2023-2024学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）第五章 轴对称与旋转（知识归纳+题型突破）（原卷版）

第五章轴对称与旋转（知识归纳+题型突破）1、通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分．2、能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形．3、理解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质．4、认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形．5、通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.探索它的基本性质：一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.6、了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.7、探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质.8、认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。2.性质：（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。（2）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。3.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。（图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。）4.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。5．中心对称图形与中心对称：中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。6.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形是全等形。关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

题型一轴对称【例1】（2024·湖南永州·一模）下列图标是第十九届杭州亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（

）A．B．C．D．【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（

）A． B． C． D．【例3】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，若最外面大圆的面积为，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【例4】（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（

）

A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋【例5】（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，为一条长方形纸带，，将沿折叠，A，D两点分别与，对应，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【例6】（22-23八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图所示，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于M，交于N，，则的周长为（）A． B． C． D．【例7】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）作图题：(1)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．在图中画出关于直线对称的．（要求：与，与，与相对应）(2)如图是由个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中个小正方形涂黑，请用种不同的方法分别在图中再将个小正方形涂黑，使图案成为轴对称图形．巩固训练：1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图所示的四幅图案中，轴对称图形的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（23-24八年级上·广东湛江·期中）下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（）A．

B．

C．

D．

3．（2024八年级·全国·竞赛）下列说法正确的是（

）A．两个图形关于某条直线对称，它们的对称点一定在这条直线的两侧B．两个全等的三角形一定关于某条直线对称C．线段是轴对称图形，它的对称轴只有它的垂直平分线D．在平面内任意的两条直线所组成的图形一定是轴对称图形4．（23-24八年级上·陕西商洛·期中）如图，和关于直线l对称，连接，在直线l上任取一点O，连接，，下列结论中，不一定正确的是（

）

A． B．C．l垂直平分 D．5．（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，中，点在边上，点关于，对称的对称点分别为，，连接，．如图所示，的度数是（）度

A．113 B．124 C．129 D．1346．（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，两条平行直线，，从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为（

）A． B． C． D．7．（2023·河北衡水·模拟预测）如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（

）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点8．（2024·湖北襄阳·模拟预测）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（

）A． B． C． D．9．（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）下列图形中，是轴对称图形且只有一条对称轴的是（

）A．

B．

C．

D．

10．（23-24八年级上·河南信阳·期中）小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示，则现在的实际时间为（）A． B． C． D．11．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出个．12．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，在Rt纸片中，，，，将Rt纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边上的点E处，为折痕，则下列四个结论：①平分；②；③；④的周长为4．其中正确的有．

13．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）如图所示，有一个英语单词，四个字母都关于直线对称，请依据轴对称知识分析后，拼写出这个单词．14．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，与关于直线l对称，连结交直线l于点O，若，，则四边形的周长为．15．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在中，．在、上分别截取、，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为．16．（21-22七年级下·广东深圳·期末）已知，如图，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝10，BD＝6，AD＝8，那么线段BE＋EF的最小值是．17．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知点是内任意一点，点、关于对称，点、关于对称，连接，分别交，于，，连接，．若，则的周长是．18．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有，两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则，，，，4个点中，可以反弹击中球的是点．19．（2022·浙江台州·一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是．20．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）如图所示，长方形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，那么等于．21．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为．

22．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）要用一张长方形纸折成一个纸袋，两条折痕的夹角为70°（即），将折过来的重叠部分抹上胶水，即可做成一个纸袋，则粘胶水部分所构成的角，°．23．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，长方形纸片，点在边上，点、在边上，连接、．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．，则．24．（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）《西游记》第三十二回写道：“金角大王、银角大王派巴山虎、倚海龙去请母亲来吃唐僧肉，让她带着幌金绳来拿孙行者．”话说两个小妖在A点接到老妖婆后，来到小河边P点喝水，随后回到B点的洞府去见两位大王．小妖智商有限，请各位同学帮忙规划一下，当P点在哪时，路程最近呢？请大家作出路线图并简要说明理由．

25．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）下列正方形网格图中，部分方格涂上了颜色，请按照不同要求作图．(1)作出图①的所有对称轴；(2)将图②中的某一个方格涂上颜色，使整个图形为轴对称图形．（涂出三种即可）26．（23-24八年级上·宁夏固原·期末）如图，在直角坐标系中，，，．(1)在图中作出关于y轴对称的图形；(2)写出点的坐标；(3)求的面积．27．（2023·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1．的顶点坐标分别为，，．

(1)画出关于y轴对称的；(2)将点A先向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度得到点，则点的坐标为；(3)的面积为；题型二旋转【例1】（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）下列现象中属于旋转的有（

）个．①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千．A．2 B．3 C．4 D．5【例2】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且的度数为，则的度数是（

）A． B． C． D．【例3】（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图所示，和是等边三角形，B、C、E在一条直线上，则绕着点逆时针旋转度可得到．【例4】（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）如图，绕点旋转得到，且点在边上，为与的交点．若，则下列各角：①；②；③；④．其中角的度数一定等于的是（）A．①② B．只有① C．③④ D．②③【例5】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，如果把钟表的指针看作四边形，它绕点O旋转得到四边形，在这个旋转过程中．(1)旋转角是什么？旋转中心是什么？(2)经过旋转，分别转到什么位置？(3)与的长有什么关系？与呢？(4)与有什么关系？【例6】（20-21七年级上·重庆·阶段练习）等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（）A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024【例7】【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．【解决问题】（1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为；（用含n的代数式表示）（3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？【例8】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）已知，为内部的一条射线，；(1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，求的度数；(2)如图2，若射线绕着O点从开始以12度/秒的速度顺时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出其值．(3)如图3，若射线绕着O点从开始以15度/秒的速度顺时针旋转至结束、同时绕着O点从开始以3度/秒的速度逆时针旋转至结束，运动时间为t秒，当时，求t的值；巩固训练1．（23-24九年级上·广东韶关·期中）下列现象属于旋转的是（

）A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的时候C．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 D．幸运大转盘转动的过程2．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（）A． B． C． D．3．（2020·浙江·模拟预测）如图，边长为1的正方形，沿数轴顺时针连续滚动，起点和重合，则数轴上数2020所对应的字母是（

）A． B． C． D．4．（2023·四川绵阳·一模）如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（

）

A． B． C． D．5．（23-24九年级上·北京东城·期中）如图，是绕点顺时针旋转后得到的图形．若点恰好落在上，且的度数为，则的度数是（

）A． B． C． D．6．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（

）

A． B． C． D．7．（2022·江苏常州·二模）如图，一个机器人最初面向北站立，按程序：每次移动都向前直走，然后逆时针转动一个角度，每次转动的角度增加．第一次直走后转动，第二次直走后转动，第三次直走后转动，如此下去．那么它在移动过程中第二次面向西方时一共走了米．8．（七年级上·浙江湖州·期中）一个长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，AB=3，AD=2，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，求翻转2018次后，点B所对应的数．9．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在上，交于点，则°．

10．（2024·吉林松原·一模）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为度．11．（22-23七年级上·河北邯郸·期末）如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点在边上，若，，则的长是．

12．（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）如图，该图形绕其中心旋转能与自身完全重合，则其旋转角最小为度．

13．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为．(1)将绕点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别为点，在图中画出，并写出点的坐标；(2)将向右平移4个单位长度后，得到，点的对应点分别为点，在图中画出，并写出点的坐标；(3)从变化到能否看作是将绕某一个点作旋转变换？若能，直接写出旋转中心；若不能，说明理由．14．（2024·安徽合肥·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点和格点O（格点为网格线的交点）．

(1)将绕点O逆时针旋转得到，画出；(2)将先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，画出．15．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆．(1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________；(2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）．16．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边在直线上，其中．(1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为度；(2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；(3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值．17．（23-24七年级上·陕西西安·期末）问题提出（）如图所示，将含有和角的一副直角三角板与在直线，的顶点和角的顶点重合于点，点在直线上，为平分线，则．问题探究（）如图，若将三角板绕点逆时针旋转，平分，请你探究度数是否会发生变化？若不变，求出其角度；若变化，请说明理由；问题解决（）如图，从图位置开始，将三角板绕点以每秒速度逆时针旋转，同时三角板以每秒的速度顺时针旋转，当首次与重合或当与首次重合时，两个三角板都停止旋转．设两三角板的旋转时间为，在整个旋转过程中，当满足，求的值．

18．（22-23七年级上·云南·期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有、的直角三角板如图①放置，、与直线重合，且三角板、三角板均可绕点逆时针旋转．

(1)如图①，则°．(2)如图②，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转旋转一定角度，平分，平分，求；(3)如图③，在图①基础上，若三角板开始绕点逆时针旋转，转速为，同时三角板绕点逆时针旋转，转速为，（当转到与重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，