2025届湖南省长沙市开福区长沙一中数学高二上期末检测模拟试题含解析

2025届湖南省长沙市开福区长沙一中数学高二上期末检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在四面体中，，，两两垂直，已知，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B.C. D.2．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（）A. B.C. D.3．设，，则“”是“”的A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件4．已知的周长等于10，，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点的轨迹方程可以是（）A. B.C. D.5．设函数在R上存在导数，对任意的有，若，则k的取值范围是（）A. B.C. D.6．已知是空间的一个基底，若，，若，则（）A B.C.3 D.7．已知，若与的展开式中的常数项相等，则（）A.1 B.3C.6 D.98．某双曲线的一条渐近方程为，且焦点为，则该双曲线的方程是（）A. B.C. D.9．散点图上有5组数据：据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则的值为（）A.54.2 B.87.64C.271 D.438.210．不等式的解集为（）A.或 B.C. D.11．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.12．函数的导函数为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为坐标原点，记直线的斜率分别为，则______.14．某工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续5天生产的手套数依次为，，，，（单位：万只），若这组数据，，，，的方差为4，且，，，，的平均数为8，则该工厂这5天平均每天生产手套______万只15．=______.16．若函数在（0，+∞）内有且只有一个零点,则a的值为_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在如图所示的多面体中，且，，，且，，且，平面，（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值18．（12分）已知圆，点.（1）若，半径为的圆过点，且与圆相外切，求圆的方程；（2）若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求.19．（12分）已知，是函数的两个极值点.（1）求的解析式；（2）记，，若函数有三个零点，求的取值范围.20．（12分）在平面直角坐标系中，有一条长度为3的线段，端点，分别在轴、轴上运动，为线段上一点，且.（1）求点的轨迹的方程；（2）已知不过原点的直线与相交于，两点，且线段始终被直线平分.求的面积取最大时直线的方程.21．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，三个顶点（左、右顶点和上顶点）构成的三角形的面积为，离心率为方程的根.（1）求椭圆方程；（2）椭圆的一个内接平行四边形的一组对边分别过点和，如图，若这个平行四边形面积为，求平行四边形的四个顶点的纵坐标的乘积.22．（10分）已知双曲线C：(a>0，b>0）的离心率为，且双曲线的实轴长为2（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线x－y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB中点在圆x2＋y2=17上，求m的值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】利用三线垂直建立空间直角坐标系，将线面角转化为直线的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空间向量进行求解.【详解】以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，所以平面的一个法向量为；设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.故选：D.2、B【解析】由题意求出蒙日圆方程，再由两圆只有一个交点可知两圆相切，从而列方程可求出b的值【详解】由题意可得椭圆的蒙日圆的半径，所以蒙日圆方程为，因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，所以两圆相切，所以，解得，故选：B3、C【解析】不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.4、A【解析】根据椭圆的定义进行求解即可.【详解】因为的周长等于10，，所以，因此点的轨迹是以为焦点的椭圆，且不在直线上，因此有，所以顶点的轨迹方程可以是，故选：A5、C【解析】构造函数，求导后利用单调性，对题干条件变形后得到不等关系，求出答案.【详解】令，则恒成立，故单调递增，变形为，即，从而，解得：，故k的取值范围是故选：C6、C【解析】由，可得存在实数，使，然后将代入化简可求得结果【详解】，，因为，所以存在实数，使，所以，所以，所以，得，，所以，故选：C7、B【解析】根据二项展开式的通项公式即可求出【详解】的展开式中的常数项为，而的展开式中的常数项为，所以，又，所以故选：B8、D【解析】设双曲线的方程为，利用焦点为求出的值即可.【详解】因为双曲线的一条渐近方程为，且焦点为，所以可设双曲线的方程为，则，，所以该双曲线方程为.故选：D.9、C【解析】通过样本中心点来求得正确答案.【详解】，故，则，故.故选：C10、A【解析】根据一元二次不等式的解法可得答案.【详解】由不等式可得或不等式的解集为或故选：A11、D【解析】设出双曲线方程，通过做标准品和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且AB＝BC＝CD，推出点在双曲线上，然后求出离心率即可.【详解】设双曲线的方程为，则，因为AB＝BC＝CD，所以，所以，因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以在双曲线上，代入可得，解得，所以双曲线的离心率为.故选：D12、B【解析】利用复合函数求导法则即可求导.【详解】，故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】过焦点作直线要分为有斜率和斜率不存在两种情况进行分类讨论.【详解】抛物线的焦点当过焦点的直线斜率不存在时，直线方程可设为，不妨令则，故当过焦点的直线斜率存在时，直线方程可设为，令由整理得则，综上，故答案为：14、2【解析】结合方差、平均数的公式列方程，化简求得正确答案.【详解】依题意设，则，.故答案为：15、【解析】根据被积函数（）表示一个半圆，利用定积分的几何意义即可得解.【详解】被积函数（）表示圆心为，半径为2的圆的上半部分，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了利用定积分的几何意义来求定积分，在用该方法求解时需注意被积函数的在给定区间内的函数值符号，本题属于中档题.16、a＝3【解析】对函数进行求导,分类讨论函数单调性,根据单调性结合已知可以求出a的值.【详解】∵函数在（0，+∞）内有且只有一个零点,∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0,函数f（x）在（0，+∞）上单调递增,f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上没有零点,舍去；②当a＞0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解为x，∴f（x）在（0,）上递减,在（,+∞）递增，又f（x）只有一个零点,∴f（）1＝0，解得a＝3故答案为：a＝3【点睛】本题考查了利用导数研究已知函数的零点求参数取值问题,考查了分类讨论和数学运算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据线面垂直的性质可得，，如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，证明即可得证；（2）求出平面与平面的法向量，再利用向量法即可得解.【小问1详解】证明：因为平面，平面，平面，所以，且，因为，如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，，所以；【小问2详解】，设平面的法向量为，则，即，令，有，设平面的法向量为，则，即，令，有，设平面和平面的夹角为，，所以平面和平面的夹角的余弦值为18、（1）或（2）【解析】（1）设圆心，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出圆的方程；（2）分析可知直线、的斜率存在，设过点且斜率存在的直线的方程为，即，利用勾股定理可得出，可知直线、的斜率、是关于的二次方程的两根，求出、的坐标，结合韦达定理可求得的值.【小问1详解】解：设圆心，圆的圆心为，由题意可得，解得或，因此，圆的方程为或.【小问2详解】解：若过点的直线斜率不存在，则该直线的方程为，圆心到直线的距离为，不合乎题意.设过点且斜率存在的直线的方程为，即，由题意可得，整理可得，设直线、的斜率分别为、，则、为关于的二次方程的两根，，由韦达定理可得，，在直线的方程中，令，可得，即点在直线的方程中，令，可得，即点，所以，，解得.19、（1）；（2）【解析】（1）根据极值点的定义，可知方程的两个解即为，，代入即得结果；（2）根据题意，将方程转化为，则函数与直线在区间，上有三个交点，进而求解的取值范围【详解】解：（1）因为，所以根据极值点定义，方程的两个根即为，，，代入，，可得，解之可得，，故有；（2）根据题意，，，，根据题意，可得方程在区间，内有三个实数根，即函数与直线在区间，内有三个交点，又因为，则令，解得；令，解得或，所以函数在，上单调递减，在上单调递增；又因为，，，，函数图象如下所示：若使函数与直线有三个交点，则需使，即20、（1）（2）【解析】(1)设，根据题意可得，，利用两点之间的距离公式表示出，化简即可得出结果；(2)设，，线段的中点为，利用两点坐标表示直线斜率的公式和点差法求出直线的斜率，设的方程为，联立椭圆方程并消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理表示、进而得出弦长，利用点到直线的距离公式求出原点到的距离，结合基本不等式计算即可.【小问1详解】设，由为线段上一点，且，得，，又，则，整理可得，所以轨迹的方程为；【小问2详解】设，，线段的中点为.∵在直线上，∴，∵A，在轨迹上，∴两式相减，可得，∴，即直线的斜率为，依题意，可设直线的方程为，由可得，则解得且由韦达定理，得，∴∵原点到直线的距离为∴，当且仅当，即时等号成立，即时，三角形的面积最大，此时直线的方程为.21、（1）；（2）.【解析】（1）由椭圆离心率的性质及一元二次方程的根可得，再由椭圆参数关系、已知三角形面积求椭圆参数，即可得椭圆方程.（2）设直线，联立椭圆方程并结合韦达定理求，进而可得，再根据求参数t，可得，结合椭圆的对称性求，即可求结果.【小问1详解】由的根为，所以椭圆的离心率，依题意，，解得，即椭圆的