2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第06讲利用导数研究函数的零点(方程的根)(知识+真题+5类高频考点)(精讲)(学生版+解析)

第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 2第三部分：高频考点一遍过 3高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数 3高频考点二：证明唯一零点问题 5高频考点三：利用最值（极值）研究函数零点问题 6高频考点四：利用数形结合法研究函数的零点问题 9高频考点五：构造函数研究函数零点问题 12第四部分：典型易错题型 13备注：函数零点讨论时借助图象，容易画错草图 13第五部分：新定义题 14第一部分：基础知识1、函数的零点（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．（2）三个等价关系方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．2、函数零点的判定如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点第二部分：高考真题回顾1．（2023·全国·乙卷文）函数存在3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·乙卷文）已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．3．（2022·全国·乙卷理）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数典型例题例题1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数.(1)若在上为“凸函数”，求的取值范围；(2)若，判断在区间上的零点个数.例题2．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）已知函数．(1)求函数的极值；(2)讨论函数在上的零点个数．（参考数据：，）例题3．（23-24高三上·广东梅州·阶段练习）已知曲线C：(1)若曲线C过点，求曲线C在点P处的切线方程；(2)若，讨论的零点个数．练透核心考点1．（2024·湖南·二模）已函数，其图象的对称中心为.(1)求的值；(2)判断函数的零点个数.2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)曲线在点处的切线方程为，求实数的值．(2)在（1）的条件下，若，试探究在上零点的个数．高频考点二：证明唯一零点问题典型例题例题1．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知函数．(1)若，当时，证明：．(2)若，证明：恰有一个零点．例题2．（23-24高三下·河北·阶段练习）已知函数在区间内有唯一极值点，其中为自然对数的底数.(1)求实数的取值范围；(2)证明：在区间内有唯一零点.例题3．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数，，且函数的零点是函数的零点．(1)求实数a的值；(2)证明：有唯一零点．练透核心考点1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，为的导函数.求证:在上存在唯一零点.2．（2023高三上·全国·专题练习）已知，函数，.证明：函数，都恰有一个零点.高频考点三：利用最值（极值）研究函数零点问题典型例题例题1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围．例题2．（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）已知函数(1)若函数在处取得极值，求的值；(2)若函数在定义域内存在两个零点，求的取值范围.例题3．（23-24高二下·贵州黔西·开学考试）已知在处取得极小值．(1)求的解析式；(2)求在处的切线方程；(3)若方程有且只有一个实数根，求的取值范围.例题4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数.(1)求在上的最大值；(2)若函数恰有三个零点，求的取值范围.练透核心考点1．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数，.(1)若函数在上单调递增，求的最小值；(2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有三个不同的零点，求实数m的取值范围．3．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）若函数在处有极小值．(1)求c的值．(2)函数恰有一个零点，求实数a的取值范围．4．（2023·广东揭阳·模拟预测）已知函数，.(1)讨论的单调性并求极值.(2)设函数（为的导函数），若函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围.高频考点四：利用数形结合法研究函数的零点问题典型例题例题1．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数.(1)当时，求函数的零点个数.(2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明.例题2．（2023·四川·一模）已知函数.(1)求的单调区间；(2)令（a为常数），若有两个零点，求实数a的取值范围.例题3．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，证明：函数在上有两个不同的零点.例题4．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数．(1)当时，求函数的极值；(2)讨论函数的零点个数．练透核心考点1．（2023·四川·三模）已知函数和函数，且有最大值为．(1)求实数a的值；(2)直线y＝m与两曲线和恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为，，，且，证明：．高频考点五：构造函数研究函数零点问题典型例题例题1．（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若，求实数的取值范围.例题2．（23-24高二下·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数，，是自然对数的底数.(1)讨论函数的单调性；(2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；(3)若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值.练透核心考点1．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数.(1)判断的单调性；(2)当时，求函数的零点个数.2．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知函数，(1)若函数，①求的最小值；②若，且，求证：；(2)若函数，且有两个相异的零点，又，求实数的取值范围．第四部分：典型易错题型备注：函数零点讨论时借助图象，容易画错草图1．（2023·陕西汉中·模拟预测）已知函数，其中.(1)若，求的单调区间；(2)若恰有2个不同的极值点，求的取值范围；(3)若恰有2个不同的零点，求的取值范围.第五部分：新定义题1．（2024高三下·江苏·专题练习）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.若为上的“2类函数”，求实数的取值范围.第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 1第三部分：高频考点一遍过 6高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数 6高频考点二：证明唯一零点问题 11高频考点三：利用最值（极值）研究函数零点问题 15高频考点四：利用数形结合法研究函数的零点问题 24高频考点五：构造函数研究函数零点问题 35第四部分：典型易错题型 41备注：函数零点讨论时借助图象，容易画错草图 41第五部分：新定义题 43第一部分：基础知识1、函数的零点（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．（2）三个等价关系方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．2、函数零点的判定如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点第二部分：高考真题回顾1．（2023·全国·乙卷文）函数存在3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.【详解】，则，若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，令，解得或，且当时，，当，，故的极大值为，极小值为，若要存在3个零点，则，即，解得，故选：B.2．（2022·全国·乙卷文）已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.【详解】（1）当时，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以；（2），则，当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，此时函数无零点，不合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；又，由（1）得，即，所以，当时，，则存在，使得，所以仅在有唯一零点，符合题意；当时，，所以单调递增，又，所以有唯一零点，符合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；此时，由（1）得当时，，，所以，此时存在，使得，所以在有一个零点，在无零点，所以有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.3．（2022·全国·乙卷理）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对分类讨论,对分两部分研究【详解】（1）的定义域为当时,,所以切点为,所以切线斜率为2所以曲线在点处的切线方程为（2）设若,当,即所以在上单调递增,故在上没有零点,不合题意若,当,则所以在上单调递增所以,即所以在上单调递增,故在上没有零点,不合题意若(1)当,则,所以在上单调递增所以存在,使得,即当单调递减当单调递增所以当,令则所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又，，所以在上有唯一零点又没有零点,即在上有唯一零点(2)当设所以在单调递增所以存在,使得当单调递减当单调递增,又所以存在,使得,即当单调递增,当单调递减，当，，又，而,所以当所以在上有唯一零点,上无零点即在上有唯一零点所以,符合题意所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为【点睛】方法点睛：本题的关键是对的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.第三部分：高频考点一遍过高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数典型例题例题1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数.(1)若在上为“凸函数”，求的取值范围；(2)若，判断在区间上的零点个数.【答案】(1)(2)1个【分析】（1）根据“凸函数”定义对函数求导，由不等式在恒成立即可求得的取值范围；（2）易知，由导函数求得其在上的单调性，利用零点存在定理可知零点个数为1个.【详解】（1）由可得其定义域为，且，所以，若在上为“凸函数”可得在恒成立，当时，显然符合题意；当时，需满足，可得；综上可得的取值范围为；（2）若，可得，所以，令，则；易知在区间上恒成立，因此可得在上单调递减；显然，；根据零点存在定理可得存在使得，因此可知当时，，即在上为单调递增；当时，，即在上为单调递减；又，显然在上不存在零点；而，结合单调性可得在上存在一个零点；综上可知，在区间上仅有1个零点.例题2．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）已知函数．(1)求函数的极值；(2)讨论函数在上的零点个数．（参考数据：，）【答案】(1)极小值是，无极大值；(2)2【分析】（1）求导，即可根据函数的单调性求解极值点，（2）分类讨论和上的导数正负，结合零点存在性定理即可求解.【详解】（1）函数，；令，即，解得，当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取极小值，函数的极小值是，无极大值；（2），则，令则，由于时，，因此函数在上单调递增，由于，因此存在唯一的，使得，故当单调递减，当单调的递增，时，，此时单调递减，综上可知在单调递减，在单调递增，又，，当时，，因此与轴有两个不同的交点，故在上的零点个数为2.【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的常用方法：(1)直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个；(2)零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.例题3．（23-24高三上·广东梅州·阶段练习）已知曲线C：(1)若曲线C过点，求曲线C在点P处的切线方程；(2)若，讨论的零点个数．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由导数得切线斜率，然后由点斜式得切线方程并化简；（2）先求得，得的单调性，然后讨论的正负，结合零点存在定理得零点个数．【详解】（1）依题意得，，此时，，则切线斜率为，故切线方程：，即.（2），令得，令得，令得．减区间为，增区间为，∴．当时，，∴，∴在上有且仅有一个零点．当时，令，，∴在上单调递增，∴，即，又，∴在上有一个零点，又令，则，∴在上单调递减，∴，∴，∴在上有一个零点．综上所述，时，有一个零点，时，有2个零点.练透核心考点1．（2024·湖南·二模）已函数，其图象的对称中心为.(1)求的值；(2)判断函数的零点个数.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由的图象关于对称，得到，列出方程组即可求解；（2）由（1）得到函数的解析式，求出，利用判断根的情况，分类讨论确定零点的个数.【详解】（1）因为函数的图象关于点中心对称，故为奇函数，从而有，即，，，所以，解得，所以；（2）由（1）可知，，，，①当时，，，所以在上单调递增，，，函数有且仅有一个零点；②当时，，，有两个正根，不妨设，则，函数在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，函数有且仅有一个零点；③当时，，令，解得或，有两个零点；④当时，，，有一个正根和一个负根，不妨设，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，函数有且仅有三个零点；综上，当时，函数有三个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数有一个零点.2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)曲线在点处的切线方程为，求实数的值．(2)在（1）的条件下，若，试探究在上零点的个数．【答案】(1)(2)只有1个零点【分析】（1）求导，再利用导数的几何意义求解；（2）由（1）知，再利用导数法求解.【详解】（1）解：由，得，则有所以切线方程为．又因为曲线在点处的切线方程为，所以．（2）由（1）知，则．令，则．当时，，则单调递减，所以．所以在上单调递增．当时，；当时，．所以在上存在零点，且只有一个零点．当时，，则单调递减，，，所以存在，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减．而，所以在上无零点．综上，在上只有1个零点．高频考点二：证明唯一零点问题典型例题例题1．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知函数．(1)若，当时，证明：．(2)若，证明：恰有一个零点．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，求导可得，即可得到在上单调递增，再由，即可证明；（2）根据题意，构造函数，求导可得，即在上单调递增，再结合，即可证明.【详解】（1）证明：因为，所以，．当时，，则在上单调递增，所以当时，．（2）．令，则．令，则．当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，所以，则在上单调递增．因为，所以恰有一个零点，则恰有一个零点．例题2．（23-24高三下·河北·阶段练习）已知函数在区间内有唯一极值点，其中为自然对数的底数.(1)求实数的取值范围；(2)证明：在区间内有唯一零点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求导得，分和讨论的单调性，并保证在内有唯一零点即可.（2）利用导数确定在区间上的单调性，根据零点存在性定理证明即可.【详解】（1），当时，，①当时，在上单调递减，没有极值点，不合题意；②当时，与在上分别单调递增，显然在上单调递增，因为，所以，得，此时在内有唯一零点，所以当时，；当时，，所以在内有唯一极小值点，符合题意.综上，实数的取值范围为.（2）证明：由（1）知，当时，，，∴在上，∴在上单调递增，∵当时，单调递增，∴当时，单调递减,当时，单调递增，∵当时，，∴，又∵，∴在内有唯一零点，即在内有唯一零点.例题3．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数，，且函数的零点是函数的零点．(1)求实数a的值；(2)证明：有唯一零点．【答案】(1)1(2)证明见详解【分析】（1）易判断单调递增，令，即可得，令即可求；（2）由导数判断单调递增，即可得证.【详解】（1）由易判断在单调递增，且，，所以可令，得，所以，由题意，即，所以；（2），则，令，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，结合（1）可得存在唯一，使得，即函数有唯一零点.【点睛】关键点点睛：解决本题（1）的关键是通过同构得出；（2）的关键是二次求导确定函数的单调性.练透核心考点1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，为的导函数.求证:在上存在唯一零点.【答案】证明见解析【分析】求导，确定函数单调性，再利用零点存在定理判断零点情况.【详解】设，当时，，所以在上单调递减，又因为，所以在上存在唯一的零点，命题得证．2．（2023高三上·全国·专题练习）已知，函数，.证明：函数，都恰有一个零点.【答案】证明见解析【分析】先求导确定函数单调性，然后利用零点存在定理来证明即可.【详解】证明：函数的定义域为，，时，，时，，在上单调递减，在上单调递减增，时，，，，函数恰有一个零点.函数的定义域为，，时，，时，，在上单调递减，在上单调递增，时，，，令（表示中最大的数），，函数恰有一个零点.高频考点三：利用最值（极值）研究函数零点问题典型例题例题1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为：和，单调递减区间为：(2)或【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数求解函数的单调区间；（2）首先求函数的导数，并化简为，，再讨论的取值，结合函数的单调性，判断函数极值点的个数，从而求解实数的取值范围.【详解】（1）当时，，定义域为

令，得或，

所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为：（2）①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故只有一个极小值点，与条件矛盾，故舍去．

②当时，在和上单调递增，在上单调递减，故有两个极值点a和，与条件相符．

③当时，在和上单调递增，在上单调递减，故有两个极值点a和，与条件相符．

④当时，，故在上单调递增，无极值点，舍去．

⑤当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故只有一个极大值点，与条件矛盾，故舍去．

综上可得：或例题2．（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）已知函数(1)若函数在处取得极值，求的值；(2)若函数在定义域内存在两个零点，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用极值点的意义得到，从而求得，再进行验证即可得解；（2）分类讨论的取值范围，利用导数得到的性质，从而得到且，解之即可得解.【详解】（1）因为，则，因为函数在处取得极值，所以，解得，当时，可得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，函数取得极大值，符合题意，故.（2）由，其中，当时，可得，单调递增，此时函数至多有一个零点，不符合题意；当时，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，取得极大值，也是最大值，最大值为，又，且当时，，所以要使得函数有两个零点，则满足，即，解得，所以实数的取值范围是.例题3．（23-24高二下·贵州黔西·开学考试）已知在处取得极小值．(1)求的解析式；(2)求在处的切线方程；(3)若方程有且只有一个实数根，求的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求出，由题意可的，由此即可求出答案；（2）分别求出，的值，再利用点斜式写出直线；（3）将问题转化为函数与有且只有一个交点，求出函数的单调性与极值，即可求出的取值范围.【详解】（1）由题意知，因为在处取得极小值则，解得：经检验，满足题意，所以，所以（2）由题意知，，所以所以切点坐标为，斜率所以切线方程为：，即.（3）令，解得或，则，，的关系如下表：+00+单调递增单调递减单调递增则，，方程有且只有一个实数根等价于有且只有一个实数根，等价于函数与有且只有一个交点，即或，解得：或，所以.例题4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数.(1)求在上的最大值；(2)若函数恰有三个零点，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，再利用导数求出函数的极值及端点的函数值，即可求出函数的最大值；（2）利用导数求出函数的极值，再结合题意列出不等式组即可得解.【详解】（1），可知时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，由，，；（2），当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在单调递减，所以，，当时，，当时，，因为有三个零点，所以，即，解得，故的取值范围为.练透核心考点1．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数，.(1)若函数在上单调递增，求的最小值；(2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）分析可知，对任意的恒成立，分析函数在上的单调性，根据可求得实数的取值范围，即可得解；（2）令，分析可知，函数的图象与直线只有一个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：由已知可得，则，因函数在上单调递增，所以对任意的恒成立，又因为函数在上为增函数，则，解得，故实数的最小值为.（2）解：，令，可得，因为函数的图象与有且只有一个交点，令，则函数的图象与直线只有一个公共点，则，令，解得或，令，解得，所以在、上单调递增，在上单调递减，则的极大值为，极小值为，的图象如下所示：由图可知，当或时，函数的图象与直线只有一个公共点，因此，实数的取值范围是.2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有三个不同的零点，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)．【分析】（1）求出导数，计算出切点及斜率，写出直线方程即可;（2）利用导数求出单调区间以及极值，要使函数有三个不同的零点，只需满足计算即可.【详解】（1）当时，，．所以，，所以切线l：，即（2）令，得或．当或时，；当时，．∴的增区间为，；减区间为．∴的极大值为，的极小值为．∴，解得：．此时，，所以函数有三个不同的零点，所以．3．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）若函数在处有极小值．(1)求c的值．(2)函数恰有一个零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)3(2)【分析】（1）利用导数在处取到极值的必要不充分条件，从而求出c值，再对c进行检验即可求出结果．（2）利用导数研究函数单调性，通过极值的范围求实数a的取值范围．【详解】（1）因为，所以，又因为函数在处有极小值，所以，解得或，当时，，则时，，时，，在上单调递减，在上单调递增，可得函数在处取得极小值；当时，，则时，，时，，在上单调递增，在上单调递减，可得函数在处取得极大值，不合题意，舍去．所以c的值为3.（2），函数定义域为R，，当时，恒成立，在R上单调递增，时，有一个零点-1；时，，，恰有一个零点.当时，解得或，解得，在和上单调递增，在上单调递减，时，有极大值，时，有极小值，恰有一个零点，或解得，综上可知，函数恰有一个零点，实数a的取值范围为.4．（2023·广东揭阳·模拟预测）已知函数，.(1)讨论的单调性并求极值.(2)设函数（为的导函数），若函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值；(2).【分析】（1）求出，然后可得单调性和极值；（2），然后求出当时的单调性，要使函数在内有两个不同的零点，则有，解出，然后证明即可.【详解】（1）因为在上单调递增，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，无极大值.（2）因为，所以，当时，，所以当或时，在上单调，至多只有一个零点，不满足题意，当时，由可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以要使函数在内有两个不同的零点，则有，由可得，下面证明当时，令，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以当时，综上：实数的取值范围为.高频考点四：利用数形结合法研究函数的零点问题典型例题例题1．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数.(1)当时，求函数的零点个数.(2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明.【答案】(1)有且仅有一个零点(2)，证明见解析【分析】（1）利用导函数与单调性的关系，以及零点的存在性定理求解；（2）根据题意可得有两个不同实根，进而可得，两式相加得，两式相减得，从而有，进而要证，只需证，即证，构造函数即可证明.【详解】（1）当时，，所以函数在上单调递增，又因为，所以函数有且仅有一个零点.（2）方程有两个不同实根，等价于有两个不同实根，得，令，则，令，解得；令，解得；所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，由，得当时，；当的大致图象如图所示，

所以当，即时，有两个不同实根；证明：不妨设且两式相加得，两式相减得，所以，要证，只需证，即证，设，令，则，所以函数在上单调递增，且，所以，即，所以，原命题得证.【点睛】关键点点睛：本题第二问考查极值点偏移问题，常用解决策略是根据，两式相加相减，进而可得，进而要证，只需证，即证，从而将双变量转化为单变量，令，讨论该函数的单调性和最值即可证明.例题2．（2023·四川·一模）已知函数.(1)求的单调区间；(2)令（a为常数），若有两个零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是(2)【分析】（1）求导，利用导数求原函数的单调区间；（2）根据题意分析可得有两解，令，利用导数判断原函数的单调性与极值，结合图像分析求解.【详解】（1）由题意可知：的定义域为，，令，解得；令，解得；所以的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）由题意可知：，其定义域为，则有两个零点，即有两解，即有两解，令，则.令，解得；令，解得；则的单调递减区间是，单调递增区间是，可知，又因为，且当趋近于，趋近于0，要使得有两解，只需，所以，

故实数a的取值范围为.例题3．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，证明：函数在上有两个不同的零点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）当时，由可得出，令，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可证得结论成立.【详解】（1）解：因为，则，所以，，，所以，曲线在点处的切线方程为，即.（2）解：当时，且当时，由，可得，令，其中，则，令，可得，列表如下：减极小值增所以，函数的最小值为，如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，故当时，直线与函数在上的图象有两个交点，此时，函数在上有两个不同的零点.例题4．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数．(1)当时，求函数的极值；(2)讨论函数的零点个数．【答案】(1)极小值，无极大值.(2)当时，函数没有零点；当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点.【分析】（1）根据题意得出，然后分别令以及，通过计算即可得出函数的单调性，进而求出结果；（2）可将转化为，记，求出函数的单调性以及最值，最后根据函数的单调性以及最值，然后数形结合可得出结果.【详解】（1）当时，，，令，则；令，则；故函数的单调递增区间是，单调递减区间为；当时，函数取极小值，无极大值.（2）令，因为，所以，记，有，令，则；令，则，故在上单调递增，在上单调递减，从而，因此当时，直线与的图像没有交点；当或时，直线与的图像有1个交点；当时，直线与的图像有2个交点.综上：当时，函数没有零点；当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点.练透核心考点1．（2023·四川·三模）已知函数和函数，且有最大值为．(1)求实数a的值；(2)直线y＝m与两曲线和恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为，，，且，证明：．【答案】(1)1(2)证明见解析【分析】（1）根据的单调性得到最大值为，然后列方程求解即可；（2）根据交点情况得到，然后再结合的单调性即可得到，即可证明.【详解】（1）的定义域为R，且，，当时，，递增；当时，，递减；所以，所以，解得，又，所以a＝1.（2）证明：由（1）可知：在递增，在递减，又，所以在递增，在递减，和的图象如图所示：

设和的图象交于点A，则当直线y＝m经过点A时，直线y＝m与两条曲线和共有三个不同的交点，则，且，，，因为，所以，即，因为，，且在递增，所以，所以，因为，所以，即，因为，，且在递减，所以，所以，所以，即．【点睛】函数零点问题：（1）转化为方程的根；（2）转化为函数与轴交点的横坐标；（3）转化为两个函数图象交点的横坐标.2．（23-24高二下·贵州·阶段练习）设函数，曲线在点处取得极值．(1)求实数a的值；(2)求函数的单调区间；(3)令函数，是否存在实数k使得没有零点？若存在，请求出实数k的范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，；(3)【分析】（1）利用导数在的值为0可得答案；（2）分别令，可得答案；（3）利用单调性求出函数的极值，画出大致图象，转化为函数与的图象没有交点可得答案．【详解】（1），因为曲线在点处取得极值，所以，解得，经检验符合题意；（2）由（1），，当，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递减，所以函数的单调递增区间为，；函数的单调递减区间为，；（3）存在，理由如下，由（2）函数的单调递增区间为，；函数的单调递减区间为，；所以，，，当时，，当时，，可得的大致图象如下，

若函数没有零点，则函数与的图象没有交点，所以.【点睛】关键点点睛：函数没有零点，转化为函数与的图象没有交点问题，数形结合可得答案.3．（23-24高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数（）．(1)当时，过点作的切线，求该切线的方程；(2)若函数在定义域内有两个零点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）设切点为，求导，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点，求出切点，即可得解；（2）分离参数，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象仅有两个交点，求的取值范围．【详解】（1）当时，，则，设切点为，则，所以切线方程为，又切线过点，所以，即，所以，所以切线方程为，即；（2）由，得，令，则，令得，令得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，当趋向于时，趋向，当趋向于时，趋向，作出函数的图象和直线，如图示，在定义域内有且仅有两个零点,即和有且只有两个交点，由图象知，的取值范围是．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.4．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数在上的最小值为．(1)求a的值；(2)若函数有3个零点，求实数b的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）求导，再对分四种讨论，求出函数的单调性即得解；（2）由（1），可得，构造函数，利用导数求出函数的单调区间和极值，结合函数图象可得答案.【详解】（1）由,,

当时,在上恒大于等于0,所以在上单调递增,,不合题意；当时,则时,,单调递减；时,,单调递增,所以,,所以,不满足；当时,在上,且不恒为0,所以在上单调递减,,适合题意；当时,在上,,所以在上单调递减,,所以,不满足；综上,．（2）由（1）,所以,令,则,

所以,且当时,；当时,；当时,,所以极小值为,极大值为,

如图：当时,函数有3个零点．高频考点五：构造函数研究函数零点问题典型例题例题1．（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据定义域可化简函数，构造新函数，即求的解集即可，而，所以解集为．（2）引入隐零点x0，利用导数得到在上单调递减，在上单调递增，最后得到的范围.【详解】（1）的定义域为∴当时，，令，．当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，则不等式的解集为．（2）当时，，令，恒成立，则在上单调递增，又，，存在唯一的使，且，所以当时，，由，则在上单调递减，当时，，由，（分开考虑导函数符号）当时，在上单调递增，则，所以当时，，所以在上单调递增，所以，由题意则，设，则在上恒成立，所以在上单调递增，此时，即，综上所述，实数的取值范围为．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是构造新的函数，并利用隐零点法求解的范围..例题2．（23-24高二下·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数，，是自然对数的底数.(1)讨论函数的单调性；(2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；(3)若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值.【答案】(1)见解析(2)(3)2【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论和两种情况，求函数的单调性；（2）方程，转化为，利用导数分析函数的图象，再利用数形结合，求参数的取值范围；（3）首先参变分离为，再令，，利用导数求函数的单调区间，并求函数的最小值的取值范围，即可求解的最大值.【详解】（1），若，则恒成立，所以在上单调递增，若，，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，综上可知，时，的增区间是，当时，的减区间是，增区间是；（2）方程，显然当时，方程不成立，则，，若方程有两个不等实根，即与有2个交点，，当时，，在区间和单调递减，并且时，，当时，当时，，单调递增，时，当时，取得最小值，，如图，函数的图象，与有2个交点，则；（3）当时，，，所以，当时，，，令，，则，由（1）可知，在单调递增，而且，所以在上存在唯一的零点，即在上存在唯一的零点，设此零点为，则，且，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的最小值为，所以，所以整数的最大值为2.【点睛】关键点点睛：本题第二问和第三问的关键是运用参变分离，转化为函数图象的交点