5.3.4-频率与概率教学设计

5.3.4频率与概率频率与概率是两个不同的概念，但是二者又有密切的联系．如何从二者的异同点中抽象出概率的定义是本课时的主要内容．本节课蕴涵了具体与抽象之间的辩证关系．讲授过程中对教材处理稍有不当，可能直接影响学生对本节重点（即概念的理解）的掌握程度．因此，如何设计合适的实例，怎样引导学生理解和总结是通过本节课教学，使学生能理清频率和概率的关系，并能正确理解概率的意义，增强学生的对立与统一的辩证思想意识．处理好本节的关键，也是处理好本节教材的难点．由于频率在大量重复试验的前提下可以近似地叫作这个事件的概率，因此本节课应从具有大量重复试验的实例入手．为加深学生的理解程度，可采用学生亲自参与到试验中去，从操作中去体会，去总结．概率可看作频率理论上的期望值，从数量上反映了随机事件发生的可能性大小．因此，为巩固学生总结出的知识，最后还要回归到实例中去，让学生去运用，以符合认知过程．考点教学目标核心素养频率与概率在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别数学抽象、数学运算概率的意义解释实例会用概率的意义解释生活中的实例直观想象、数学建模【教学重点】了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，概率的意义以及频率与概率的区别，会用概率的意义解释生活中的实例【教学难点】用概率的意义解释生活中的实例我们知道，利用古典概型能够方便地确定出有关随机事件地概率，但是，因为不是所有的随机试验都能归结为古典概型，因此还要寻求其他的确定随机事件概率的方法.解答：情境与问题中的两个问题，如果用古典概型来确定概率，显然是不太合适的，但是我们可以用有关统计数据得出事件发生的概率的估计值.例如，可以重复做抛瓶盖试验若干次（设为n次），然后观察盖口朝下的次数（设为m次），最后用盖口朝下的频率作为盖口朝下的概率的估计值.尝试与发现：你觉得利用频率估计概率的办法可靠吗？怎样检验这种方法的可靠性？为了验证这种确定事件发生的概率的方法的可靠性，历史上很多学者做过成千上万次抛均匀硬币的试验，得到的结果如下表所示：注：抛均匀硬币观察朝上的面时，利用古典概型可算的正面朝上的概率为，不难看出，以上学者们得到的频率值，都可以较好地作为正面朝上的概率的近似值.知识点：频率估计概率事实上，在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大.（1）一般地,，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率的估计值为（2）不难看出，此时也有：（3）可以验证，此时两对立事件的概率和为1以及互斥事件的概率加法公式等概率的性质也成立.这种确定概率估计值的方法称为频率估计概率.频率与概率的区别与联系名称区别联系频率本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率(2)在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率概率是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变例1.为了确定某类种子的发芽率，从一大批这类种子种随机抽取了2000粒试种，后来观察到有1806粒发了芽，试估计这类种子的发芽率解：因为所以估计这类种子的发芽率为0.903注：（1）在用频率估计概率时，不同的试验结果可能会得到不同的估计值。（2）需要注意的是，即使我们估计出发芽率为0.903，我们也不能指望下一次种10000粒种子时，得到发芽的种子正好为9030粒，而只能说发芽的种子接近9030.例2.2013年，北京地区拥有科普人员48800人，其中科普专职人员7727人，其余均为科普兼职人员。2013年9月的科普日活动种，到清华大学附属中学宣讲科普知识的是科普人员张明，估计张明是科普专职人员的概率（精确到0.01）解：可以算得，2013年北京地区科普专职人员占所有科普人员的比例为：因此张明是科普专职人员的概率可估计为：0.16例3.某女篮运动员统计了她最近几次参加比赛投篮的得分情况，得到的数据如下表所示：注：每次投篮，要么得两分，要么得三分，要么没投中记该女篮运动员在一次投篮中，投中两分为事件A，投中三个为事件B，没投中为事件C，试估计P（A），P（B），P（C）解：因为所以可估计：注意到，而且A与B互斥，因此估计：例4.为了了解某次数学考试全校学生得得分情况，数学老师随机读取了若干名学生的成绩，并以为分组，作出了如图所示的频率分步直方图，从该学校中随机选取了一名学生，估计这名学生数学考试成绩在内的概率.解：由频率分布直方图可以看出，所抽取的学生成绩中，在内的频率为：因为由样本的分布可以估计总体的分布，所以全校学生的数学得分在内的概率可以估计为0.1.根据用频率估计概率的方法可知，随机抽取一名学生，这名学生该次数学成绩在内的概率可以估计为0.1【解题方法】用频率估计概率(1)概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率．(2)通过公式fn(A)＝eq\f(nA,n)＝eq\f(m,n)计算出频率，再由频率估算概率．从概率的统计定义出发，我们先来考虑此题的简化情形：在投掷一枚均匀硬币的随机试验中，正面出现的概率是，这是否意味着投掷2次硬币就会出现1次正面呢？根据经验，我们投掷2次硬币有可能1次正面也不出现，即出现2次反面的情形，但是在大量重复掷硬币的试验中，如掷10000次硬币，则出现正的次数约为5000次．买1000张彩票相当于做1000次试验，结果可能是一次奖也没中，或者中一次奖，或者多次中奖．所以“彩票中奖概率为”并不意味着买1000张彩票就一定能中奖．只有当所买彩票的数量n非常大时，才可以将大量重复买彩票这个试验看成中奖的次数约为（比如说买1000000张彩票，则中奖的次数约为1000），并且n越大，中奖次数越接近于.例5.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？解.如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，有10%的病人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的可能性是10%，前9个病人是这样，第10个病人仍是这样，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%.【变式练习】有以下说法：①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的；②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为eq\f(3,10)；④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品．其中错误说法的序号是________．解析：①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错误；②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故②错误；③中正面朝上的频率为eq\f(3,10)，概率仍为eq\f(1,2)，故③错误；④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2或3件…次品，故④正确．答案：①②③【解题方法】对概率的正确理解(1)概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例．(2)任何事件的概率都是区间[0，1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性，概率越接近于1，表明事件发生的可能性就越大；反过来，概率越接近于0，表明事件发生的可能性就越小．(3)小概率(概率接近于0)事件很少发生，但不代表一定不发生；大概率(概率接近于1)事件经常发生，但不代表一定发生．(4)必然事件M的概率为1，即P(M)＝1；不可能事件N的概率为0，即P(N)＝0.1．下列关于概率的说法正确的是（）A．频率就是概率B．任何事件的概率都是在(0，1)之间C．概率是客观存在的，与试验次数无关D．概率是随机的，与试验次数有关【答案】C【解析】事件A的频率是指事件A发生的频数与n次事件中事件A出现的次数比，一般来说，随机事件A在每次实验中是否发生时不能预料的，但在大量重复的实验后，随着实验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间的某个常数上，这个常数就是事件A的概率，故可得：概率是客观存在的，与试验次数无关，故选：C.2．某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了7次，则下列说法正确的是（）A．正面朝上的概率为0.7 B．正面朝上的频率为0.7C．正面朝上的概率为7 D．正面朝上的概率接近于0.7【答案】B【解析】正面朝上的频率是，正面朝上的概率是0.5.故选：B3．对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是；③若一种彩票买一张中奖的概率是，则买这种彩票一千张就会中奖；④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】随机事件的概率与频率不一样，与试验重复的次数无关，所以①错误；抛掷两枚均匀硬币一次，可能的结果：正正，正反，反正，反反，所以出现一正一反的概率是，所以②错误；若一种彩票买一张中奖的概率是，这是随机事件，则买这种彩票一千张不一定会中奖，所以③错误；“姚明投篮一次，求投中的概率”，姚明投篮的结果中与不中概率不相等，不属于古典概型概率问题，所以④错误．故选：A4．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石【答案】B【解析】【详解】设夹谷石，则，所以，所以这批米内夹谷约为石，故选B.5．在一个不透明的布袋中，红色，黑色，白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是_________个.【答案】16【解析】【详解】根据概率是频率的稳定值的意义，红色球的个数为个；黑色球的个数为个；故白色球的个数为4个.故答案为：16.6．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的慨率均为.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率:先利用计算器产生到之间取整数值的随机数,用表示下雨，用表示不下雨，再以每三个随机数作为一组,代表这三天的下雨情况，经随机模拟试验产生了如下组随机数:据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为__________.【答案】【解析】试题分析：根据题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果,经随机模拟产生了如下组随机数,在组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有:,共组随机数,所求概率为.因此，本题正确答案是:7．容量为200的样本的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在内的频数为______，数据落在内的概率约为______.【答案】64.0.