第03讲 二次函数y=ax²+c的图像和性质（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）-A4

第1页第03讲二次函数的图像和性质会用描点法画出二次函数y=ax²+c（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念；掌握二次函数y=ax²+c（a≠0）性质，掌握y=ax²（a≠0）与y=ax²+c（a≠0）之间联系。知识点1y=ax²+c的图像性质：【问题1】画出函数y＝x2﹣1的图象．【解答】解：∵次函数y＝x2﹣1的顶点坐标为：（0，﹣1），当y＝0时x＝1或x＝﹣1，∴此图象与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣1，0），∴其图象如图所示：二次函数y＝x2﹣1的性质：（1）y=x2﹣1图像是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向上（4）顶点（0，-1）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点.【问题2】画出函数y＝﹣x2+1的图象．【解答】解：列表如下：x…﹣3﹣2﹣10123…y…﹣8﹣3010﹣3﹣8…描点、连线如图．二次函数y＝-x2+1的性质：（1）y=-x2+1图像是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向下（4）顶点（0，1）（5）当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点.总结：y=ax²+c的图像的性质知识点2：y=ax²（a≠0）与y=ax²+c（a≠0）之间的关系【题型1二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】【典例1】（2023•南海区模拟）抛物线y＝﹣x2+1的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝0 C．直线x＝1 D．直线【答案】B【解答】解：抛物线y＝﹣x2+1的对称轴是直线x＝0，即y轴．故选：B．【变式1-1】（2020九上·路南期末）抛物线y=-x2A．x轴 B．y轴 C．x=2 D．【答案】B【解析】解：抛物线y=-x2+2即抛物线y=-x2+2的对称轴是故答案为：B【变式1-2】（2021九上·阳东期中）二次函数y=-12x2【答案】y轴或直线x=0【解析】∵二次函数y=-∴对称轴为x=-故答案是：y轴或直线x=0．【典例2】（2022秋•丰南区校级期末）二次函数y＝x2+2的图象的顶点坐标是（）A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，0）【答案】A【解答】解：二次函数y＝x2+2的图象的顶点坐标是（0，2），故选：A．【变式2】（2021九上·长春月考）抛物线y＝2x2﹣3的顶点坐标是（）A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（0，3）D．（0，﹣3）【答案】D【解析】解：∵抛物线y=2x2∴该抛物线的顶点坐标为(0，-故答案为：D．【题型2二次函数y=ax²+c图像性质】【典例3】（2022秋•九龙坡区期末）关于抛物线y＝﹣x2+2，下列说法正确的是（）A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．有最小值 D．当x＜0时，函数y随x的增大而减小【答案】B【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2中，a＝﹣1＜0，∴开口向下，对称轴是y轴，故A错误，B正确；∴函数有最大值，当x＜0时，函数y随x的增大而增大，故C、D错误．故选：B．【变式3-1】（2022九上·徐汇期中）下列关于二次函数y=-A．它的对称轴是直线xB．它的图像有最高点C．它的顶点坐标是(0D．在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小【答案】D【解析】解：∵二次函数的表达式为y∴a<0，开口向下，抛物线有最高点，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随∵b=0，∴将x=0代入解析式得∴顶点坐标为(0故答案为：D【变式3-2】（2021九上·亳州期末）抛物线y=4x2A．顶点相同 B．对称轴相同C．开口方向相同 D．顶点都在x轴上【答案】D【解析】解：抛物线y＝4x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，0），抛物线y＝−4（x＋2）2的开口向下，对称轴为直线x＝−2，顶点是（−2，0），∴抛物线y＝4x2与抛物线y＝−4（x＋2）2的相同点是顶点都在x轴上，故答案为：D．【变式3-3】（2021九上·奉贤期中）关于二次函数y=-2x2A．对称轴为直线xB．顶点坐标为（-2，1）C．可以由二次函数y=-2x2D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降．【答案】D【解析】关于二次函数y=-2x2+1的对称轴为直线x=0，开口向下，在对称轴左侧，图像上升，在对称轴右侧，图像下降，顶点坐标（0，1），可以由二次函数y=-2故答案为：D．【题型3二次函数y=ax²+c中y值大小比较】【典例4】（2023•虹口区一模）如果点A（﹣2，y1）与点B（﹣3，y2）都在抛物线y＝x2+k上，那么y1和y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定【答案】B【解答】解：∵y＝x2+k，∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，∴x＜0时，y随x增大而减小，∵﹣3＜﹣2，∴y2＞y1，故选：B．【变式4-1】（2022九上·阳春期末）已知点(x1，y1A．若x1=-x2，则y1=-C．若x1<x2<0，则y1【答案】D【解析】A.若x1=-xB.若y1=yC.若x1<xD.若0<x1<故答案为：D．【变式4-2】（2021九上·海珠期末）函数y＝x2﹣5的最小值是．【答案】-5【解析】解：∵x2≥0，∴x=0时，函数值最小为-5．故答案为：-5．【题型4二次函数y=ax²平移规律】【典例5】（2023•宾阳县一模）抛物线y＝x2向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2【答案】A【解答】解：∵抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），∴向上平移2个单位后的抛物线顶点坐标为（0，2），∴新抛物线解析式为y＝x2+2．故选：A．【变式5-1】（2023九上·东阳期末）若把抛物线y＝3x2﹣1向右平移2个单位，则所得抛物线的表达式为（）A．y＝3x2﹣3 B．y＝3x2+1C．y＝3（x+2）2+1 D．y＝3（x﹣2）2﹣1【答案】D【解析】解：把抛物线y＝3x2﹣1向右平移2个单位，所得抛物线的表达式为y＝3（x-2）2﹣1.

故答案为：D.【变式5-2】（2022秋•铜梁区校级期末）将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是（）A．y＝﹣x2+3 B．y＝﹣x2﹣3C．y＝﹣（x+3）2D．y＝﹣（x﹣3）2【答案】B【解答】解：将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式y＝﹣x2﹣3，故选：B．【题型5二次函数y=ax²与一次函数综合问题】【典例6】（2022秋•赛罕区校级期末）在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误，不符合题意；B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误，不符合题意；C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误，不符合题意；D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，符合题意．故选：D．【变式6-1】（2023九上·孝南期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+A． B．C． D．【答案】B【解析】解：A、由一次函数的图象可知a>0、c>0，由二次函数的图象可知B、由一次函数的图象可知a<0、c>0，由二次函数的图象可知a<0C、由一次函数的图象可知a<0、c<0，由二次函数的图象可知D、由一次函数的图象可知a<0、c>0，由二次函数的图象可知a故答案为：B.【变式6-2】（2022九上·新抚月考）函数y＝ax－a和y=ax2+2A． B．C． D．【答案】C【解析】解：由y=a故A，B不符合题意；由C，D中二次函数的图象可得：a∴-∴函数y＝ax－a过一，二，四象限，故C符合题意，D不符合题意，故答案为：C【题型6y=ax²（a≠0）与y=ax²+c（a≠0）之间的关系】【典例7】（2020九上·梅河口期末）已知，直线y=-2x+3与抛物线y=ax2相交于A、B（1）求a，m的值；（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．【答案】（1）m=9,a=1（2）（0，0）【解答】（1）解：把A的坐标（-3，m）代入y=-2x+3得m=-2×（-3）+3=9，所以A点坐标为（-3，9），把A（-3，9）代入线y=ax2得9a=9，解得a=1．综上所述，m=9,a=1．（2）解：抛物线的表达式为y=x2，根据抛物线特点可得：对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）．【变式7-1】（九上·西城月考）抛物线y=3x2A．都关于y轴对称 B．开口方向相同C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到【答案】A【解析】A．观察两个二次函数解析式可知，一次项系数都为0，故对称轴x=-b2a=0，对称轴为y轴，都关于yB．前一个a>0，开口向上，后一个a<0C．前一个经过原点(0，0)，后一个经过点D．因为二次项系数不一样，不可能通过平移得到的，该选项不符合题意；.故答案为：A【变式7-2】（2020九上·南昌月考）已知点（3，13）在函数y＝ax2+b的图象上，当x＝﹣2时，y＝8．（1）求a，b的值；（2）如果点（6，m），（n，20）也在这个函数的图象上，求m与n的值．【答案】（1）a=1b=4（2）m＝40，n【解答】（1）解：∵点（3，13）在函数y＝ax2+b的图象上，∴13＝9a+b，∵当x＝﹣2时，y＝8，∴8＝4a+b，13=9a+解得：a=1b（2）解：∵a＝1，b＝4，∴函数解析式为y＝x2+4，∵点（6，m），（n，20）也在这个函数的图象上，∴m＝36+4＝40，20＝n2+4，∴n＝±4，则m＝40，n＝±4．1．（2023•庐阳区一模）抛物线y＝3x2﹣5的顶点坐标是（）A．（0，﹣5） B．（0，0） C．（0，5） D．（3，﹣5）【答案】A【解答】解：∵抛物线解析式为y＝3x2﹣5，∴顶点坐标为（0，﹣5），故选：A．2．（2023•小店区校级模拟）对于二次函数y＝﹣x2+2，当x为x1和x2时，对应的函数值分别为y1和y2．若x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法比较【答案】B【解答】解：∵y＝﹣x2+2中，﹣＜0且对称轴为直线x＝0，∴当x＞0时，y随x的增大而减小，∵x1＞x2＞0，∴y1＜y2，故选：B．3．（2023•庐阳区校级一模）二次函数y＝x2﹣2的图象经过点（a，b），则代数式b2+6a2的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2的图象经过点（a，b），∴b＝a2﹣2，∴a2＝b+2，∴b2+6a2＝b2+6（b+2）＝b2+6b+12＝（b+3）2+3；所以代数式b2+6a2的最小值是4，故选：C．4．（2023•宁波模拟）下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：当a＞0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知开，口向上，顶点在y轴负半轴上，与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），由一次函数y＝ax+a可知过一，二，三象限，交x轴于（﹣1，0）；当a＜0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知，开口向下，顶点在y轴正半轴上，与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），由一次函数y＝ax+a可知过二，三，四象限，交x轴于（﹣1，0）；故选：C．5．（2023•青浦区一模）抛物线y＝3x2﹣1在y轴右侧的部分是．（填“上升”或“下降”）【答案】上升．【解答】解：∵y＝3x2﹣1，∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，∴y轴右侧部分上升，故答案为：上升．6．（2021.深圳）抛物线y=3x2A．都关于y轴对称 B．开口方向相同C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到【答案】A【解答】A．观察两个二次函数解析式可知，一次项系数都为0，故对称轴x=-b2a=0，对称轴为y轴，都关于yB．前一个a>0，开口向上，后一个a<0C．前一个经过原点(0，0)，后一个经过点D．因为二次项系数不一样，不可能通过平移得到的，该选项不符合题意；.故答案为：A．7．（2021.佛山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=13x2于B，C两点，则BC的长为。【答案】6【解答】解：∵抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，∴A（0，3），当y=3时，13x2=3解得x=±3，∴B点坐标为（-3，3），C点坐标为（3，3），∴BC=3-（-3）=6.故答案为：68.（2021.百色）如图，两条抛物线y1=-12x2+1,y2=-12x2-1与分别过点（A．10 B．8 C．6 D．4【答案】B【解答】解：根据题意可知，两个抛物线的形状相同∴y1-y2=-12x2+1-（-12x2-1∴阴影部分面积=（y1-y2）×|2-（-2）|=2×4=8故答案为：B.9．（2021.长沙）已知y=(m+2)xm（1）满足条件的m的值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？【解答】（1）因为函数为二次函数∴m+2≠0，m2+m-4=2∴m≠-2，m2+m-6=0∴m≠-2，（m+3）（m-2）=0∴m=-3，m=2（2）当m=2时，函数为y=4x2+1，有最低点，最低点为（0,1），且x≥0时，y随x的增大而增大（3）m=-3时，函数为-x2+1，有最大值，最大值为1，x≥0时，y随x的增大而减小1．（2022秋•曲阜市期末）二次函数y＝x2﹣2的顶点坐标是（）A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（0，2）【答案】B【解答】解：二次函数y＝x2﹣2的图象的顶点坐标是（0，﹣2），故选：B．2．（2022秋•郊区期末）抛物线y＝﹣4x2+3的开口方向和顶点坐标分别是（）A．向上，（﹣4，3） B．向下，（﹣4，3） C．向下，（0，3） D．向上，（0，3）【答案】C【解答】解：抛物线y＝﹣4x2+3的开口向下，顶点坐标是（0，3）．故选：C．3．（2021.河池）下列各点在抛物线y=x2A．(0,1) B．(-1,0) C．(0,0) D．(1,1)【答案】A【解答】当x=0时，y=1，故A符合题意，C不符合题意；当x=1时，y=2，故D不符合题意；当x=-1时，y=2，故B不符合题意；故答案为：A．4．（2021.云南）关于二次函数y=-2x2A．对称轴为直线xB．顶点坐标为（-2，1）C．可以由二次函数y=-2x2D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降．【答案】D【解答】关于二次函数y=-2x2+1的对称轴为直线x=0，开口向下，在对称轴左侧，图像上升，在对称轴右侧，图像下降，顶点坐标（0，1），可以由二次函数y=-2故答案为：D．5．（2021.浙江）二次函数y=2x2A．抛物线开口向下 B．抛物线与x轴有两个交点C．抛物线的对称轴是直线x=1 D．抛物线经过点（2,3）【答案】B【解答】A、a=2，则抛物线y=2x2-3的开口向上，所以A选项不符合题意；B、当y=0时，2x2-3=0，此方程有两个不相等的实数解，即抛物线与x轴有两个交点，所以B选项符合题意；C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项不符合题意；D、当x=2时，y=2×4-3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以D选项不符合题意，故答案为：B．6．（2021.柳州）二次函数y＝x2的图象向下平移2个单位后得到函数解析式为（）A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x+2）2【答案】B【解答】解：∵y＝x2的图象向下平移2个单位，∴平移后函数图象顶点坐标为（0，﹣2），∴得到函数解析式为y＝x2﹣2．故答案为：B．7．（2021.贵阳）抛物线y=2x2-1的图像经过点A(-3,y1)，B(1,y2)，C(4,yA．y1<y2<y3B．y1【答案】C【解答】∵二次函数的解析式为y＝2x2−1，∴抛物线的对称轴为y轴，∵A（−3，y1），B（1，y2），C（4，y3），∴点C离y轴最远，点B离y轴最近，∵抛物线开口向上，∴y2＜y1＜y3．故答案为：C．8．（2022秋•利川市期末）设点（﹣1，y1），，（2，y3）是抛物线y＝﹣2x2+1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y3＞y1【答案】B【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝﹣2x2+1＝﹣2×（﹣1）2+1＝﹣1，当x＝时，y2＝﹣2x2+1＝﹣2×（）2+1＝，当x＝2时，y3＝﹣2x2+1＝﹣2×22+1＝﹣7，∴y2＞y1＞y3．故选：B．9．（2022秋•宽城区校级期末）当a＜0，c＞0时，二次函数y＝ax2+c的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：由二次函数y＝ax2+c可知二次函数y＝ax2+c的图象的对称轴为y轴，