江苏省苏州市吴江区震泽中学2025届高一数学第一学期期末监测试题含解析

江苏省苏州市吴江区震泽中学2025届高一数学第一学期期末监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．“”是“”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2．已知函数，若有且仅有两个不同实数，，使得则实数的值不可能为A. B.C. D.3．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）A. B.C. D.4．当时，的最大值为（）A. B.C. D.5．若||=1，||=2，||=，则与的夹角的余弦值为（）A. B.C. D.6．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.7．“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.即不充分也不必要8．已知命题，则是（）A.， B.，C.， D.，9．设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.10．已知函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，当时，，则A. B.C.1 D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，若关于的不等式在[0，1]上有解，则实数的取值范围为______12．函数的值域是____________，单调递增区间是____________.13．函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围是______14．若直线与圆相切，则__________15．化简___________.16．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积为_____________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，四棱锥的底面是正方形，，点在棱上.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当且为的中点时，求与平面所成的角的大小.18．已知，，其中（1）若是的充分条件，求实数的取值范围；（2）是否存在，使得是的必要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由19．已知函数（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（2）解不等式20．已知直线经过点（1）若点在直线上，求直线的方程；（2）若直线与直线平行，求直线的方程21．在国家大力发展新能源汽车产业政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长．某地区年底新能源汽车保有量为辆，年底新能源汽车保有量为辆，年底新能源汽车保有量为辆（1）根据以上数据，试从（，且），，（，且），三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），设从年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式；（2）假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同，年底该地区传统能源汽车保有量为辆，预计到年底传统能源汽车保有量将下降．试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：，）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】利用充分条件，必要条件的定义即得.【详解】由可推出，由，即或，推不出，故“”是“”的充分不必要条件.故选：B.2、D【解析】利用辅助角公式化简，由，可得，根据在上有且仅有两个最大值，可求解实数的范围，从而可得结果【详解】函数；由，可得，因为有且仅有两个不同的实数，，使得所以在上有且仅有两个最大值，因为，，则；所以实数的值不可能为，故选D【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用、三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题3、D【解析】根据题意，设，利用函数图象求得，得出函数解析式，再利用诱导公式判断选项即可.【详解】由题意，设，由图象知：，所以，所以，因为点在图象上，所以，则，解得，所以函数，即，故选：D4、B【解析】利用基本不等式直接求解.【详解】，，又，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为故选：B5、B【解析】由题意把||两边平方，结合数量积的定义可得【详解】||＝1，||＝2，与的夹角θ，∴||27，∴12+2×1×2×cosθ+22＝7，解得cosθ故选：B6、A【解析】先由题意，求出函数的单调递减区间，再由题中条件，列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】由题意，令，则，即函数的单调递减区间为，因为函数在区间上单调递减，所以，解得，所以，.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是用不等式法求函数的单调递减区间时，应该令，且该函数的周期应为，则.7、B【解析】根据充分条件和必要条件的概念，结合题意，即可得到结果.【详解】因为，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.8、C【解析】由全称命题的否定是特称命题即可得结果.【详解】由全称命题的否定是特称命题知：，，是，，故选：C.9、C【解析】先判断，再判断得到答案.【详解】；；；，即故选：【点睛】本题考查了函数值的大小比较，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.10、C【解析】由题意，故选C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】不等式在[0，1]上有解等价于，令，则.【详解】由在[0，1]上有解，可得，即令，则，因为，所以，则当，即时，，即，故实数的取值范围是故答案为【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.12、①.②.【解析】先求二次函数值域，再根据指数函数单调性求函数值域；根据二次函数单调性与指数函数单调性以及复合函数单调性法则求函数增区间.【详解】因为,所以，即函数的值域是因为单调递减，在（1，+）上单调递减，因此函数的单调递增区间是（1，+）.【点睛】本题考查复合函数值域与单调性，考查基本分析求解能力.13、【解析】令∴即函数的增区间为，又函数在上为单调递增函数∴令得：，即，得到：，又∴实数的取值范围是故答案为14、【解析】由直线与圆相切可得圆心到直线距离等与半径，进而列式得出答案【详解】由题意得，，解得【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于一般题15、【解析】利用向量的加法运算，即可得到答案；【详解】，故答案为：16、【解析】正方体的对角线等于球的直径．求得正方体的对角线，则球的表面积为考点：球的表面积点评：若长方体的长、宽和高分别为ａ、ｂ、ｃ，则球的直径等于长方体的对角线三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)【解析】（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可【详解】（1）证明：∵底面ABCD是正方形∴AC⊥BD又PD⊥底面ABCDPD⊥AC所以AC⊥面PDB因此面AEC⊥面PDB（2）解：设AC与BD交于O点，连接EO则易得∠AEO为AE与面PDB所成的角∵E、O为中点∴EO＝PD∴EO⊥AO∴在Rt△AEO中OE＝PD＝AB＝AO∴∠AEO＝45°即AE与面PDB所成角的大小为45°本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题18、（1）（2）不存在，理由见解析【解析】（1）解不等式，由充分条件定义得出实数的取值范围；（2）由是的必要条件得出不等关系，结合作出判断.【小问1详解】由得，故有由得，即若p是q的充分条件，则成立，即得.【小问2详解】因为，所以或若是q的必要条件，则成立，则或，显然这两个不等式均与矛盾，故不存在满足条件的m19、（1）f（x）为奇函数，证明见解析；（2）当a＞1时，不等式的解集为（0，1）；当0＜a＜1时，不等式的解集为（﹣1，0）【解析】（1）先求出函数的定义域，再求出f（﹣x）与f（x）的关系，利用函数的奇偶性的定义，得出结论；（2）分类讨论底数的范围，再利用函数的定义域和单调性，求得x的范围【小问1详解】对于函数，由，求得﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1），再根据可得f（x）为奇函数【小问2详解】不等式f（x）＞0，即loga（x+1）＞loga（1﹣x），当a＞1时，可得x+1＞1﹣x，且x∈（﹣1，1），求得0＜x＜1当0＜a＜1时，可得x+1＜1﹣x，且x∈（﹣1，1），求得﹣1＜x＜0，综上，当a＞1时，不等式的解集为（0，1）；当0＜a＜1时，不等式的解集为（﹣1，0）20、（1）（2）【解析】（1）利用两点式求得直线的方程.（2）利用点斜式求得直线的方程.【小问1详解】∵直线经过点，且点在直线上，∴由两点式方程得，即，∴直线的方程为【小问2详解】若直线与直线平行，则直线的斜率为，∵直线经过点，∴直线的方程为，即21、（1）应选择的函数模型是（，且），函数关系式为；（2）年底.【解析】（1）根据题中的数据可得出所选的函数模型，然后将对应点的坐标代入函数解析式，求出参数的值，即可得出函数解析式；（2）设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为，根据题意求出的值，可得出设从年底起经过年后的传统能源汽车保有量关于的