2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.4.1平面教学用书教案新人教A版必修第二册

PAGE8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面素养目标·定方向素养目标学法指导1．理解并驾驭平面的基本领实及推论.(逻辑推理)2．会用基本领实及推论解决有关问题.(逻辑推理)要充分利用长方体以及身边的生活中的物品相识空间点、直线、平面，要类比初中平面几何中点、直线去相识空间中的点、直线、平面，逐步过渡与抽象，并确定它们之间的关系.必备学问·探新知学问点1平面1．平面的概念几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、安静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延长，几何中的平面是向四周__无限延展__的.2．平面的画法我们常用矩形的直观图，即__平行四边形__表示平面，它的锐角通常画成__45°__，且横边长等于其邻边长的__2__倍，如图①.假如一个平面的一部分被另一个平面遮拦住，为了增加它的立体感，把被遮挡部分用__虚线__画出来，如图②.3．平面的表示法图①的平面可表示为__平面α__、平面ABCD、__平面AC__或平面BD.学问点2点、线、面之间的位置关系1．直线在平面内的概念假如直线l上的__全部点__都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.2．一些文字语言与符号语言的对应关系：文字语言表达符号语言表示文字语言表达符号语言表示点A在直线l上__A∈l__点A在直线l外__A∉l__点A在平面α内__A∈α__点A在平面α外__A∉α__直线l在平面α内__l⊂α__直线l在平面α外__l⊄α__直线l，m相交于点Al∩m＝A平面α，β相交于直线lα∩β＝l学问点3平面的基本性质及应用1．基本领实内容图形符号作用基本领实1过不在一条直线上的三个点，__有且只有__一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是推断两个平面重合的依据基本领实2假如一条直线上的__两个点__在一个平面内，那么这条直线在__这个平面内__A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒__l⊂α__既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的基本领实3假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的__公共直线__P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两平面相交的依据②判定点在直线上2．利用基本领实1和基本领实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：推论1__经过一条直线和这条直线外一点__，有且只有一个平面.推论2__经过两条相交直线__，有且只有一个平面.推论3__经过两条平行直线__，有且只有一个平面.[学问解读]1．平面的几个特点(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的.2．从集合的角度理解点、线、面之间的位置关系(1)直线可以看成多数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示.(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示.(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示.3．精确相识三个基本领实的意义和作用(1)基本领实1意义：是在空间确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.作用：①确定平面；②证明点、线共面.(2)基本领实2意义：说明白平面与曲面的本质区分.通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延长”来描述平面的“无限延展”.作用：既是推断直线是否在平面内，又是检验平面的方法.利用基本领实1和基本领实2，再结合“两点确定一条直线”，可推出不共线的三点，一条直线和这条直线外一点，两条相交直线，两条平行直线，都能唯一确定一个平面.(3)基本领实3意义：揭示了两个平面相交的主要特征，供应了确定两个平面交线的方法.作用：①推断两个平面是否相交；②确定两个平面的交线；③证明若干点共线问题.关键实力·攻重难题型探究题型一三种语言的相互转化典例1依据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.[解析](1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.[归纳提升]三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先细致视察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)要留意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.提示：依据符号语言或文字语言画相应的图形时，要留意实线和虚线的区分.【对点练习】❶(1)若点M在直线a上，a在平面α内，则M、a、α间的关系可记为__M∈a，a⊂α，M∈α__；(2)依据图，填入相应的符号：A__∈__平面ABC，A__∉__平面BCD，BD__⊄__平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝__AC__；(3)用符号语言表示下面语句，并画出图形：三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC.[解析](3)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.图形表示：如图所示.题型二点共线问题典例2已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图.求证：P、Q、R三点共线.[分析](1)P、Q、R三点分别在哪几个平面上？(2)在两个相交平面上的点，有什么特点？[解析]证法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P、Q、R三点共线.证法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC⊂面APR.又∵Q∈面APR，Q∈α，∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线.[归纳提升]点共线的证明方法：证明多点共线通常利用基本领实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.【对点练习】❷如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：C1、O、[解析]由AA1∥CC1，则AA1与CC1确定一个平面A1C∵A1C⊂平面A1C，而O∈A1C，∴O∈平面又A1C∩平面BC1D＝O，∴O∈平面BC1D∴O点在平面BC1D与平面A1C又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1、O题型三线共面问题典例3已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.[证明]如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面.[归纳提升]在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得全部元素在同一个平面内.【对点练习】❸已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.[证明]法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2．又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内.法二(同法一、重合法)∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内.∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.题型四线共点问题典例4已知：如图，空间四边形ABCD中，E、H分别为BC、AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DF︰FC＝DG︰GA＝1︰2．求证：直线EF、BD、HG交于一点.[分析]先证EF、HG肯定相交于一点，再证这一点在直线BD上.[解析]连接EH、AC、FG.∵E、H分别为BC、AB的中点，∴EHeq\f(1,2)AC.∵DF︰FC＝1︰2，DG︰GA＝1︰2，∴FG∥AC，FG＝eq\f(1,3)AC，∴EH∥FG且EH≠FG，∴E、F、G，H四点共面且EFGH.∴EF与GH相交.设EF∩GH＝O，则O∈GH，O∈EF.∵GH⊂平面ABD，EF⊂平面BCD，∴O∈平面ABD，O∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD，即直线EF、BD、HG交于一点.[归纳提升]三线共点的证明方法：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.【对点练习】❹三个平面α、β、γ两两相交，交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，已知直线a和b不平行.求证：a、b、c三条直线必过同一点.[解析]∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ，∵a、b不平行，∴a、b必相交，设a∩b＝P，∵P∈a，a⊂β，∴P∈β，同理P∈α，而α∩β＝c，∴P∈c.∴a、b、c相交于一点P，即a、b、c三条直线过同一点.易错警示对于条件所给的点的位置关系考虑不全面典例5已知A、B、C、D、E五点中，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面，则A、B、C、D、E五点肯定共面吗？[错解]因为A、B、C、D共面，所以点A在B、C、D所确定的平面内，因为B、C、D、E共面，所以点E也在B、C、D所确定的平面内，所以点A、E都在B、C、D所确定的平面内，即A、B、C、D、E五点肯定共面.[错因分析]错解忽视了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件，事实上B、C、D三点还可能共线.[正解](1)假如B、C、D三点不共线，则它们确定一个平面α.因为A、B、C、D共面，所以点A在平面α内，因为B、C、D、E共面，所以点E在平面α内，所以点A、E都在平面α内，即A、B、C、D、E五点肯定共面