数学教材梳理向量的概念及表示

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精疱丁巧解牛知识·巧学1.向量（Vector)的概念及表示我们把既有大小又有方向的量称为向量，更具体些，我们可把一个向量理解为“一个位移"或表达“一点相对于另外一点位置的”量.深化升华有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点.例如，力就是既有大小、方向又有作用点的点向量，有些量只有大小和方向，而无特定的位置，例如，位移、速度等，通常把后一类向量叫做自由向量.本章学习的主要是自由向量.以后我们说到向量，如无特别说明,指的都是自由向量,这就是说，本章所学的向量只有大小、方向两个要素，如果两个向量的大小、方向都相同则说这两个向量相等。辨析比较数量是只有大小的量，其大小可以用正数、负数和零来表示，是一个代数量，可以进行代数运算,也可以比较大小,“大于”“小于”对数量是适用的；向量有方向、大小双重性，不能比较大小.向量有两个要素：大小和方向。在画图时，向量一般用有向线段来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，为以后学习向量提供了几何方法,这也体现了数形结合的数学思想。如图2—1—图2向量也可以用小写字母或表示向量的有向线段的起点和终点的大写字母表示。如以A为起点、B为终点的向量记为,在书写时一定要注意起点字母与终点字母的顺序。误区警示“向量与向量可以表示同一个向量"的说法是错误的，这是因为表示的是以A为起点、B为终点的向量，而则表示的是以B为起点、A为终点的向量，两个向量的方向不同，则不能表示同一个向量.2。向量的长度向量的大小称为向量的模，记作：||.深化升华向量的模实质是代表向量的有向线段的长度——这就是向量模的几何意义，利用向量的几何表示和向量模的几何意义，我们可以将向量和平面几何有机地结合起来.长度（模）为0的向量称为零向量,记作0。0的方向是任意的。长度(模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。由向量模的定义可知，向量的模是一个非负数，它是一个数量，它可以比较大小.而对于零向量要把它和常数0区分开,向量0和数量0的区别与联系在于：零向量的大小为数量0，零向量是有方向的,它的方向是任意的。对于单位向量:单位向量有无数多个,它们的长度都是1，单位向量的大小相等，但单位向量不一定相等。3.平行向量（1)平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,若向量a与向量b和向量c都平行，则可记作：a∥b∥c。规定：0与任一向量平行。(2)相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与向量b相等，则记作：a=b.规定：0=0。由相等向量的定义可知,把一个向量平移后所得的向量与原向量是相等的，因此平行的向量都可以经过平移使它们都落在同一条直线上，故平行向量也叫做共线向量.所以，平行向量和共线向量是同一个概念的不同称呼,平行向量就是共线向量，共线向量也是平行向量.辨析比较共线向量中的“共线"的含义不是平面几何中“共线"的含义。共线向量所在的直线可以平行也可以重合.而平面几何中的“共线”是指必须在同一条直线上。深化升华共线向量有以下四种情况：方向相同且长度相等；方向相反且长度相等；方向相同且长度不相等;方向相反且长度不相等.这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量。(3)相反向量与向量a长度相同、方向相反的向量叫向量a的相反向量。记作-a，a与—a互为相反向量.互为相反向量的两个向量也是共线向量.规定：零向量的相反向量仍是零向量.对于任意一个向量a都有:-(—a)=a.典题·热题知识点1向量的概念及表示例1度有零上与零下之分,温度是不是向量，为什么?思路分析：判断一个量是不是向量,关键就是看这个量是否同时具备两条:既有大小又有方向。解：不是,因为温度只有大小没有方向。方法归纳一个量是不是向量,就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向.若同时具备这两个要素则是向量，否则不是。例2断下面哪些量是向量.（1)面积；（2)体积；(3）质量；(4）位移；(5）路程；(6）速度;(7）加速度;（8）长度；(9)力；（10）功。思路分析：用向量的两个要素来判断.解:由于位移、速度、加速度、力都是由大小和方向来确定的，所以这些量是向量，而其余的量只有大小没有方向，因此它们不是向量。深化升华向量不同于数量，数量是只有大小的量，其大小可以是正数、负数、零，它是一个代数量。而向量是既有大小又有方向的量，且其大小只能是非负数.知识点2相等向量例3如图2—图2（1）分别写出图中的相等向量;（2）写出图中互为相反的向量。思路分析：利用相等向量和相反向量的定义，根据它们的定义和图形的性质及图中的向量作出判断.解：(1)；;(2）和互为相反向量.方法归纳判断两个向量是否相等,要看向量的方向和模，只有方向相同和模相等这两个条件同时成立时，两个向量才相等。而互为相反向量具备的条件是：模相等，方向相反.误区警示共线向量不一定是相等向量，如上图中向量EC和向量DC是共线向量，但它们不是相等向量，因为这两个向量的模不相等。例4下列命题正确的是_____________________.①平行向量的方向一定相同;②共线向量一定相等；③起点不同，但方向相同模相等的几个向量是相等向量；④不相等的向量一定不平行。思路解析:由于平行向量的方向可以相同也可以相反，则①中命题是假命题；②相等向量是共线向量,但共线的向量不一定相等，则②中命题是假命题；根据相等向量的概念，③中命题正确；由共线向量和相等向量的关系知④中命题是假命题.答案：③方法归纳解此题的关键是应区分开平行向量、共线向量、相等向量和相反向量之间的区别和联系.误区警示解此题时容易把平行向量和相等向量之间的关系混淆，认为不相等的向量一定不是平行向量，从而导致出现(4）是真命题的错误。问题·探究交流讨论探究问题在初学本节时，由于受到实数学习的负面影响，或相关概念理解不深,易发生一些错误的判断，请问你们能不能归纳出一些常见的错误判断？探究过程：学生甲:由于向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小,方向表示向量的方向,所以容易出现“向量就是有向线段"的错误判断。学生乙：在实数中,若|a|=｜b｜，则有a=b或a=—b，受它的影响易出现“若|a|=｜b｜，则有a=b或a=-b”的错误论断。学生丙：还有一条，由于实数中零书写的影响，容易出“若｜a｜=0，则a=0”的错误判断。学生丁：由于零向量与任意向量平行，当b=0时，不共线的两个非零向量a、c都与b平行,即a∥b，b∥c的错误,但受平面几何知识的影响，就易出现“若a∥b，b∥c，则a∥c”的错误判断。再有本节中的概念比较多，如果对概念理解不深，还会出现“向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同