2024-2025学年高中数学第二章函数2.1生活中的变量关系学案含解析北师大版必修1

PAGE其次章函数§1生活中的变量关系内容标准学科素养1.了解生活中两个变量之间的依靠关系现象．2.了解生活中两个变量之间的函数关系现象．3.能辨析依靠关系和函数关系的区分和联系.精确数学概念加强逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第15页[基础相识]学问点一依靠关系eq\a\vs4\al(预习教材P23－25，思索并完成以下问题)某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，则他的海拔高度与摩天轮转动时间有依靠关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少分钟？提示：该人的海拔高度与摩天轮转动时间有依靠关系．当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2分钟或6分钟．学问梳理依靠关系一般地，在某改变过程中有两个变量，假如其中一个变量的值发生了改变，另一个变量的值也会随之发生改变，那么就称这两个变量具有依靠关系．学问点二函数关系eq\a\vs4\al(思索并完成以下问题)某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，若把摩天轮的转动时间t当自变量，他的海拔高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？提示：每取一个t值，有唯一一个h值与之对应．学问梳理函数关系一般地，当变量x每取一个值，另一个变量y总有唯一确定的值与之对应时，变量x、y之间具有函数关系，并且y是x的函数．学问点三依靠关系与函数关系eq\a\vs4\al(思索并完成以下问题)(1)在学问点二的思索中，h是t的函数吗？t是h的函数吗？h，t有依靠关系吗？提示：h是t的函数；t不是h的函数；h，t有依靠关系．(2)某天的感冒人数与天气之间的关系是函数关系吗？提示：某天的感冒人数与天气之间有肯定的依靠关系，但不是函数关系，因感冒人数除与天气有关外还与个人的体质、所处环境等有关．学问梳理依靠关系与函数关系一般地，函数关系肯定是依靠关系，而依靠关系不肯定是函数关系．要确定变量的函数关系，需先分清谁是自变量，谁是因变量．[自我检测]1．下列各量间不存在依靠关系的是()A．扇形的圆心角与它的面积 B．某人的体重与其饮食状况C．水稻的亩产量与施肥量 D．某人的衣着价格与视力答案：D2．一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；图中与这件事正好吻合的图像是(其中x轴表示时间，y轴表示路程)()解析：骑着车一路匀速行驶，此时函数图像为递增的直线，在途中遇到一次交通堵塞，则这段时间与家的距离必为肯定值，故应选图像A.答案：A3．给出下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财宝之间的关系；②抛物线上的点与该点坐标之间的关系；③橘子的产量与气候之间的关系；④某同学在6次考试中的数学成果与他的考试号之间的关系．其中不是函数关系的有________(填序号)．解析：①③中两者存在依靠关系，但不是函数关系，②中两者是函数关系；④中两者不存在依靠关系，更不是函数关系．答案：①③④授课提示：对应学生用书第16页探究一依靠关系与函数关系的辨析[例1]下列各组中两个变量之间是否存在依靠关系？其中哪些是函数关系？①球的体积和它的半径；②速度不变的状况下，汽车行驶的路程与行驶时间；③家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；④正三角形的面积和它的边长．[解析]①中球的体积V与半径r间存在V＝eq\f(4,3)πr3的关系；②中在速度不变的状况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系；③中家庭收入与其消费支出间存在依靠关系，但具有不确定性；④中正三角形的面积S与其边长a间存在S＝eq\f(\r(3),4)a2的关系．综上可知①②③④中两个变量间都存在依靠关系，其中①②④是函数关系．方法技巧推断两个变量有无依靠关系，主要看其中一个变量改变时，是否会导致另一个变量随之改变．而推断两个具有依靠关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即考察对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应．跟踪探究1.下列过程中，各变量之间是否存在依靠关系？若存在依靠关系，则其中哪些是函数关系？(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，视察温度计示数的改变，冷却时间与温度计示数的关系；(2)家庭的食品支出与电视价格之间的关系；(3)在高速马路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．解析：(1)冷却时间与温度计示数具有依靠关系，依据函数定义知，二者之间是函数关系(一一对应)；(2)家庭的食品支出与电视价格之间没有依靠关系；(3)在高速马路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依靠关系，且具有确定性，是函数关系(一一对应)．综上可知，(1)(3)中的变量间具有依靠关系，且是函数关系；(2)中两个变量不存在依靠关系．探究二变量关系的表示[例2]声音在空气中传播的速度简称音速，试验测得音速与气温的一些数据如下表：气温x/℃05101520音速y(米/秒)331334337340343(1)依据表内数据作图，由图可看出变量________随________的改变．(2)用x表示y的关系式为________．(3)气温为22℃[答案](1)音速气温(2)y＝eq\f(3,5)x＋331(3)1721方法技巧本类题目主要考查学生接受信息及学问的迁移实力．解答此类题目的关键在于借助变量间的图像，分析实际问题中所隐含的东西，然后结合已学学问加以综合分析，从而把问题解决．跟踪探究2.心理学家发觉，学生对概念的接受实力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间有如下关系：(其中0≤x≤20)提出概念所用时间(x)257101213141720对概念的接受实力(y)47.853.556.35959.859.959.858.355(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受实力是多少？(3)依据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受实力最强？(4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受实力逐步增加？当时间x在什么范围内时，学生的接受实力逐步降低？解析：(1)画出图如图所示：反映了提出概念所用的时间x和对概念接受实力y两个变量之间的关系；其中x是自变量，y是因变量．(2)由题中表格可知，当提出概念所用时间为10分钟时，学生接受实力是59.(3)由题中表格可知，提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受实力最强．(4)当x在2分钟至13分钟的范围内时，学生的接受实力逐步增加；当x在13分钟至20分钟的范围内时，学生的接受实力逐步降低.授课提示：对应学生用书第16页[课后小结]1．依靠关系和非依靠关系在某改变过程中有两个变量，假如其中一个变量的值发生了改变，另一个变量的值也会随之发生改变，那么就称这两个变量具有依靠关系．在某改变过程中有两个变量，假如其中一个变量的值发生了改变，另一个变量的值不受任何影响，那么就称这两个变量具有非依靠关系．2．函数关系假如变量x，y具有依靠关系，对于其中一个变量x的每一个值，另一个变量y都有唯一确定的值时，那么称变量y是变量x的函数，即这两个变量之间具有函数关系．3．借助图表可使两个变量间的关系直观化，从而更便于我们从中发觉规律．[素养培优]对变量关系理解不透致误易错案例：下列关系是函数关系的是()A．乘坐出租车时，所付车费和乘车距离的关系B．某同学学习时间与其学习成果的关系C．人的睡眠质量与身体状况的关系D．树木的高度与土壤的关系易错分析：对改变过程中的两个量，假如其中一个变量的值发生了改变，另一个变量的值也会随之改变，则这两个变量存在依靠关系，进一步说，假如这两个的值的改变存在一一对应，就构成了函数关系．关键在理解依靠关系和