高等代数：数环与数域

数环与数域数环的概念设S是一个非空数集,如果S中任意二数的和,差,积仍属于S,则称S是一个数环.例如：整数集是一个数环，称为整数环；全体偶数(包括负数)也是一个数环，称为偶数环；数集{0}本身就是一个数环.想一想：全体奇数是一个数环吗？{a|a∈R且a≠0}呢？数域的概念设K是一个含有不等于０的数的数集.如果K中任意二数的和,差,积,商(除数不为零)仍属于K,则称K是一个数域.有理数集,实数集和复数集都是数域,分别称为有理数域,实数域和复数域.数域有无穷个.数环和数域的联系和区别相同点：(1)数域和数环的实质都是一个数集;不同点：(1)数域一定含有非0的元素,数环则包含{0};(2)数域的含义中包含除法,数环则不包含;联系：数域一定是数环,但数环不一定是数域.如{0}与Z都是数环,但都不是数域.(3)数域和数环都包含0.(3)数域必包含1,数环则不一定.(2)都是非空数集;用定义证明一个数集是数域

数域的充要条件设K是一个含有不等于0的数的数集,则K作为一个数域的充要条件是：K中任两个数的差与商(除数不为0)仍属于K.证：由定义可得其必要性.再证充分性：任取a,b∈K,若K中任两个数的差与商仍属于K,则a-a=0∈K,0-b=-b∈K,从而ab=a/(1/b)∈K,又当b≠0时,b/b=1∈K,1/b∈K,从而a+b=a-(-b)∈K,∴K是一个数域.用充要条件证明一个数集是数域证明：数集Q(i)={a+bi,a,b∈Q}是一个数域.证：当ab≠0时,a+bi≠0.任取α,β∈Q(i),令α=a+bi,β=c+di,(a,b,c,d∈Q)由Q是数域可知,α-β=(a-c)+(b-d)i∈Q(i),

∴Q(i)是一个数域.不妨设β=c+di≠0,则c-di≠0,证明任何数域都包含有理数域定理：任何数域都包含有理数域.证：设任意数域K,由数域的概念知,0,1∈K.于是有1+1=2,1+2=3,1+3=4,…0-1=-1,0-2=-2,0-3=-3,…∴Z⊆K;又由数域及有理数的概念,知Q⊆K.子域与扩域的定义设K’,K是两个数域.若K’⊆K,则称K’是K的一个子域,而K是K’的一个扩域.有理数域是最小的数域，它是任何数域的一个子域.复数域是最大的数域,它是任何数域的一个扩域.数环的性质证明证明：1)数环必包含0;2)如果一个数环包含有不等于0的数,则它必含有无穷个数.证：1)设S为任意数环,由数环非空知,至少有某数a∈S,又由数环的概念有a-a=0∈S.2)由1)有a+a=2a∈S,a+2a=3a∈S,…,a+(n-1)a=na∈S,知当a≠0时,S有无穷个数,得证！证明一类数集是数域

数域的交集和并集仍都是数域吗？设K1,K2都是数域,1)证明：K1∩K2也是数域;1)证：∵Q⊆K1∩K2,∴K1∩K2包含非零的数,任取a,b∈K1∩K2,则a,b∈K1,且a,b∈K2,

∴a-b∈K1,且a-b∈K2,∴a-b∈K1∩K2;不妨设b≠0,则有a/b∈K1,且a/b∈K2,∴a/b∈K1∩K2;∴K1∩K2是数域.2)问：K1∪K2也是数域吗？为什么？设K1,K2都是数域,1)证明：K1∩K2也是数域;当K1≠K2时,不妨设有a∈K1且a∉K2,b∈K2且b∉K1,则a,b∈K1∪K2,若K1∪K2是数域,则a-b∈K1∪K2,即a-b∈K1或a-b∈K2,当a-b∈K1时,a-(a-b)=b∈K1矛盾,2)问：K1∪K2也是数域吗？为什么？2)解：K1∪K2不一定是数域,理由如下.当a-b∈K2时,b+(a-b)=a∈K2矛盾,∴K1∪K2不是数域;另一方面,当K1=K2时,K1∪K2=K1=K2是数域;∴不一定.一个复数集是数域的证明

关于数域的数的证明

证明实数域R与复数域C之间不存在别的数域证明：在实数域R与复数域C之间不存在别的数域.证：设有数域K,使R⊂K⊂C,则必有a+b