2025届青海省西宁市大通县第一中学高二上数学期末学业水平测试试题含解析

2025届青海省西宁市大通县第一中学高二上数学期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图在中，，，在内作射线与边交于点，则使得的概率是（）A. B.C. D.2．某学校高二级选择“史政地”“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为240，120和60．现采用分层抽样的方法选出14位同学进行一项调查研究，则“史政生”组合中选出的人数为（）A.8 B.6C.4 D.33．已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为A.15 B.C.6 D.34．如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，则向量可表示为（）A. B.C. D.5．正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为（）A. B.C. D.6．给出下列四个说法，其中正确的是A.命题“若，则”的否命题是“若，则”B.“”是“双曲线的离心率大于”的充要条件C.命题“，”的否定是“，”D.命题“在中，若，则是锐角三角形”的逆否命题是假命题7．数列2，，9，，的一个通项公式可以是（）A. B.C. D.8．已知点是椭圆的左右焦点，椭圆上存在不同两点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.9．下列直线中，倾斜角为锐角的是（）A. B.C. D.10．若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.11．已知点是椭圆上一点，点，则的最小值为A. B.C. D.12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是___________.①直线与直线垂直；②直线与直线相交；③直线与直线平行；④直线与直线异面；14．一个物体的运动方程为其中位移的单位是米，时间的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是__________米/秒15．已知椭圆()中，成等比数列，则椭圆的离心率为_______.16．与直线和直线的距离相等的直线方程为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点及圆，点P是圆B上任意一点，线段的垂直平分线l交半径于点T，当点P在圆上运动时，记点T的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线，，它们与曲线E分别交于点C、D、M、N，且四边形是菱形，求该菱形周长的最大值18．（12分）在平面直角坐标系中，已知双曲线C的焦点为、，实轴长为.（1）求双曲线C的标准方程；（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，求直线l的方程.19．（12分）已知等差数列中，，前5项的和为，数列满足，（1）求数列，的通项公式；（2）记，求数列的前n项和20．（12分）已知等差数列的前和为，数列是公比为2的等比数列，且，（1）求数列和数列的通项公式；（2）现由数列与按照下列方式构造成新的数列①将数列中的项去掉数列中的项，按原来的顺序构成新数列；②数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列;在以上两个条件中任选一个做为已知条件，求数列的前30项和.21．（12分）2022北京冬奥会即将开始，北京某大学鼓励学生积极参与志愿者的选拔．某学院有6名学生通过了志愿者选拔，其中4名男生，2名女生（1）若从中挑选2名志愿者，求入选者正好是一名男生和一名女生的概率；（2）若从6名志愿者中任选3人负责滑雪项目服务岗位，那么现将6人分为A、B两组进行滑雪项目相关知识及志愿者服务知识竞赛，共赛10局．A、B两组分数（单位：分）如下：A：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142B：126，115，143，126，143，115，139，139，115，139从统计学角度看，应选择哪个组更合适？理由是什么？22．（10分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，且，为的中点（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由题意可得，根据三角形中“大边对大角，小边对小角”的性质，将转化为求的概率，又因为，，从而可得的概率【详解】解：在中，，，所以，即，要使得，则，又因为，，则的概率是故选：C【点睛】本题考查几何概型及其计算方法的知识，属于基础题2、C【解析】根据题意求得抽样比，再求“史政生”组合中抽取的人数即可.【详解】根据题意，分层抽样的抽样比为，故从“史政生”组合120中，抽取的人数时人.故选：.3、C【解析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入{an}前6项的和公式中即可求出结果【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{an}前6项的和为2a1+5d）=故选C【点睛】本题考查等差数列前n项和求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用4、D【解析】根据空间向量加法和减法的运算法则，以及向量的数乘运算即可求解.【详解】解：因为在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，所以，故选：D.5、B【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可求解.【详解】如图所示建立适当空间直角坐标系，故选：B6、D【解析】A选项：否命题应该对条件结论同时否定，说法不正确；B选项：双曲线的离心率大于，解得，所以说法不正确；C选项：否定应该是：，，所以说法不正确；D选项：“在中，若，则是锐角三角形”是假命题，所以其逆否命题也为假命题，所以说法正确.【详解】命题“若，则”的否命题是“若，则”，所以A选项不正确；双曲线的离心率大于，即，解得，则“”是“双曲线的离心率大于”的充分不必要条件，所以B选项不正确；命题“，”的否定是“，”，所以C选项不正确；命题“在中，若，则是锐角三角形”，在中，若，可能，此时三角形不是锐角三角形，所以这是一个假命题，所以其逆否命题也是假命题，所以该选项说法正确.故选：D【点睛】此题考查四个命题关系，充分条件与必要条件，含有一个量词的命题的否定，关键在于弄清逻辑关系，正确求解.7、C【解析】用检验法，由通项公式验证是否符合数列各项，结合排除法可得【详解】第一项为正数，BD中求出第一项均为负数，排除，而AC均满足，A中，，排除A，C中满足，，，故选：C8、C【解析】先设点，利用向量关系得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，代入方程，消去即得，根据题意，构建的齐次式，解不等式即得结果.【详解】设，由得，，，即，由在椭圆上，故，即，消去得，，根据椭圆上点满足，又两点不同，可知，整理得，故，故.故选：C.【点睛】关键点点睛：圆锥曲线中离心率的计算，关键是根据题中条件，结合曲线性质，找到一组等量关系（齐次式），进而求解离心率或范围.9、A【解析】先由直线方程找到直线的斜率，再推导出直线的倾斜角即可.【详解】选项A：直线的斜率，则直线倾斜角为，是锐角，判断正确；选项B：直线的斜率，则直线倾斜角为钝角，判断错误；选项C：直线的斜率，则直线倾斜角为0，不是锐角，判断错误；选项D：直线没有斜率，倾斜角为直角，不是锐角，判断错误.故选：A10、B【解析】求出抛物线的焦点坐标，可得出的值，进而可求得椭圆的离心率.【详解】抛物线的焦点坐标为，由已知可得，可得，因此，该椭圆的离心率为.故选：B.11、D【解析】设，则，.所以当时，的最小值为.故选D.12、B【解析】由余弦定理可得，再利用可得答案.【详解】因为，所以，由余弦定理，因为，所以，又，∴，故为直角三角形.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①④【解析】画出正方体，，，故，①正确，根据相交推出矛盾得到②错误，根据，与相交得到③错误，排除共面的情况得到④正确，得到答案.【详解】如图所示的正方体中，，，故，①正确；若直线与直线相交，则四点共面，即在平面内，不成立，②错误；，与相交，故直线与直线不平行，③错误；，与不平行，故与不平行，若与相交，则四点共面，在平面内，不成立，故直线与直线异面，④正确；故答案为：①④.14、5【解析】，15、【解析】根据成等比数列，可得，再根据的关系可得，然后结合的自身范围解方程即可求出【详解】∵成等比数列，∴，∴，∴，∴，又，∴故答案为：【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的计算以及等比数列定义的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题16、【解析】设直线方程为，根据两平行直线之间距离公式即可求解.【详解】设该直线为：，则由两平行直线之间距离公式得：，故该直线为：；故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出，即可（2）设的方程为，，，，，设的方程为，，，，，分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得，，运用菱形和椭圆的对称性可得，关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0，可得，设菱形的周长为，运用基本不等式，计算可得所求最大值【小问1详解】点在线段的垂直平分线上，，又，曲线是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为的椭圆设曲线的方程为，，，曲线的方程为【小问2详解】设的方程为，，，，，设的方程为，，，，，联立可得，由可得，化简可得，①，，，同理可得，因为四边形为菱形，所以，所以，又因为，所以，所以，关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以，关于原点对称，，也关于原点对称，所以且，所以，，，，因为四边形为菱形，可得，即，即，即，可得，化简可得，设菱形的周长为，则，当且仅当，即时等号成立，此时，满足①，所以菱形的周长的最大值为【点睛】关键点点睛：在处理此类直线与椭圆相交问题中，一般先设出直线方程，联立方程，利用韦达定理得出，，再具体问题具体分析，一般涉及弦长计算问题，运算比较繁琐，需要较强的运算能力，属于难题。18、（1）（2）.【解析】（1）根据条件，结合双曲线定义即可求得双曲线的标准方程.（2）当斜率不存在时，不符合题意；当斜率存在时，设出直线方程，联立双曲线，变形后由中点坐标公式可求得斜率，即可求得直线方程.【详解】（1）根据题意，焦点在轴上，且，所以，双曲线的标准方程为C：.（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，当直线斜率不存在时，直线方程为，则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上，所以不满足题意；当斜率存在时，设直线方程为，设，则，化简可得，因为有两个交点，所以化简可得恒成立，所以，因为恰好为线段的中点，则，化简可得，所以直线方程为，即.【点睛】本题考查根据双曲线定义求双曲线标准方程，直线与双曲线的位置关系，由中点坐标求直线方程，属于中档题.19、（1），；（2）.【解析】（1）利用等差数列求和公式可得，进而可得，再利用累加法可求，即得；（2）由题可得，然后利用分组求和法即得.【小问1详解】设公差为d，由题设可得，解得，所以；当时，，∴，当时，（满足上述的），所以【小问2详解】∵当时，当时，综上所述：20、（1），（2）答案见解析【解析】（1）由题意可直接得到等比数列的通项公式；求出等差数列的公差，即可得到其通项公式；（2）若选①，则可确定由数列前33项的和减去，即可得答案；若选②，则可确定由数列前27项的和加上，即可得答案.【小问1详解】因为数列为等比数列，且，所以.又因，所以，又，则，故等差数列的通项公式为.【小问2详解】因为，，所以，而若选①因为在数列前30项内，不在在数列前30项内.，则数列前30项和为：=1632.若选②因为在数列前30项内，不在在数列前30项内.，则数列前30项和为：=1203.21、（1）（2）答案见详解【解析】(1)：把4名男生和2名女生编号后用列举法写出任选2名的所有基本事件，同时可得