上海市莘庄中学等四校联考2025届高二上数学期末检测试题含解析

上海市莘庄中学等四校联考2025届高二上数学期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合，则集合A的子集个数为（）A.2个 B.4个C.8个 D.16个2．若函数在上有两个极值点，则下列选项中不正确的为（）A. B.C. D.3．已知是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（）A. B.或2C. D.或4．金刚石的成分为纯碳，是自然界中存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体.若某金刚石的棱长为2，则它外接球的体积为（）A. B.C. D.5．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子的高（）A.9cm B.6cmC.3cm D.4.5cm6．如图，在正方体中，（）A. B.C. D.7．已知、，则直线的倾斜角为（）A. B.C. D.8．在四面体中，设，若F为BC的中点，P为EF的中点，则＝（）A. B.C. D.9．已知过点的直线l与圆相交于A，B两点，则的取值范围是（）A. B.C. D.10．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2022项中有（）个奇数A.1012 B.1346C.1348 D.135011．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC（）A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形12．如图，在三棱柱中，平面，，，分别是，中点，在线段上，则与平面的位置关系是（）A.垂直 B.平行C.相交但不垂直 D.要依点的位置而定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．下图是4个几何体的展开图，图①是由4个边长为3的正三角形组成；图②是由四个边长为3的正三角形和一个边长为3的正方形组成；图③是由8个边长为3的正三角形组成；图④是由6个边长为3的正方形组成若直径为4的球形容器（不计容器厚度）内有一几何体，则该几何体的展开图可以是______（填所有正确结论的番号）14．如图是用斜二测画法画出水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形的面积为______.15．不等式的解集是___________.16．已知数列的前n项和为，且满足通项公式，则________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：使用年限（单位：年）1234567失效费（单位：万元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）（2）求出关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用8年的失效费参考公式：相关系数线性回归方程中斜率和截距最小二乘估计计算公式：，参考数据：，，18．（12分）已知等差数列中，，前5项的和为，数列满足，（1）求数列，的通项公式；（2）记，求数列的前n项和19．（12分）已知数列与满足（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第k项是数列的最小项，即恒成立．求证：的第k项是数列的最小项；（3）设．若存在最大值M与最小值m，且，试求实数的取值范围20．（12分）已知集合，，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.21．（12分）已知抛物线的焦点与曲线的右焦点重合.（1）求抛物线的标准方程；（2）若抛物线上的点满足，求点的坐标.22．（10分）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，．且（1）证明：平面平面；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】取，再根据的周期为4，可得，即可得解.【详解】因为，所以.时,，时,，时,，时,，所以集合，所以的子集的个数为，故选：C.2、C【解析】求导，根据题意可得，从而可得出答案.【详解】解：，因为函数在上有两个极值点，所以，即.所以ABD正确，C错误.故选：C.3、B【解析】由等比中项的性质可得，分别计算曲线的离心率.【详解】由是和的等比中项，可得，当时，曲线方程为，该曲线为焦点在轴上的椭圆，离心率，当时，曲线方程为，该曲线为焦点在轴上的双曲线，离心率，故选：B.4、A【解析】求得外接球的半径，进而计算出外接球体积.【详解】设，正八面体的棱长为，根据正八面体的性质可知：，所以是外接球的球心，且半径，所以外接球的体积为.故选：A5、A【解析】根据圆锥和球的体积公式以及半球的体积等于圆锥的体积，即可列式解出【详解】由题意可得，，解得．故选：A6、B【解析】根据正方体的性质，结合向量加减法的几何意义有，即可知所表示的向量.【详解】∵，而，∴，故选：B7、B【解析】设直线的倾斜角为，利用直线的斜率公式求出直线的斜率，进而可得出直线的倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，由斜率公式可得，，因此，.故选：B.8、A【解析】作出图示，根据空间向量的加法运算法则，即可得答案.【详解】如图示：连接OF,因为P为EF中点，，F为BC的中点，则，故选：A9、D【解析】经判断点在圆内，与半径相连，所以与垂直时弦长最短，最长为直径【详解】将代入圆方程得：，所以点在圆内，连接，当时，弦长最短，，所以弦长，当过圆心时，最长等于直径8，所以的取值范围是故选：D10、C【解析】由斐波那契数列的前几项分析该数列的项的奇偶规律，由此确定该数列的前2022项中的奇数的个数.【详解】由已知可得为奇数，为奇数，为偶数，因为，所以为奇数，为奇数，为偶数，…………所以为奇数，为奇数，为偶数，又故该数列的前2022项中共有1348个奇数，故选：C.11、C【解析】由余弦定理确定角的范围，从而判断出三角形形状【详解】由得－cosC>0，所以cosC<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形.故选：C12、B【解析】构造三角形,先证∥平面,同理得∥平面,再证平面∥平面即可.【详解】连接，，.因为在直三棱柱中，M，N分别是，AB的中点，所以∥.因为平面内，平面，所以∥平面.同理可得AM∥平面.又因为，平面，平面，所以平面∥平面.又因为P点在线段上，所以∥平面.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①【解析】根据几何体展开图可知①正四面体、②正四棱锥、③正八面体、④正方体，进而求其外接球半径，并与4比较大小，即可确定答案.【详解】若几何体外接球球心为，半径为，①由题设，几何体为棱长为3的正四面体，为底面中心，则，，所以，可得，即，满足要求；②由题设，几何体为棱长为3的正四棱锥，为底面中心，则，所以，可得，即，不满足要求；③由题设，几何体为棱长为3的正八面体，其外接球直径同棱长为3的正四棱锥，故不满足要求；④由题设，几何体为棱长为3的正方体，体对角线的长度即为外接球直径，所以，不满足要求；故答案为：①14、【解析】根据直观图和平面图的关系可求出，进而利用面积公式可得三角形的面积【详解】由已知可得则故答案为：.15、##【解析】将分式不等式等价转化为不等式组，求解即得.【详解】原不等式等价于，解得,故答案为：.16、【解析】由时，，可得，利用累乘法得，从而即可求解.【详解】因为，所以时，，即，化简得，又，所以，检验时也成立，所以，所以，故答案：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）答案见解析；（2）；失效费为6.3万元【解析】（1）根据相关系数公式计算出相关系数可得结果；（2）根据公式求出和可得关于的线性回归方程，再代入可求出结果.【详解】（1）由题意，知，，∴结合参考数据知：因为与的相关系数近似为0.99，所以与的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合与的关系（2）∵，∴∴关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程得万元，∴估算该种机械设备使用8年的失效费为6.3万元18、（1），；（2）.【解析】（1）利用等差数列求和公式可得，进而可得，再利用累加法可求，即得；（2）由题可得，然后利用分组求和法即得.【小问1详解】设公差为d，由题设可得，解得，所以；当时，，∴，当时，（满足上述的），所以【小问2详解】∵当时，当时，综上所述：19、（1）（2）证明见解析．（3）【解析】（1）由已知关系得出是等差数列及公差，然后可得通项公式；（2）由已知关系式，利用累加法证明对任意的，恒成立，即可得（3）由累加法求得通项公式，然后确定的奇数项和偶数项的单调性，得出数列的最大项和最小项，再利用已知范围解得的范围【小问1详解】由已知，是等差数列，公差为6，所以；【小问2详解】对任意的，恒成立，而恒成立，若，则，恒成立，同理若，也有恒成立，所以对任意的，恒成立，即是最小项；【小问3详解】时，，所以，也适合此式所以，若，则，，，即，，若，由于，且是正负相间，因此无最大项也无最小项因此有，所以的奇数项数列是递增数列，且，，的偶数项数列是递减数列，且，，所以的最大值是，最小项是，，由，又，所以20、(1).(2).【解析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定义，B集合解不等式即可，然后由交集定义即可得结论；（2）若“”是“”的必要不充分条件，说明且，然后根据集合关系求解.详解：(1),.则(2)，因为“”是“”的必要不充分条件，所以且.由，得，解得.经检验，当时，成立，故实数的取值范围是.点睛：考查定义域，解不等式，交集的定义以及必要不充分条件，正确求解集合，缕清集合间的基本关系是解题关键，属于基础题.21、（1）；（2）或.【解析】（1）求出双曲线的右焦点坐标，可求出的值，即可得出抛物线的标准方程；（2）设点，由抛物线的定义求出的值，代入抛物线的方程可求得的值，即可得出点的坐标.【详解】（1）由双曲线方程可得，，所以，解得.则曲线的右焦点为，所以，.因此，抛物线的标准方程为；（2）设，由抛物线的定义及已知可得，解得.代入抛物线方程可得，解得，所以点的坐标为或.22、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）以为坐标原点，以，