2024-2025学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校九年级（上）第一次月考数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）1．（2分）一元二次方程x2﹣x＝0的解是（）A．0 B．1 C．0和1 D．0和﹣12．（2分）关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0（m为常数）的两实数根之和是（）A．2 B．﹣2 C．m2 D．﹣m23．（2分）某商品单价经过两次降价从144元降至81元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程（）A．144（1+x）2＝81 B．144（1﹣x）2＝81 C．81（1+x）2＝144 D．81（1﹣x）2＝1444．（2分）在某次比赛中，有10位同学参加了“10进5”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同．其中一位同学要知道自己能否晋级，还需要了解10位参赛同学成绩的（）A．平均数 B．加权平均数 C．众数 D．中位数5．（2分）如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．30°6．（2分）如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE（）A．4 B．5 C．6 D．8二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。7．（2分）写一个一元二次方程，使它有两个相等的实数根：（写出一个即可）．8．（2分）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为．9．（2分）圆锥的底面半径为2，母线长为5的侧面积为．10．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝4，则OC的长为．11．（2分）若一元二次方程x2﹣mx+1＝0（m为常数）的一个根是，则另一个根是．12．（2分）某单位要招聘1名英语翻译，小亮参加招聘考试的各门成绩如表所示若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩，则小亮的平均成绩为．项目听说读写成绩（分）7090858513．（2分）正六边形的半径是2，则其内切圆半径是．14．（2分）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径和弧上．若∠O＝45°，OE＝5．15．（2分）如图，将半径OB＝4的半圆绕点B按顺时针方向旋转30°，此时点A到了点A'．16．（2分）如图，矩形ABCD中，，BC＝1，F分别从点A，C同时出发，CD向终点B，D运动，F作直线l，过点A作直线l的垂线，则AG的最大值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分.；17．（8分）解下列一元二次方程（1）x（x+2）＝5（x+2）；（2）x2+5x+3＝0．18．（6分）一块矩形菜地的面积是130m2．若将它的长、宽分别增加5m，8m，它恰成为一块正方形菜地．请建立一元二次方程模型求原矩形菜地的长和宽．19．（7分）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，．求证：．证明：20．（7分）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．（1）求证∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．21．（7分）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD．求证：ED＝EB．22．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+k+3＝0．（1）当k为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）说明：无论k为何值，方程总有一个不变的根．23．（8分）甲、乙两名学生进行射击练习，在相同条件下各射击10次，结果如下：命中的环数/环5678910甲命中次数124210乙命中次数142111（1）甲同学10次射击命中环数的中位数是环，乙同学10次射击命中环数的众数是环；（2）求甲同学10次射击命中环数的平均数和方差；（3）经过计算可知，乙同学10次射击的平均数是7环，方差是2.2环2．根据所学的统计知识，从集中趋势和离散程度这两个不同的角度来评价甲、乙两名学生的射击水平．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，垂足为D，且＝，BE分别交CD、AC于点F、G．（1）求证：∠CAB＝∠DCB；（2）求证：F是BG的中点．25．（9分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，切点是A，连接PO，与⊙O交于点C，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，PA＝4，求BC的长度．26．（9分）【习题再现】（教材P74第10题）如图（1），I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．BD和ID相等吗？为什么？（不需解答，请看下面的问题）【逆向思考】（1）如图（1），I为△ABC内一点，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．若DB＝DI＝DC；【拓展提高】（2）如图（2），⊙O的半径长为5，弦BC＝8上（不与B、C重合），I是△ABC的内心．①点I到⊙O上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点；②AI的最大值为．27．（12分）【问题情境】（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；【操作实践】（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系为；【探究应用】（3）类比【问题情境】中的方法解决问题：如图5，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，AB＝5，CD＝3．（4）如图6，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，PF＝5，当∠DAP最大时；（5）利用图4中的结论解决问题：如图7，分别过矩形ABCD的四个顶点作其内部的⊙O的切线，切点分别为E，F，G，H，BF＝b，DH＝c.（用含a，b，c的代数式表示）

2024-2025学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）1．（2分）一元二次方程x2﹣x＝0的解是（）A．0 B．1 C．0和1 D．0和﹣1【解答】解：∵x2﹣x＝0，∴x（x﹣8）＝0，则x＝0或x﹣3＝0，解得x1＝8，x2＝1，故选：C．2．（2分）关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0（m为常数）的两实数根之和是（）A．2 B．﹣2 C．m2 D．﹣m2【解答】解：关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0（m为常数）的两实数根之和是﹣＝2．故选：A．3．（2分）某商品单价经过两次降价从144元降至81元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程（）A．144（1+x）2＝81 B．144（1﹣x）2＝81 C．81（1+x）2＝144 D．81（1﹣x）2＝144【解答】解：依题意得：144（1﹣x）2＝81．故选：B．4．（2分）在某次比赛中，有10位同学参加了“10进5”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同．其中一位同学要知道自己能否晋级，还需要了解10位参赛同学成绩的（）A．平均数 B．加权平均数 C．众数 D．中位数【解答】解：由于总共有10个人，且他们的成绩各不相同，要判断是否能晋级．故选：D．5．（2分）如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．30°【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，∴∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，∵已知图形是以正方形ABCD的对角线AC所在直线为对称轴的轴对称图形，∴∠BAE＝∠DAF＝×（90°﹣60°）＝15°，∵∠BAE是所对的圆周角，∴所对的圆心角等于8×15°＝30°，∴的度数为30°，故选：D．6．（2分）如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE（）A．4 B．5 C．6 D．8【解答】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，OH，∴四边形OHCG是正方形，由切线长定理可知：AF＝AG，∵DE是⊙O的切线，∴MD＝MF，EM＝EG，∵∠ACB＝90°，BC＝3，∴AB＝＝5，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴内切圆的半径＝（AC+BC﹣AB）＝1，∴CG＝1，∴AG＝AC﹣CG＝4﹣1＝3，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DF+EG+AE＝AF+AG＝6AG＝6．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。7．（2分）写一个一元二次方程，使它有两个相等的实数根：x2+2x+1＝0（写出一个即可）．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠4）有两个相等的实数根，∴b2﹣4ac＝4，∴符合题意的一元二次方程可以为：x2+2x+6＝0，故答案为：x2+8x+1＝0（答案不唯一）．8．（2分）已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为．【解答】解：弧长l＝＝．故答案为：．9．（2分）圆锥的底面半径为2，母线长为5的侧面积为10π．【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×2×5＝10π，故答案为：10π．10．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝4，则OC的长为．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，∴CE＝DE＝CD＝8，设OC＝r，则OE＝OA﹣AE＝r﹣1，在Rt△COE中，（r﹣1）4+22＝r7，解得r＝，即OC的长为．故答案为．11．（2分）若一元二次方程x2﹣mx+1＝0（m为常数）的一个根是，则另一个根是2﹣．【解答】解：设方程的根为：x1＝2+，x2，则（2+）•x2＝1，解得x3＝＝2﹣．故答案为：6﹣．12．（2分）某单位要招聘1名英语翻译，小亮参加招聘考试的各门成绩如表所示若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩，则小亮的平均成绩为82分．项目听说读写成绩（分）70908585【解答】解：小亮的平均成绩为：（70×3+90×3+85×2+85×2）÷（3+7+2+2）＝（210+270+170+170）÷10＝820÷10＝82（分）．故小亮的平均成绩为8（2分）．故答案为：8（6分）．13．（2分）正六边形的半径是2，则其内切圆半径是．【解答】解：如图，⊙O是正六边形的内切圆，连接OA，OB，∴OH⊥AB，∵∠AOB＝＝60°，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAH＝60°．∵OH⊥AB，∴sin∠OAH＝sin60°＝＝，∵正六边形的半径是2，∴AO＝2，∴OH＝，∴内切圆半径是．故答案为：．14．（2分）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径和弧上．若∠O＝45°，OE＝5．【解答】解：如图，连接OD，∴OD＝OE＝5，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝AD＝BC，在Rt△AOB中，∠AOB＝45°，∴∠OAB＝45°＝∠AOB，∴AB＝OB＝BC＝DC，∴OC＝2DC，在Rt△OCD中，OD5＝OC2+DC2，∴22＝（2DC）8+（DC）2，解得DC＝，∴AB＝DC＝．故答案为：．15．（2分）如图，将半径OB＝4的半圆绕点B按顺时针方向旋转30°，此时点A到了点A'．【解答】解：由题知，∵半径OB＝4，∴直径AB＝8，∴＝．由旋转可知，S半圆O＝S半圆O′．又∵S扇形BAA′+S半圆O′＝S阴影+S半圆O，∴．故答案为：．16．（2分）如图，矩形ABCD中，，BC＝1，F分别从点A，C同时出发，CD向终点B，D运动，F作直线l，过点A作直线l的垂线，则AG的最大值为1．【解答】解：连接AC，交EF于O，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠B＝90°，∵AB＝，BC＝1，∴AC＝＝＝2，∵动点E，F分别从点A，以每秒1个单位长度的速度沿AB，D运动，∴CF＝AE，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，又∵∠COF＝∠AOE，∴△COF≌△AOE（AAS），∴AO＝CO＝8，∵AG⊥EF，∴点G在以AO为直径的圆上运动，∴AG为直径时，AG有最大值为1，故答案为：1．三、解答题（本大题共11小题，共88分.；17．（8分）解下列一元二次方程（1）x（x+2）＝5（x+2）；（2）x2+5x+3＝0．【解答】解：（1）∵x（x+2）＝5（x+8），∴x（x+2）﹣5（x+2）＝0，则（x+2）（x﹣8）＝0，∴x+2＝5或x﹣5＝0，解得x5＝﹣2，x2＝6；（2）∵a＝1，b＝5，∴Δ＝82﹣4×4×3＝13＞0，则x＝＝，即x1＝，x2＝．18．（6分）一块矩形菜地的面积是130m2．若将它的长、宽分别增加5m，8m，它恰成为一块正方形菜地．请建立一元二次方程模型求原矩形菜地的长和宽．【解答】解：设正方形菜地的边长为xm，则原矩形菜地的长为（x﹣5）m，依题意得：（x﹣5）（x﹣8）＝130，整理得：x2﹣13x﹣90＝0，解得：x4＝18，x2＝﹣5（不合题意，舍去），∴x﹣6＝18﹣5＝13，x﹣8＝18﹣4＝10．答：原矩形菜地的长为13m，宽为10m．19．（7分）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD．求证：CE＝DE，＝，＝．证明：【解答】解：已知：如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD．求证：CE＝DE，＝，＝．证明：连接OC、OD，在△OCD中，∵AB⊥CD，∴CE＝DE，∠COB＝∠DOB，∴∠AOC＝∠AOD，∴＝，＝．故答案为：AB⊥CD；CE＝DE，＝，＝．20．（7分）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．（1）求证∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE；（2）解：∵∠ACB＝70°，∴∠ADB＝∠ACB＝70°，∴∠ABD＝180°﹣60°﹣70°＝50°．21．（7分）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD．求证：ED＝EB．【解答】证明：如图，连接BD．∵AB＝CD，∴＝．∴﹣＝﹣．∴＝．∴∠B＝∠D．∴BE＝DE．22．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+k+3＝0．（1）当k为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）说明：无论k为何值，方程总有一个不变的根．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝（k+4），∴Δ＝b7﹣4ac＝（k+4）6﹣4×1×（k+7）＝k2+4k+6＝（k+2）2．∵方程总有两个不相等的实数根，∴（k+2）2＞0，即k+5≠0，∴k≠﹣2，∴当k≠﹣6时，这个方程总有两个不相等的实数根．（2）∵x2﹣（k+4）x+k+2＝0，即（x﹣1）[x﹣（k+2）]＝0，∴x﹣1＝8或x﹣（k+3）＝0，∴x2＝1，x2＝k+8，∴无论k为何值，方程总有一个不变的根为x＝1．23．（8分）甲、乙两名学生进行射击练习，在相同条件下各射击10次，结果如下：命中的环数/环5678910甲命中次数124210乙命中次数142111（1）甲同学10次射击命中环数的中位数是7环，乙同学10次射击命中环数的众数是6环；（2）求甲同学10次射击命中环数的平均数和方差；（3）经过计算可知，乙同学10次射击的平均数是7环，方差是2.2环2．根据所学的统计知识，从集中趋势和离散程度这两个不同的角度来评价甲、乙两名学生的射击水平．【解答】解：（1）根据题意，把甲学生10次射击命中的环数从小到大排列后，所以甲同学10次射击命中环数的中位数是＝7，乙同学10次射击命中环数最多的是6环，所以众数是6；故答案为：7；6；（2）甲同学10次射击命中环数的平均数为：，甲同学10次射击命中环数的方差为：＝×[（4﹣5）2+4×（7﹣6）3+（7﹣7）4+2×（7﹣4）2+（7﹣6）2]＝1.3；（3）从平均水平看，甲、乙两名学生射击的环数平均数均为7环；从离散程度看，S2甲＜S5乙，甲的成绩比乙更加稳定；从集中趋势看，甲的众数比乙大；所以甲的射击水平更好一些．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，垂足为D，且＝，BE分别交CD、AC于点F、G．（1）求证：∠CAB＝∠DCB；（2）求证：F是BG的中点．【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAB+∠ACD＝90°，∴∠CAB＝∠DCB；（2）∵弧CE＝弧BC，∴∠CBE＝∠CAB，∵∠CAB＝∠DCB，∴∠CBE＝∠BCD，∴FB＝FC，∵∠CGB+∠CBG＝∠DCG+∠BCF＝90°，∴∠CGB＝∠DCG，∴FC＝FG，∴FB＝FG，∴F是BG的中点．25．（9分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，切点是A，连接PO，与⊙O交于点C，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，PA＝4，求BC的长度．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∵BC∥PO，∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠AOP＝∠COP，在△AOP和△COP中，，∴△AOP≌△COP（SAS），∴∠OCP＝∠OAP＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AC，在Rt△OAP中，OP＝，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OAP＝∠BCA，∵∠AOP＝∠CBA，∴△AOP∽△CBA，∴＝，即＝，解得：BC＝．26．（9分）【习题再现】（教材P74第10题）如图（1），I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．BD和ID相等吗？为什么？（不需解答，请看下面的问题）【逆向思考】（1）如图（1），I为△ABC内一点，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．若DB＝DI＝DC；【拓展提高】（2）如图（2），⊙O的半径长为5，弦BC＝8上（不与B、C重合），I是△ABC的内心．①点I到⊙O上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点；②AI的最大值为10﹣2．【解答】（1）证明：如图（1），连接IB，∵DB＝DI＝DC，∴∠DBI＝∠DIB，＝，∴∠DAB＝∠DAC，∵∠DBC＝∠DAC，∴∠DBC＝∠DAB，∵∠DBI＝∠IBC+∠DBC，∠DIB＝∠IBA+∠DAB，∴∠IBC+∠DBC＝∠IBA+∠DAB，∴∠IBC＝∠IBA，∴点I是△ABC中∠BAC的平分线与∠ABC的平分线的交点，∴I为△ABC的内心．（2）解：①如图（2），延长AI交⊙O于点M，点M就是所求的点．理由：连接BI、BM，∵I是△ABC的内心，∴∠MAB＝∠MAC，∠IBC＝∠IBA，∴＝，∴M为的中点，∴MB的长为定值，∵∠MBC＝∠MAC，∴∠MBC＝∠MAB，∴∠MBI＝∠MBC+∠IBC＝∠MAB+∠IBA＝∠MIB，∴MI＝MB，∴点I到⊙O上的点M的距离始终不变，∴点M就是所求的点．②如图（2），连接OA、OM，∵⊙O的半径长为5，弦BC＝8的中点，∴OA＝OB＝OM＝5，OM⊥BCBC＝2，∴∠OLB＝∠MLB＝90°，∴OL＝＝＝3，∴ML＝OM﹣OL＝5﹣5＝2，∴MI＝MB＝＝＝2，∵AM≤OA+OB，∴AI+2≤7+5，∴AI≤10﹣2，∴AI的最大值为10﹣2，故答案为：10﹣7．27．（12分）【问题情境】（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的2倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；【操作实践】（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系为PA2+PC2＝PB2+PD2；【探究应用】（3）类比【问题情境】中的方法解决问题：如图5，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，AB＝5，CD＝3π．（4）如图6，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，PF＝5，当∠DAP最大时；（5）利用图4中的结论解决问题：如图7，分别过矩形ABCD的四个顶点作其内部的⊙O的切线，切点分别为E，F，G，H，BF＝b，DH＝c.（用含a，b，c的代数式表示）【解答】解：如