113　集合的交与并　教学设计-2024-2025学年高一上学期数学

教案标题：集合的交与并【教学目标】1．能理解两个集合交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集，弄清“且”、“或”的含义．2．能用韦恩图表示集合间的运算，体会直观图对理解抽象概念的作用．3．通过使用符号表示，集合表示，图形表示集合间的关系与运算，引导学生感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义．【教学重点】交集、并集运算的含义，利用韦恩图与数轴进行交并的运算．【教学难点】弄清楚交集、并集运算的含义，认识符号之间的区别与联系【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习【教学手段】计算机、投影仪．【核心素养】数学抽象，直观想象，逻辑推理．【教学过程】一、创设情境，引入课题某电子技术服务公式在报纸上刊登广告招聘工作人员，对应聘人员的要求是：*高中或高中以上学历；*中文打字速度达80字/min．引导学生引导学生阅读材料，捕捉材料中信息，启发学生思考，并用数学语言表述．问题：阅读招聘要求，能得到什么信息．预案1）满足第一个条件的人员组成一个集合；2)满足第二个条件的人员组成另一个集合；3）应聘人员是两个集合的公共元素，即既属于第一个集合，又属于第二个集合．4）应聘人员符合集合的基本属性，即应聘人员组成一个新的集合．问题：你还能举出生活中或数学中类似的例子吗？预案：运动会兼项，求方程组的解集，求曲线的交点等．归纳：以上这些问题，实际上就是找两个集合公共元素组成的集合．〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．二、归纳探索，形成概念（一）两个集合的交通过以上的例子，我们可以由两个已知的集合，按照某种指定的法则：求两个集合的公共元素，得到一个新的集合，这就是两个集合的一种运算，得到的这个新集合叫作两个集合的交．问题1：你能用准确的语言定义两个集合的交吗？学生回答，教师或学生根据回答补充或修正，完善后，得到交集的定义．（1）板书定义：在数学里，把所有既属于又属于的元素组成的集合，称为与的交集，记作∩，读作“交”，即．（2）加深对概念的理解问题2：“且”的含义是什么？〖设计意图〗让学生理解“且”的数学含义．问题3：通过两个集合、的交集的定义，你能得到哪些结论？预案（1）两个集合的交集还是一个集合，不是元素．（2）两个集合的交集的性质：①②③④⑤，教师要求学生对发现的性质做合理的解释．〖设计意图〗让学生加深对交集概念的理解．（3）用韦恩图表示两个集合的交集问题4：两个集合用韦恩图如何表示？如何用韦恩图表示两个集合的交集．预案：两个集合用韦恩图表示有5种情形，学生回答不全，可以通过其他学生补充完善．A∩A∩B图1.14不失一般性，图1.14是交集的韦恩图，阴影部分表示两个集合的交集．〖设计意图〗体会直观图对理解抽象概念的作用．数学里常常用到交集，例如，把直线和平面都看成点的集合．两直线的交点就是它们交集的元素，两平面的交线就是它们的交集，交集是空集时两平面平行．（4）例题讲解例1：求下列每对集合的交集：(1)A={2，3，5，7，11}，B={9，10，8，6，1，4}；(2)C={x|x2－4x+3=0}，D={x|3x－x2=0}．解(1)A∩B=∅；(2)C∩D={1，3}∩{3，0}={3}．例2：设方程的全体解组成集合U，方程的全体解组成集合V，求．解是两个方程联立而成的方程组的解集，解方程组可得用符号来表示就是：，，通过例题，强调以下几点：（1）两个集合中的交集的元素是两个集合的共有元素；（2）两个集合的交集还是一个集合，最后的结果必须写出集合形式．〖设计意图〗通过例题，再次加深学生对交集概念的理解．（二）两个集合的并情景引入：生活中，可能碰到两组东西放在一起计算的问题．例如：两个阅览室共有多少种不同的报刊？几个地区共有多少种不同的野生动物？两本英语词典共收录了多少个单词？处理这些问题，需要引入集合的运算：集合的并．问题1：你能类比两个集合的交集的定义，得到两个集合的并集的定义吗？（1）板书定义：在数学里，把所有既属于或属于的元素组成的集合，称为与的并集，记作，读作“并”，即．所谓，也就是把集合、中的元素放在一起组成的集合．教师提醒学生注意符号符号和的区别．（2）加深对概念的理解问题2：“或”的含义是什么？预案（1）：这里的“或”有三个意义，属于不属于；属于不属于；即属于又属于，即属于．（2）根据集合的属性，既属于又属于的元素，在中只算一个元素．〖设计意图〗让学生理解“或”的数学含义．问题3：通过两个集合、的并集的定义，你能得到哪些结论？预案（1）两个集合的并集还是一个集合，不是元素．（2）两个集合的并集的性质：①②③④（U是全集）⑤，教师要求学生对发现的性质做合理的解释．〖设计意图〗让学生加深对并集概念的理解．（3）用韦恩图表示两个集合的并集问题4：如何用韦恩图表示两个集合的并集．前面已经给过两个集合用韦恩图表示的5种情形，A∪A∪B图1.15不失一般性，图1.15是交集的韦恩图，阴影部分表示两个集合的交集．〖设计意图〗体会直观图对理解抽象概念的作用．（4）例题讲解例3：设A={0，1，4，9，16}，B={9，4，π，，1}，求A∪B．解A∪B={0，1，4，9，16}∪{9，4，π，，1}，={0，1，4，9，16，π，}．例4：求下列集合的并集：(1)A=(1，3)，B=［2，5］；(2)C=［0，1］，D={x|x2<1}．解(1)A∪B=(1，3)∪［2，5］=(1，5］；(2)C∪D=［0，1］∪{x|x2<1}=［0，1］∪(－1，1)=(－1，1］．通过例题，强调以下几点：（1）两个集合中的并集的元素是两个集合的共有元素；（2）即属于又属于的元素，在中只算一个元素．（3）两个集合的交集还是一个集合，最后的结果必须写出集合形式．（4）两个连续数集的交并运算，可以利用数轴，运用数形结合思想求解．〖设计意图〗通过例题，再次加深学生对交集概念的理解．让学生体会数形结合思想的作用．问题5：如何求方程的解集．预案：将其分成两个方程，，，分别求它们的解集，然后求的并集即可．问题6：交集和联立方程组的解集有关，并集和方程的解集有什么关系呢？预案：对于右端为零的方程，如果能将其左端分解成几个因式的乘积，就能使求解的问题简化．这是数学中常常把方程化成一端为零的形式的原因．三、掌握证法，适当延展前面已经得到交集和并集的与子集有关的性质，，，那么，子集与集合的交并还有哪些结论呢？问题1：如果，则，分别等于什么？你能严格证明吗？预案：（1）学生通过前面的韦恩图1.14，1.15，容易得到如果，；（2）严格证明时，需要注意分类讨论，即需要分是空集和不是空集两类．问题2：如果，能得到什么结论？如果，又能得到什么结论？你能严格证明吗？预案：（1）如果，又，所以；（2）如果，又，所以；综合以上两个问题，即有以下重要结论：；例5：设，若，求实数的值．解：因为，所以，所以或，当时，，其中时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去．其中时，，，符合题意．当时，，此时，与集合元素的互异性矛盾，舍去．综上，的值是．四、归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．1．小结（1）交集、并集两种运算有何区别？（2）通过本节课的学习，你对