选项不一定成立；故选A．5．（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，中，点在边上，点关于，对称的对称点分别为，，连接，．如图所示，的度数是（）度

A．113 B．124 C．129 D．134【答案】D【分析】本题考查的是轴对称的性质及三角形内角和定理，熟知关于轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分是解题的关键．由点和点分别是点关于和的对称点，得，，再根据，求出的度数，进而可求出答案．【详解】解：如图，连接，，，

点和点分别是点关于和的对称点，，，，，，，故选：D6．（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，两条平行直线，，从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【详解】解：如图，∵从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，∴，∵，∴，∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为．故选：A．7．（2023·河北衡水·模拟预测）如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（

）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【答案】B【分析】利用轴对称变换的性质判断即可．【详解】解：如图，过点P，点B的射线交于一点O，故选：B．8．（2024·湖北襄阳·模拟预测）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查图形对称轴的识别，根据轴对称图形的定义，图形结合，即可求解．【详解】解：A、圆是轴对称图形，有无数条对称轴；B、有两条对称轴；C、有两条对称轴；D、有四条对称轴；∴圆的对称轴条数最多，故选：A．9．（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）下列图形中，是轴对称图形且只有一条对称轴的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本题主要考查轴对称图形的概念及对称轴的数量．图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念及对称轴的数量逐一进行分析即可．【详解】解：A选项中，图形是轴对称图形，但是有4条对称轴，故该选项不符合题意；B选项中，图形是轴对称图形，但是有8条对称轴，故该选项不符合题意；C选项中，图形是轴对称图形，且只有一条对称轴，故该选项符合题意；D选项中，图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；故选：C．10．（23-24八年级上·河南信阳·期中）小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示，则现在的实际时间为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．【详解】解：∵是从镜子中看，∴对称轴为竖直方向的直线，∵2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，∴这时的时刻应是．故选：C．11．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出个．【答案】3【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握定义是解题的关键．【详解】根据题意，画图如下：有，，，共3个三角形，故答案为：3．12．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，在Rt纸片中，，，，将Rt纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边上的点E处，为折痕，则下列四个结论：①平分；②；③；④的周长为4．其中正确的有．

【答案】①②④【分析】本题主要考查了折叠问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键解答此题先由折叠的性质得出，，和三角形的周长计算方法，再由此对结论进行判断即可．．【详解】解：①由折叠的性质得：，则平分，故①正确；②由折叠的性质得：，故②正确；③由于在中，，，，所以不等于，和不相等，故③不正确；④的周长，由折叠的性质得，，所以，的周长，故④正确；故答案为：①②④．13．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）如图所示，有一个英语单词，四个字母都关于直线对称，请依据轴对称知识分析后，拼写出这个单词．【答案】【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质，即可解题．【详解】解：根据轴对称的性质可得出这四个字母分别是“”“”“”“”，拼写的单词为，故答案为：．14．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，与关于直线l对称，连结交直线l于点O，若，，则四边形的周长为．【答案】7【分析】本题考查轴对称的性质，四边形的周长等知识，根据轴对称的性质即可解决问题．【详解】解：与关于直线l对称，，，四边形的周长，故答案为7．15．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在中，．在、上分别截取、，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查作图复杂作图，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．过点作于点，交于点，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，然后根据，可得．作点关于的对称点交于点，连接，可得，进而可以解决问题．【详解】解：如图，过点作于点，交于点，由作图可知，平分，，，，．，，，．，，作点关于的对称点交于点，连接，当M与重合时，此时最小，，，则的最小值为．故答案为：16．（21-22七年级下·广东深圳·期末）已知，如图，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝10，BD＝6，AD＝8，那么线段BE＋EF的最小值是．【答案】9.6【分析】作CG⊥AB于G点，由等腰三角形的性质可得BE=CE，根据垂线段最短可知，当C、E、F三点共线时，BE+EF的长为最小值，据此求解即可．【详解】解：过C点作CG⊥AB于点G，连接CE；∵AB=AC，且AC=10，∴AB=10，∵E是高AD上任一点，∴AD⊥BC，AD是BC的垂直平分线，∴BE=CE，BD=CD=6，∵BE+EF=CE+EF，根据垂线段最短可知，当C、E、F三点共线，且F点与G点重合时，CE+EF的值最小，最小值就是线段CG的长，∵，∴CG==9.6，∴BE＋EF的最小值为9.6，故答案为：9.6．17．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知点是内任意一点，点、关于对称，点、关于对称，连接，分别交，于，，连接，．若，则的周长是．【答案】10【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握对称轴上的点到对应点的距离相等．根据轴对称的性质得出，，即可解答．【详解】解：∵点、关于对称，点、关于对称，∴，，∵，∴的周长，故答案为：10．18．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有，两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则，，，，4个点中，可以反弹击中球的是点．【答案】D【分析】本题考查了轴对称的性质，解题关键是根据轴对称的性质找到使入射角等于反射角相等的点．【详解】解：如图，根据轴对称的性质可知，可以反弹击中球的是D点，故选：D．19．（2022·浙江台州·一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是．【答案】【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得．【详解】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，∴反射后的光线n与镜面夹角度数为，∵是两面互相平行的平面镜，∴反射后的光线n与镜面夹角度数也为，又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为，，．故答案为：．20．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）如图所示，长方形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，那么等于．【答案】/度【分析】本题主要考查了折叠的性质，先求出，再由折叠的性质即可得到．【详解】解：由长方形的性质可得，∵，∴，∴由折叠的性质可得，故答案为；．21．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为．

【答案】或【分析】本题考查平行线的性质，图形的折叠，分两种情况讨论：当在上方时，延长、交于点，证明，则；当在下方时，延长、交于点，证明，则．熟练掌握图形折叠的性质，平行线的性质，能够画出图形是解题的关键．【详解】解：当在上方时，延长、交于点，由折叠可知：，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；

当在下方时，延长、交于点，由折叠可知：，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵；综上所述：的度数为或．故答案为：或．

22．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）要用一张长方形纸折成一个纸袋，两条折痕的夹角为70°（即），将折过来的重叠部分抹上胶水，即可做成一个纸袋，则粘胶水部分所构成的角，°．【答案】40【分析】本题考查折叠的性质，掌握折痕是角平分线，是解题的关键，根据折叠的性质以及角度之间的和差关系，进行求解即可．【详解】解：由折叠的性质可得，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：40．23．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，长方形纸片，点在边上，点、在边上，连接、．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．，则．【答案】95度或85度【分析】本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形：当点在点的右侧；当点在点的左侧，根据或，求出即可解决问题．【详解】解：当点在点的右侧，平分，平分，，，，，，，；当点在点的左侧，平分，平分，，，，，，，，综上，的度数为或，故答案为：或．24．（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）《西游记》第三十二回写道：“金角大王、银角大王派巴山虎、倚海龙去请母亲来吃唐僧肉，让她带着幌金绳来拿孙行者．”话说两个小妖在A点接到老妖婆后，来到小河边P点喝水，随后回到B点的洞府去见两位大王．小妖智商有限，请各位同学帮忙规划一下，当P点在哪时，路程最近呢？请大家作出路线图并简要说明理由．

【答案】见详解【分析】本题主要考查了最短路线问题．根据“两点之间，线段最短”，即可求解．【详解】解：如图，作A点关于小河的对称点，连接交小河所在直线于P点；

理由：根据作法得：，∴（两点之间，线段最短），即为最短路径．25．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）下列正方形网格图中，部分方格涂上了颜色，请按照不同要求作图．(1)作出图①的所有对称轴；(2)将图②中的某一个方格涂上颜色，使整个图形为轴对称图形．（涂出三种即可）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】此题考查了轴对称图形的作图和性质，准确作图和找到对称轴是解题的关键．（1）根据图形的特征画出所有对称轴即可；（2）根据正方形网格的特点在某一个方格涂上颜色，使整个图形为轴对称图形即可．【详解】（1）解：作图如下：（2）作图如下：或或26．（23-24八年级上·宁夏固原·期末）如图，在直角坐标系中，，，．(1)在图中作出关于y轴对称的图形；(2)写出点的坐标；(3)求的面积．【答案】(1)见解析(2)(3)9【分析】本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，割补法求面积，解题关键是掌握关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征，分别找出、、，依次连接即可；（2）根据（1）中图形，即可得到点的坐标；（3）利用割补法即可求出的面积．【详解】（1）解：如图，即为所求作；（2）解：由图形可知，点的坐标为；（3）解：的面积．27．（2023·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1．的顶点坐标分别为，，．

(1)画出关于y轴对称的；(2)将点A先向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度得到点，则点的坐标为；(3)的面积为；【答案】(1)见解析(2)(3)8【分析】本题考查了作图-轴对称变换，作图-平移变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．（1）根据轴对称的性质即可画出关于y轴对称的；（2）根据平移的性质即可将点A先向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度得到点，进而可得点的坐标；（3）根据割补法即可求出的面积；【详解】（1）解：由题意知，的点坐标分别为，在坐标系中描点，然后依次连接，如图，即为所求；

（2）如上图，点即为所求；点的坐标为；故答案为：；（3）如上图所示，作出矩形，则，即，故答案为：8；题型二旋转【例1】（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）下列现象中属于旋转的有（

）个．①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本题考查了生活中的平移．根据平移和旋转的定义对各小题分析判断即可．【详解】解：属于旋转的有③④⑤⑥，共4个．故选：C【例2】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且的度数为，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了旋转的性质，角度的和差计算，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题关键．由旋转的性质可知，，即可求出的度数．【详解】解：由旋转的性质可知，，，，故选：D．【例3】（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图所示，和是等边三角形，B、C、E在一条直线上，则绕着点逆时针旋转度可得到．【答案】60【分析】本题考查了旋转的定义和旋转的性质，先根据等边三角形的性质，运用证明，再由旋转的定义即可求解．【详解】解：∵和是等边三角形，∴，，，∴，∴，∴E绕点逆时针方向旋转度可得到．故答案为．【例4】（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）如图，绕点旋转得到，且点在边上，为与的交点．若，则下列各角：①；②；③；④．其中角的度数一定等于的是（）A．①② B．只有① C．③④ D．②③【答案】A【分析】①根据旋转的性质可得，通过等量代换，即可得证，②在应用外角定理，通过等量代换，即可得证，③不是的角平分线，即可证否，④题目已知条件对除构成三角形外，无特殊要求，即可正否，本题考查了旋转的性质，三角形外角定理，解题的关键是：熟练掌握旋转的性质．【详解】解：根据旋转的性质得：，，，①符合题意，在中，，即：，由旋转的性质可得：，，②符合题意，不是的角平分线，③不符合题意，题目已知条件对除构成三角形外，无特殊要求，④不符合题意，综上所述，①②符合题意，故选：．【例5】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，如果把钟表的指针看作四边形，它绕点O旋转得到四边形，在这个旋转过程中．(1)旋转角是什么？旋转中心是什么？(2)经过旋转，分别转到什么位置？(3)与的长有什么关系？与呢？(4)与有什么关系？【答案】(1)或，旋转中心是点O(2)(3)(4)【分析】本题主要考查了旋转．熟练掌握旋转的定义和性质是解决问题的关键．旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角．（1）根据旋转角的定义和旋转中心的定义回答；（2）根据旋转的定义回答；（3）根据旋转的性质回答；（4）根据旋转的性质回答．【详解】（1）旋转角是或，旋转中心是点O；（2）经过旋转，分别转到D、E、F的位置；（3）与长的关系，，与长的关系，；（4）与的关系：．【例6】（20-21七年级上·重庆·阶段练习）等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（）A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024【答案】B【分析】作出草图，不难发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，用2023除以3，根据余数为1可知点C在数轴上，然后进行计算即可得解．【详解】解：如图，每3次翻转为一个循环组依次循环，∵2023÷3＝674…1，，∴翻转2023次后点C在数轴上，∴点C对应的数是0﹣674×3＝﹣2022．故选：B．【例7】【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．【解决问题】（1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为；（用含n的代数式表示）（3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？【答案】（1）是；（2）n；（3）或或或30秒【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断；（2）根据“友好线”定义即可求解；（3）利用分类讨论思想，分四种情况进行计算即可．【详解】解：（1）∵OB是∠BOC的平分线，∴∠BOD＝∠COD，∵∠COA＝∠BOC，∴∠BOD＝∠AOD，∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”．（2）∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n，∴∠BOM＝∠AOB＝n，∵ON平分∠AOB，∴∠BON＝∠AOB＝n，∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n；（3）设运动时间为x（x≤36）秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”．当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB，所以3x＝（180﹣5x﹣3x），解得x＝（符合题意），即运动时间为秒时，射线OB是射线OA的“友好线”．当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOB，所以180﹣5x﹣3x＝×3x，解得x＝（符合题意），即运动时间为秒时，射线OB是射线OC的“友好线”．当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOC，所以3x+5x﹣180＝（180﹣5x），解得x＝（符合题意），即运动时间为秒时，射线OC是射线OB的“友好线”．当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠AOC＝∠COB，所以180﹣5x＝（5x+3x﹣180），解得x＝30（符合题意），即运动时间为30秒时，射线OC是射线OA的“友好线”．综上所述，当运动时间为或或或30秒时，符合题意要求．【例8】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）已知，为内部的一条射线，；(1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，求的度数；(2)如图2，若射线绕着O点从开始以12度/秒的速度顺时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出其值．(3)如图3，若射线绕着O点从开始以15度/秒的速度顺时针旋转至结束、同时绕着O点从开始以3度/秒的速度逆时针旋转至结束，运动时间为t秒，当时，求t的值；【答案】(1)(2)是定值，(3)5秒或秒或秒【分析】（1）首先根据，，可求得，再根据角平分线的定义，可求得，据此即可得出答案；（2）设运动t秒，则，，根据角平分线的定义，可得，，据此即可得出答案；（3）用含有t的代数式分别表示出和，分三种情况分别列出方程，即可求出t的值．【详解】（1）解：，，，又，平分，，；（2）解：是定值；如图：设运动t秒，则，，平分，，，，为定值，为；（3）解：，，，当在内部时，绕着O点从开始以15度/秒的速度顺时针旋转，同时绕着O点从开始以3度/秒的速度逆时针旋转，，，，，，，解得；当与重合时，，解得；当与重合，即停止运动时，，解得，综上所述，当时，秒或秒或秒．巩固训练1．（23-24九年级上·广东韶关·期中）下列现象属于旋转的是（

）A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的时候C．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 D．幸运大转盘转动的过程【答案】D【分析】此题主要考查了生活的旋转现象，关键是掌握旋转的定义．根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转可得答案．【详解】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误；B、飞机起飞后冲向空中的时候不是旋转，故此选项错误；C、笔直的铁轨上飞驰而过的火车不是旋转，故此选项错误；D、幸运大转盘转动的过程属于旋转，故此选项正确．故选：D．2．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查旋转的性质和轴对称的定义：（1）旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．（2）轴对称的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．能否构成旋转，关键是看有没有旋转中心、旋转方向和旋转角度．【详解】解：选项A，B，D都是可以由一个基本图形旋转得到．选项C是轴对称图形，不能旋转得到．故选：C3．（2020·浙江·模拟预测）如图，边长为1的正方形，沿数轴顺时针连续滚动，起点和重合，则数轴上数2020所对应的字母是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先确定0由于那个字母对应，然后每转一周走4个，看2020÷5商数与余数，再确定余数与哪点对应即可．【详解】先确定0与C相对，每转4次一循环回到C，2020÷4=505回到C．故选择：C．

4．（2023·四川绵阳·一模）如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质，旋转中心为点A，B与，C与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求．【详解】解：∵，，∴，又∵C、为对应点，点A为旋转中心，∴，即为等腰三角形，∴，故选：D．5．（23-24九年级上·北京东城·期中）如图，是绕点顺时针旋转后得到的图形．若点恰好落在上，且的度数为，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质求出，再计算出的度数即可．【详解】解：由题意得：．又∵，∴．故选B．6．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且点共线，∴，∴，∴，∴，故选：A．7．（2022·江苏常州·二模）如图，一个机器人最初面向北站立，按程序：每次移动都向前直走，然后逆时针转动一个角度，每次转动的角度增加．第一次直走后转动，第二次直走后转动，第三次直走后转动，如此下去．那么它在移动过程中第二次面向西方时一共走了米．【答案】45【分析】根据走路规律，求出走的次数即可解得．【详解】解：设第n次转动面向西方，第二次面向西方时一共转了，当时第二次面向西方，一共走了（米）；故答案为：45．8．（七年级上·浙江湖州·期中）一个长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，AB=3，AD=2，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，求翻转2018次后，点B所对应的数．【答案】5044【分析】翻转两次后点B落在数轴上，根据翻转4次为一个周期循环，依据翻转总次数得出翻转几个周期循环，确定点B落在数轴上推算出移动的距离得出结果.【详解】如图，翻转两次后点B落在数轴上，以后翻转4次为一个周期，且长方形的周长=2（2+3）=10，∴一个周期后右边的点移动10个单位长度，∵，∴翻转2018次后，点B落在数轴上，点B所对应的数是，故答案为：5044.9．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在上，交于点，则°．

【答案】【分析】由旋转的性质可得是等腰三角形，再根据其性质求出，再由三角形内角和定理即可求．【详解】将绕点逆时针旋转，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴．10．（2024·吉林松原·一模）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为度．【答案】72【分析】本题考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键．观察图形可得，图形由五个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．【详解】解：图形可看作由一个基本图形旋转5次所组成，故最小旋转角为．故答案为：72．11．（22-23七年级上·河北邯郸·期末）如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点在边上，若，，则的长是．

【答案】3【分析】本题考查了旋转的性质．由旋转的性质可得，，即可求解．【详解】解：将绕点顺时针旋转一定的角度得到，，，，故答案为：3．12．（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）如图，该图形绕其中心旋转能与自身完全重合，则其旋转角最小为度．

【答案】72【分析】根据旋转对称图形的性质判断即可．【详解】解：由题意，该图形被平分为5部分，因而每部分被分为圆心角为根据圆的旋转不变性，旋转的整数倍就可以与自身重合故该图形绕其中心旋转与自身重合旋转最小角度为故答案为：7213．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为．(1)将绕点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别为点，在图中画出，并写出点的坐标；(2)将向右平移4个单位长度后，得到，点的对应点分别为点，在图中画出，并写出点的坐标；(3)从变化到能否看作是将绕某一个点作旋转变换？若能，直接写出旋转中心；若不能，说明理由．【答案】(1)图见解析，、(2)图见解析，(3)能，旋转中心的坐标为【分析】本题考查了画旋转图形、平移图形、旋转图形，熟练掌握旋转、平移和旋转中心的性质是解题关键．（1）根据旋转的性质分别画出点，再顺次连接即可得，根据点的位置写出它们的坐标即可得；（2）根据平移的性质分别画出点，再顺次连接即可得，根据点的位置写出它们的坐标即可得；（3）连接，线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，结合正方形的性质求解即可得．【详解】（1）解：如图，画出如下：则、．（2）解：如图，画出如下：则．（3）解：如图，连接，线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，由正方形的性质可知，垂直平分，垂直平分，则点即为旋转中心，点的坐标为．14．（2024·安徽合肥·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点和格点O（格点为网格线的交点）．

(1)将绕点O逆时针旋转得到，画出；(2)将先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，画出．【答案】(1)详见解析(2)详见解析【分析】本题考查了画旋转图形、平移作图：（1）以点O为对称点得到旋转后的点，连接即可；（2）先根据平移的方式得到点，连接即可；正确得到图形是解题的关键．【详解】（1）解：以点O为对称点得到旋转后的点，然后再连接，如图所示：

（2）解：按照平移的方式，先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到三个点，连接即可，如图所示：

15．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆．(1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________；(2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）．【答案】(1)是，O，(2)周长为，阴影部分的面积为【分析】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念以及最小旋转角的求法是解答此题的关键．旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心．根据定义可知，最小旋转角等于周角除以正多边形的边数．【详解】（1）解：根据题意，可知这个图案是旋转对称图形，点是旋转对称中心，这个图案的最小旋转角为；故答案为：是，O，（2）由题意得，阴影部分的周长为，阴影部分的面积为．16．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边在直线上，其中．(1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为度；(2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；(3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值．【答案】(1)(2)当在外部时，，当在内部时，，理由见解析(3)或或或【分析】（1）先根据平分得到，即可求出；（2）根据题意可得，作差即可求解；（3）先求出旋转前的夹角，然后再求出第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分在的左侧和在的右侧两种情况讨论解答即可．【详解】（1）解：平分，，三角板旋转的角∶，故答案为：．（2）当在外部时，，理由如下∶，，，当在内部时，，理由如下∶，；（3）射线平分，射线平分，，旋转前，旋转前与的夹角为：，与第一次相遇的时间为：秒，此时旋转的角度为：此时OC与的夹角为：与OD第二次相遇的时间为：(秒)，设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为，①，解得∶，②，解得∶，③，解得∶，，④，解得∶，．在OC与OD第二次相遇前，当时，旋转时间为或或或．17．（23-24七年级上·陕西西安·期末）问题提出（）如图所示，将含有和角的一副直角三角板与在直线，的顶点和角的顶点重合于点，点在直线上，为平分线，则．问题探究（）如图，若将三角板绕点逆时针旋转，平分，请你探究度数是否会发生变化？若不变，求出其角度；若变化，请说明理由；问题解决（）如图，从图位置开始，将三角板绕点以每秒速度逆时针旋转，同时三角板以每秒的速度顺时针旋转，当首次与重合或当与首次重合时，两个三角板都停止旋转．设两三角板的旋转时间为，在整个旋转过程中，当满足，求的值．

【答案】（）；（）度数不会发生变化，为；（）或．【分析】（）利用角的和差关系及角平分线的定义即可求解；（）利用角的和差关系及角平分线的定义即可求解；（）由，可判断出与重合前（含重合）和与重合后这两个阶段不存在满足条件的值，由此得到满足条件的值在与重合后到与重合时这个阶段，根据角的和差关系列出方程即可求解；本题考查了角的旋转，角的计算及角平分线的定义，能通过图形找到所求角的和差关系是解题的关键．【详解】解：（）∵点在直线上，，，∴，∵为平分线，∴，故答案为：；（）∵将三角板绕点逆时针旋转，∴，，∵平分，为平分线，∴，，∴，∴度数不会发生变化，为；（）由图可知，当与重合前（含重合）和与重合后，，∴在这两个阶段不存在满足条件的值，当与重合后到与重合时，，，∴，∵，∴，∴或，解得或，∴当时，的值为或．18．（22-23七年级上·云南·期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有、的直角三角板如图①放置，、与直线重合，且三角板、三角板均可绕点逆时针旋转．

(1)如图①，则°．(2)如图②，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转旋转一定角度，平分，平分，求；(3)如图③，在图①基础上，若三角板开始绕点逆时针旋转，转速为，同时三角板绕点逆时针旋转，转速为，（当转到与重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间．【答案】(1)(2)(3)秒或秒【分析】（1）根据平角是计算；（2）根据角平分线的定义得到，，分别用表示出、，计算即可；（3）设旋转的时间为秒，的取值范围是，再分三种情况讨论即可．【详解】（1）解：，，，；故答案为：；（2）解：设三角板绕点逆时针旋转旋转，平分，平分，，，，，，，；（3）解：设旋转的时间为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，，故的取值范围是，当平分时，如图所示，

，，；当平分时，如图，

，，解得：；当平分时，如图

，，解得：（不符合题意，舍去），综上所述：旋转的时间为秒或秒．19．（22-23七年级上·湖北黄石·期末）已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于且小于等于的角）．(1)如图，当、重合时，求的度数；(2)当从如图所示位置绕点O沿顺时针方向旋转，且时，直接写出n的取值范围．(3)当从如图所示位置绕点O沿顺时针方向旋转时，的值是否为定值？若是定值，求出的值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)不是定值，见解析【分析】（1）根据角平分线的定义知、，再根据可得答案；（2）分三种情况讨论：当时，，为定值；当时，，为定值；当时，，由，解得：（不符合题意，舍去）；即可确定n的取值范围．（3）分两种情况讨论：；．【详解】（1）如图