2024-2025学年高中数学第一章数列3.1.1等比数列课时素养评价含解析北师大版必修5

PAGE等比数列(20分钟35分)1.下列命题中正确的是 ()A.若a,b,c是等差数列,则lga,lgb,lgc是等比数列B.若a,b,c是等比数列,则lga,lgb,lgc是等差数列C.若a,b,c是等差数列,则10a,10b,10c是等比数列D.若a,b,c是等比数列,则10a,10b,10c是等差数列【解析】选C.若a,b,c成等差数列,则2b=a+c,所以10a·10c=10a+c=102b=(10b)2,所以10a,10b,10c是等比数列.2.在首项a1=1,公比q=2的等比数列{an}中,当an=64时,项数n等于 ()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选D.因为an=a1qn-1,所以1×2n-1=64,即2n-1=26,得n-1=6,解得n=7.3.(2024·高新高一检测)若正项等比数列QUOTE满意a2a3=a4,且a1+a3=2QUOTE,则公比为 ()A.-1 B.1 C.2 D.3【解题指南】依据a2a3=a4可计算出首项a1的值,再依据a1+a3=2QUOTE以及a1的值即可计算出公比q的值.【解析】选D.因为a2a3=a4,所以QUOTEq3=a1q3QUOTE,所以a1=1,又因为a1+a3=2QUOTE所以1+q2=2QUOTE,所以q2-2q-3=0,所以q=3或q=-1,又因为QUOTE是正项等比数列,所以q=3.4.等比数列{an}的公比为q,且|q|≠1,a1=-1,若am=a1·a2·a3·a4·a5,则m等于 ()A.9 B.10 C.11 D.12【解析】选C.因为a1·a2·a3·a4·a5=a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4=QUOTE·q10=-q10,am=a1qm-1=-qm-1,所以-q10=-qm-1,所以10=m-1,所以m=11.5.画一个边长为2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于平方厘米.

【解析】依题意这10个正方形的边长构成以2为首项,QUOTE为公比的等比数列{an}(1≤n≤10,n∈N+),则第10个正方形的面积S=QUOTE=[2×(QUOTE)9]2=4×29=2048(平方厘米).答案:20486.在等比数列{an}中,(1)已知a2=18,a4=8,求a1与q.(2)已知a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.【解析】(1)由已知得QUOTE解这个方程组,得QUOTE或QUOTE(2)依据题意,有QUOTE方程两边分别相除,得QUOTE=QUOTE.整理得2q2-5q+2=0.解这个方程,得q=2或q=QUOTE.当q=2时,a1=1;当q=QUOTE时,a1=-16.所以a3=4或a3=-4.【补偿训练】已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=QUOTE(an-1)(n∈N+).(1)求a1,a2;(2)求证:数列{an}是等比数列.【解析】(1)由S1=QUOTE(a1-1),得a1=QUOTE(a1-1),所以a1=-QUOTE.又S2=QUOTE(a2-1),即a1+a2=QUOTE(a2-1),得a2=QUOTE.(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=QUOTE(an-1)-QUOTE(an-1-1),得QUOTE=-QUOTE,又QUOTE=-QUOTE,所以{an}是首项为-QUOTE,公比为-QUOTE的等比数列.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设等比数列{an}的前三项分别为QUOTE,QUOTE,QUOTE,则该数列的第四项为 ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.q=QUOTE=QUOTE,所以a4=QUOTE·QUOTE=1.2.如图给出了一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,QUOTE,QUOTEQUOTE,QUOTE,QUOTE…记第i行第j列的数为aij(i,j∈N+),则a53的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.第一列构成首项为QUOTE,公差为QUOTE的等差数列,所以a51=QUOTE+(5-1)×QUOTE=QUOTE.又因为从第三行起每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,所以第5行构成首项为QUOTE,公比为QUOTE的等比数列,所以a53=QUOTE×QUOTE=QUOTE.3.(2024·余姚高一检测)设QUOTE为等比数列,给出四个数列:①QUOTE,②QUOTE,③QUOTE,④QUOTE.其中肯定为等比数列的是 ()A.①③ B.②④C.②③ D.①②【解题指南】设an=a1qn-1,再利用等比数列的定义和性质逐一分析推断每一个选项得解.【解析】选D.设an=a1qn-1,①2an=2a1qn-1,所以数列QUOTE是等比数列;②QUOTE=QUOTEq2n-2=QUOTE(q2)n-1,所以数列QUOTE是等比数列;③QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE=QUOTE不是一个常数,所以数列QUOTE不是等比数列;④QUOTE=QUOTE不是一个常数,所以数列QUOTE不是等比数列.4.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了5个伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴…假如这个找伙伴的过程接着下去,第6天全部的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂 ()A.55986只 B.46656只C.216只 D.36只【解题指南】先由题得到{an}是公比为6的等比数列,再利用等比数列的通项求出a6得解.【解析】选B.设第n天全部的蜜蜂都归巢后共有an只蜜蜂,则有an+1=6an,a1=6,则{an}是公比为6的等比数列,则a6=a1q5=6×65=46656.5.(2024·石家庄高一检测)已知数列QUOTE是首项a1=4,公比q≠1的等比数列,且4a1,a5,-2a3成等差数列,则公比q等于 ()A.-1 B.QUOTE C.-2 D.2【解题指南】由等差数列的性质得2a5=4a1-2a3,由此利用等比数列通项公式能求出公比.【解析】选A.因为数列QUOTE是首项a1=4,公比q≠1的等比数列,且4a1,a5,-2a3成等差数列,所以2a5=4a1-2a3,所以2QUOTE=4×4-2QUOTE,解得q=1(舍)或q=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在数列{an}中,对随意n∈N+,都有an+1-2an=0(an≠0),则QUOTE等于.

【解析】由an+1-2an=0得QUOTE=2,所以数列{an}是公比为2的等比数列,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.设等比数列{an}满意a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为.

【解析】设等比数列的公比为q,由QUOTE得,QUOTE解得QUOTE所以a1a2…an=QUOTEq1+2+…+(n-1)=8n×QUOTE=QUOTE,于是当n=3或4时,a1a2…an取得最大值26=64.答案:648.在表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每纵列成等比数列,则a+b+c的值为.

120.51abc【解析】因为每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,所以依据第三列,得2×a=12,可得a=QUOTE.在第一列中,公比q=QUOTE,第3个数为QUOTE=QUOTE,第4个数为QUOTE=QUOTE,第三列中,公比q=QUOTE,第4个数为2×QUOTE=QUOTE,所以第四行中的公差d=QUOTE=QUOTE,所以第四行中第4个数b=QUOTE+QUOTE=QUOTE,同理c=QUOTE,所以a+b+c=QUOTE+QUOTE+QUOTE=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知等差数列QUOTE满意a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求QUOTE的通项公式;(2)设等比数列QUOTE满意b2=a3,b3=a7.若b6=ak,求k的值.【解析】(1)由题意,得等差数列QUOTE的公差d=a4-a3=2,a1+a2=2a1+d=10,a1=4,所以an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×2=2n+2;(2)由(1),得b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=QUOTE=QUOTE=2,b6=b2q4=8×24=128,所以ak=2k+2=128,k=63.10.设关于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满意6α-2αβ+6β=3.(1)试用an表示an+1.(2)求证:QUOTE是等比数列.(3)当a1=QUOTE时,求数列{an}的通项公式及项的最值.【解析】(1)依据根与系数的关系,得QUOTE代入题设条件6(α+β)-2αβ=3,得QUOTE-QUOTE=3.所以an+1=QUOTEan+QUOTE.(2)因为an+1=QUOTEan+QUOTE,所以an+1-QUOTE=QUOTE.若an=QUOTE,则方程anx2-an+1x+1=0,可化为QUOTEx2-QUOTEx+1=0,即2x2-2x+3=0.此时Δ=(-2)2-4×2×3<0,所以an≠QUOTE,即an-QUOTE≠0.所以数列QUOTE是以QUOTE为公比的等比数列.(3)当a1=QUOTE时,a1-