内蒙古自治区乌兰察布市集宁区一中2025届数学高一上期末监测试题含解析

内蒙古自治区乌兰察布市集宁区一中2025届数学高一上期末监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数（，，）的图象如图所示，则（）A.B.对于任意，，且，都有C.，都有D.，使得2．函数，设，则有A. B.C. D.3．已知a＝20.1，b＝log43.6，c＝log30.3，则（）A.a＞b＞c B.b＞a＞cC.a＞c＞b D.c＞a＞b4．某甲、乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组40个.每组计数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（）A.甲比乙的极差大B.乙的中位数是18C.甲的平均数比乙的大D.乙的众数是215．已知定义域为R的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.6．已知正三棱锥P—ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）的侧面是顶角为30°腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB，PC分别交于点D和点E，则截面△ADE周长的最小值是（）A. B.2C. D.27．已知点P(1，a)在角α的终边上，tan＝－则实数a的值是（）A.2 B.C.－2 D.－8．函数图象一定过点A.(0,1） B.（1,0）C.（0,3） D.（3,0）9．与-2022°终边相同的最小正角是（）A.138° B.132°C.58° D.42°10．下列函数中，同时满足：①在上是增函数，②为奇函数，③最小正周期为的函数是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图所示，中，，边AC上的高，则其水平放置的直观图的面积为______12．东方设计中的“白银比例”是，它的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”，传达出一种独特的东方审美观．折扇纸面可看作是从一个扇形纸面中剪下小扇形纸面制作而成（如图）．设制作折扇时剪下小扇形纸面面积为，折扇纸面面积为，当时，扇面看上去较为美观，那么原扇形半径与剪下小扇形半径之比的平方为________13．已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_____14．圆的半径是6cm，则圆心角为30°的扇形面积是_________15．若函数（常数），对于任意两个不同的、，当、时，均有（为常数，）成立，如果满足条件的最小正整数为，则实数的取值范围是___________.16．边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，.（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；（2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围18．已知二次函数fx（1）当对称轴为x=-1时，（i）求实数a的值；（ii）求f（x）在区间-2,2上的值域.（2）解不等式fx19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线l与圆Q相交于不同的两点A，B，记AB的中点为E（Ⅰ）若AB的长等于，求直线l的方程；（Ⅱ）是否存在常数k，使得OE∥PQ？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由20．如图，动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是用宽（单位）表示所建造的每间熊猫居室的面积（单位）；怎么设计才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？并求出每间熊猫居室的最大面积？21．我们知道，指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数.已知函数，其反函数为.（1）求函数，的最小值；（2）对于函数，若定义域内存在实数，满足，则称为“L函数”.已知函数为其定义域上的“L函数”，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】根据给定函数图象求出函数的解析式，再逐一分析各个选项即可判断作答.【详解】观察函数的图象得：，令的周期为，则，即，，由，且得：，于是有，对于A，，A不正确；对于B，取且，满足，，且，而，，此时，B不正确；对于C，，，，即，都有，C正确；对于D，由得：，解得：，令，解得与矛盾，D不正确.故选：C2、D【解析】>1，<0，0<<1，∴b<c<1，又在x∈（-∞，1）上是减函数，∴f(c)<f(b)<0，而f(a)>0，∴f(c)<f(b)<f(a).点睛：在比较幂和对数值的大小时，一般化为同底数的幂（利用指数函数性质）或同底数对数（利用对数函数性质），有时也可能化为同指数的幂（利用幂函数性质）比较大小，在不能这样转化时，可借助于中间值比较，如0或1等．把它们与中间值比较后可得出它们的大小3、A【解析】直接判断范围，比较大小即可.【详解】，，，故a＞b＞c.故选：A.4、B【解析】通过茎叶图分别找出甲、乙的最大值以及最小值求出极差即可判断A；找出乙中间的两位数即可判断B；分别求出甲、乙的平均数判断C；观察乙中数据即可判断D；【详解】对于A，由茎叶图可知，甲的极差为，乙的极差为，故A正确；对于B，乙中间两位数为，故中位数为，故B错误；对于C，甲的平均数为，乙的平均数为，故C正确；对于D，乙组数据中出现次数最多为21，故D正确；故选：B【点睛】本题考查了由茎叶图估计样本数据的数字特征，属于基础题.5、A【解析】根据偶函数的性质可得在上是增函数，且.由此将不等式转化为来求解得不等式的解集.【详解】因为偶函数在上是减函数，所以在上是增函数，由题意知:不等式等价于,即,即或,解得:或.故选：A【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性以及单调性，考查对数不等式的解法，属于中档题.6、D【解析】可以将三棱锥侧面展开,将计算周长最小值转化成计算两点间距离最小值,解三角形,即可得出答案.【详解】将三棱锥的侧面展开,如图则将求截面周长的最小值,转化成计算的最短距离,结合题意可知=,,所以,故周长最小值为,故选D.【点睛】本道题目考查了解三角形的知识,可以将空间计算周长最小值转化层平面计算两点间的最小值,即可.7、C【解析】利用两角和的正切公式得到关于tanα的值，进而结合正切函数的定义求得a的值.【详解】∵，∴tanα＝－2，∵点P(1，a)在角α的终边上，∴tanα＝＝a，∴a＝－2.故选：C.8、C【解析】根据过定点，可得函数过定点.【详解】因为在函数中，当时，恒有,函数的图象一定经过点，故选C.【点睛】本题主要考查指数函数的几何性质，属于简单题.函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点解答.9、A【解析】根据任意角的周期性，将-2022°化为，即可确定最小正角.【详解】由-2022°，所以与-2022°终边相同的最小正角是138°.故选：A10、D【解析】根据三角函数的图像和性质逐项分析即可求解.【详解】A中的最小正周期为，不满足；B中是偶函数，不满足；C中的最小正周期为，不满足；D中是奇函数﹐且周期，令，∴，∴函数的递增区间为，，∴函数在上是增函数，故D正确.故选：D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、.【解析】直接根据直观图与原图像面积的关系求解即可.【详解】的面积为，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系.故答案为:.12、##【解析】设原扇形半径为，剪下小扇形半径为，，由已知利用扇形的面积公式即可求解原扇形半径与剪下小扇形半径之比【详解】解：由题意，如图所示，设原扇形半径为，剪下小扇形半径为，，则小扇形纸面面积，折扇纸面面积，由于时，可得，可得，原扇形半径与剪下小扇形半径之比的平方为：故答案为：13、【解析】利用函数是减函数,根据对数的图象和性质判断出的大致范围，再根据为减函数，得到不等式组,利用函数的图象,方程的解的个数,推出的范围【详解】函数（且），在上单调递减，则：；解得，由图象可知，在上,有且仅有一个解，故在上,同样有且仅有一个解，当即时,联立,则,解得或1（舍去），当时由图象可知，符合条件，综上：的取值范围为.故答案为【点睛】本题考查函数的单调性和方程的零点,对于分段函数在定义域内是减函数,除了每一段都是减函数以外,还要注意右段在左段的下方,经常会被忽略,是一个易错点；复杂方程的解通常转化为函数的零点,或两函数的交点,体现了数学结合思想,属于难题.14、3π【解析】根据扇形的面积公式即可计算.【详解】,.故答案为：3π.15、【解析】分析可知对任意的、且恒成立，且对任意的、且有解，进而可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.详解】，因为，由可得，由题意可得对任意的、且恒成立，且对任意的、且有解，即，即恒成立，或有解，因为、且，则，若恒成立，则，解得；若或有解，则或，解得或；因此，实数的取值范围是.故答案为：.16、2【解析】取的中点，连接，，则，则为二面角的平面角点睛：取的中点，连接，，根据正方形可知，，则为二面角的平面角，在三角形中求出的长．本题主要是在折叠问题中考查了两点间的距离．折叠问题要注意分清在折叠前后哪些量发生了变化，哪里量没变三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）根据二次函数与对应一元二次不等式的关系，求出a的值，再解不等式即可；（2）根据二次函数的图象与性质，列出不等式组，求出解集即可.【详解】（1）因为不等式的解集为，则方程的两个根为1和2，由根与系数的关系可得，，所以.由，得，即，解得或，所以不等式的解集为；（2）由题知函数，且在区间上有两个不同的零点，则，即，解得，所以实数的取值范围是【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式(组)的解法与应用问题，综合性较强，属中档题.18、（1）（i）-13；（ii）（2）答案见解析.【解析】（1）（i）解方程(a+1)2a=-1即得解；（（2）对a分类讨论解不等式.【小问1详解】解：（i）由题得--(a+1)（ii）fx=-1所以当x∈-2,2时，ff(x)所以f（x）在区间-2,2上的值域为[-5【小问2详解】解：ax当a=0时，-x+1≥0,∴x≤1；当a>0时，(ax-1)(x-1)≥0,∴x当0<a<1时，不等式解集为{x|x≥1a或x≤1}当a=1时，不等式的解集为R；当a>1时，不等式的解集为{x|x≥1或x≤1当a<0时，(ax-1)(-x+1)≤0,∴x所以不等式的解集为{x|1综上，当a=0时，不等式的解集为{x|x≤1}当0<a<1时，不等式的解集为{x|x≥1a或当a=1时，不等式的解集为R；当a>1时，不等式的解集为{x|x≥1或x≤1当a<0时，不等式的解集为{x|119、（Ⅰ）y=-+2或y=-x+2；（Ⅱ）不存在实数满足题意【解析】（Ⅰ）待定系数法，设出直线，再根据已知条件列式，解出即可；（Ⅱ）假设存在常数，将转化斜率相等，联立直线与圆，根据韦达定理，由直线与圆相交可求得范围．由斜率相等可求得的值，从而可判断结论【详解】（Ⅰ）圆Q的方程可写成（x-6）2+y2=4，所以圆心为Q（6，0）设过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2∵|AB|=，∴圆心Q到直线l的距离d==，∴=，即22k2+15k+2=0，解得k=-或k=-所以，满足题意的直线l方程为y=-+2或y=-x+2（Ⅱ）将直线l的方程y=x+2代入圆方程得x2+（kx+2）2-12x+32=0整理得（1+k2）x2+4（k-3）x+36=0.①直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△=[4（k-3）2]-4×36（1+k2）=42（-8k2-6k）＞0，解得-＜k＜0，即k的取值范围为（-，0）设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点E（x0，y0）满足x0==-，y0=kx0+2=∵kPQ==-，kOE==-，要使OE∥PQ，必须使kOE=kPQ=-，解得k=-，但是k∈（-，0），故没有符合题意的常数k【点睛】本题考查了圆的标准方程及弦长计算,还考查了直线与圆相交知识，直线平行知识，中点坐标公式，韦达定理的应用，考查了转化思想，属中档题20、（1）（2）使每间熊猫居室的宽为，每间居室的长为15m时所建造的每间熊猫居室面积最大；每间熊猫居室的最大面积为150【解析】（1）根据周长求出居室的长，再根据矩形面积公式得函数关系式，最后根据实际意义确定定义域（2）根据对称轴与定义区间位置关系确定最值取法：在对称轴处取最大值试题解析：解：（1）设熊猫居室的宽为（单位），由于可供建造围墙的材料总长是，则每间熊猫居室的长为（单位m）所以每间熊猫居室的面积又得（2）二次函数图象开口向下，对称轴且，当时，，所以使每间熊猫居室的宽为，每间居室的长为15m时所建造的每间熊猫居室面积最大；每间熊猫居室的最大面积为150点睛：在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题21、（1）答案见解析（2）【解析】（1）利用换元法令，可得所求为关于p的二次函数，根据二次函数的性质，分析讨论，即可得答案.（2）根据题意，分别讨论在、和上存在实数，满足题意，根据所给方程，