导数的概念及其几何意义-高二-数学-教案

PAGE导数的概念及其几何意义刘江男西安国际港务区铁一中陆港高级中学课标解读1、概念理解要求学生通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，进而理解导数概念。例如，利用自由落体运动中物体下落的距离与时间的关系，计算不同时间段的平均速度，当时间段趋近于零时，得到瞬时速度，从而引出导数的概念。了解导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想。2、几何意义学生要理解导数的几何意义，即函数y=f(x)在点x0处的导数就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率。比如，对于函数y=x2，求出某一点处的导数，就能确定该点处切线的斜率，进而得到切线方程。能够运用导数的几何意义解决相关问题，如求曲线的切线方程等。二、教学内容分析本节课的主要教学内容是“5.1.2导数的概念及其几何意义”，该内容位于《高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册》的第5章第1节。

在教学过程中，我们需要让学生理解导数的概念，并掌握其几何意义。首先，我们需要回顾函数的极限概念，让学生理解导数与极限之间的关系。接着，我们通过具体的函数例子，让学生直观地感受到导数的几何意义，即切线的斜率。最后，我们介绍导数的计算方法，包括基本导数公式和求导法则。

在教学过程中，我们需要注意引导学生通过具体例子来理解和掌握导数的概念和几何意义，避免单纯的公式推导和计算。同时，我们还需要关注学生的学习反馈，及时解答他们的疑问，确保他们能够跟上教学进度，并能够将所学知识应用到实际问题中。三、学生学习情况分析本章内容是对函数内容进行更深入的研究。在初高中的物理学科中，学生已经掌握了平均速度和瞬时速度的基本概念，可以计算出平均速度；学生对高中函数知识也已有了比较基本的认识，掌握了与直线方程和直线斜率相关的基本知识，并且对圆锥曲线的切线有了一些直观认识。导数的概念应用了极限的思想，学生对此是陌生的，通过图象和有代表性的例子能够让学生对导数的概念和几何意义有更深刻的认识。四、教学目标

1.会从数值逼近、几何直观感知、解析式抽象三个角度认识导数的含义，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数，能归纳出求导数的基本步骤；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义，经历导数的几何意义的抽象概括过程，体会数形结合、以直代曲、极限思想，会用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程；3.通过问题的探究，培养观察、分析、比较和归纳的能力，体会逼近、类比、用已知探究未知、由特殊到一般的数学思想。五、教学重难点

教学重点：导数的概念，导数的几何意义及其应用；突出重点的方法：动手操作，练习巩固.教学难点：导数的概念，导数的几何解释及曲线的切线概念.突破难点的关键是：弄清原理、分清步骤.

六、教学方式

启发式与合作探究式相结合七、教学过程设计（一）复习导入师生活动：师生共同回顾总结，也可先请学生回答，后教师点评总结.复习回顾：上节课我们研究了两类问题：一类来自物理学，涉及平均速度和瞬时速度；另一类问题来自几何学，涉及割线斜率和切线斜率.具体如下：情境涉及问题数学表达情境1：跳水问题运动员相对于水面的高度ℎ与起跳后的时间t存在函数关系ℎ(t)=−4.9t2+4.8t+11平均速度瞬时速度vv情境2：抛物线的切线问题求抛物线fx=x割线斜率切线斜率kk虽然上面的问题涉及不同的领域，但从数学的角度思考，它们在过程与方法及结果的形式上存在如下共性：过程与方法结果的形式1.用运动变化的观点研究问题；2.应用了极限的思想；3.用“平均变化率”逼近“瞬时变化率”.1.结果都是一个确定的值；2.具有一样的表现形式.本节课我们将用上述思想方法来研究更具有一般性的问题.设计意图：通过回顾上一节学习的内容及思想方法，培养学生的观察、概括能力，让学生体会微积分的重要思想用运动变化的观点研究问题，体会极限思想，感受用“平均变化率”趋近“瞬时变化率”的研究方法，关注结果的一致性，都是一个确定的数值，为本节课将要学习的内容和方法作铺垫.（二）探究新知任务一：函数y=f(x)在x=x探究：一般地,对于函数y=f(x)，你能用由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法来研究其在某点(如x=x师生活动：教师提出问题，引导学生思考.思考1：类比前面探究问题的方法，为了研究函数y=f(x)在x=x答：选取自变量x的一个变化量Δx，研究自变量x从x0变化到思考2：函数y=f(x)的自变量x从x0变化到x0+答：平均变化率：Δy瞬时变化率：limΔ思考3：对于任意函数y=f(x)，当Δx无限趋近于0时，平均变化率Δ答：不一定.如函数f(x)=|x|在x=0处的平均变化率Δy师生活动：教师引导学生研究函数f(x)=|x|在x=0附近的变化情况，学生思考、讨论、交流.然后师生共同总结，形成导数的概念.总结：(1)对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+Δx，相应地，函数值y就从fx0变化到fx0+Δx.这时，x的变化量为Δx，y(2)如果当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y=f(x)在x=x0处可导，并把这个确定的值叫做设计意图：利用由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，结合具体案例的共性归纳、概括出导数的概念，发展学生的数学抽象素养.通过反例，让学生理解并非任意函数在定义域内任意一点处都可导，加深学生对导数概念的理解.做一做：设f(x)=1x，你能利用导数的定义求出函数f(x)=1x在师生活动：学生尝试独自完成解答，教师出示计算过程，强调导数计算的步骤，提醒学生体会导数的概念.解：f'(1)=lim思考1：对于函数f(x)=1x，你能求答：f'(a)=lim思考2：你能总结出求函数y=f(x)在x=x师生活动：学生尝试，后师生共同总结.总结：求函数y=f(x)在x=x第一步：写出函数y=f(x)从x0变化到x0+第二步：求limΔx→0ΔyΔ设计意图：通过问题的解答，引导学生经历并总结用定义法求函数y=f(x)在x=x做一做：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，已知在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y=f(x)=x2−7x+15(0≤x≤8)．计算第师生活动：教师示范计算第2h时原油温度的瞬时变化率，在此基础上，由学生自行求出第6h时解：在第2h时原油温度的瞬时变化率就是f'(2)根据导数的定义，ΔyΔx=f2+所以，f'(2)=lim同理，f'(6)=5.即在第2h与第6h时原油温度的瞬时变化率分别为−3℃/h思考：你能说出第2h与第6h答：在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为−3℃/h与5℃/h．

说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降；总结：一般地，f'(x0)设计意图：通过求解实际问题中的瞬时变化率，使学生理解导数的内涵和意义，进一步熟悉根据导数的定义求函数在某点处的导数的过程和步骤.任务二导数的几何意义探究：导数f'(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)师生活动：教师出示图象，并提出问题，学生观察后回答.思考1：观察函数y=f(x)的图象(如图)，它的平均变化率Δy答：平均变化率表示割线P0总结：一般曲线y=f(x)在点P0(如图，在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线思考2：曲线上两点P0(x0,f(x0))，P(x0+Δx,f(x0+Δx))，当点答：当Δx→0时，割线的斜率kk0=limΔx→0思考3：瞬时变化率f'(x答：瞬时变化率表示切线P0思考4：你能总结导数的几何意义吗？答：函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)设计意图：通过从平均变化率的几何意义入手，利用图形直观探索导数的几何意义，让学生在获得直观感知的基础上，通过合作探索，再次亲身经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，研究一般曲线在某点处的切线的定义，以及该点处的切线斜率与导数之间的关系，抽象出导数的几何意义.任务三探究“以直代曲”的数学思想师生活动：教师用几何画板演示“割线逼近切线”的过程，学生观察、思考.放大放大放大放大放大放大探究1：观察上图，点P0处哪条直线最接近P0点附近的曲线？若将图象放大，你能否发现答：观察上图：可以发现点P0处的切线P0T比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线.如果将点P0附近的曲线不断放大，可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线.因此,在点P0设计意图：通过动态演示，让学生直观感受和体会微积分中“逼近”、“以直代曲”的重要数学思想..探究2：如图是跳水运动中某运动员的重心相对于水面高度随时间变化的函数ℎt=−4.9t2+2.8t+11的图象.根据图象，请描述、比较曲线ℎ思考1：如何描述ℎt在t=t0师生活动：教师提出问题，学生思考、交流、讨论.答：可以近似地由曲线ℎt师生活动：教师要求学生动手画出曲线ℎt在t=t0解：我们用曲线ℎt在t=t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线ℎ(t)在上述三个时刻附近的变化情况．

(1)当t=t0时，曲线ℎt在t=t0处的切线l0平行于t轴，ℎ'(t0)=0.这时，在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．

(2)当t=t1时，曲线ℎt在t=t1处的切线l1的斜率ℎ'(t1)<0.这时，在t=t1附近曲线下降，即函数ℎt在t=t思考2：曲线ℎ(t)在t=t1处的切线l1的斜率ℎ'(t1)<0，在t=t2处的切线l2的斜率ℎ'答：导数的绝对值越大,切线的倾斜程度越大.总结：根据“以直代曲”的数学思想，在局部范围内，可以用切线的上升、下降近似代替曲线的上升、下降，而切线的上升、下降可以用斜率来反映，从而可以用导数的几何意义即切线的斜率来描述曲线在某点附近的变化情况.设计意图：通过学生独立思考，实际参与经历利用导数和导数的几何意义来研究函数在某点附近的变化情况的过程，感受数形结合的应用，体会“以直代曲”的重要思想方法.任务四导函数的定义思考1：前面我们经历了求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程，想一想，当师生活动：教师引导学生回忆以前学习的函数的概念，并分析求函数y=f(x)在x=x答：从求函数y=fx在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)思考2：导数f'(x0)答：区别：f'(x)是函数y=f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x0，Δx无关；f'(x0)表示的是函数y=f(x)在x=联系：函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)设计意图：通过求导的过程，结合函数的定义，给出导函数的概念.对导数与导函数进行辨析，加深学生对导数与导函数概念的理解，培养学生的数学抽象与逻辑推理的核心素养.（三）应用举例例1：一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度(单位：m/s)为y=ν(t)=−t2+6t+60分析：根据导数的概念可得△y△x=v(t+△t)−v(t)Δt，化简，分别代入t=2或t=6，然后根据导数的几何意义，瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率.因此，在第2s与第6解：在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是v'(2)和v'(6).根据导数的定义，

ΔyΔt=v(t+Δt)−v(t)Δt

=−(t+Δt)2+6(t+Δt)+60−(−t2+6×t+60)Δt

=−Δt−2t+6，

例2：下图是人体血管中药物浓度c=f(t) (单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化的函数图象.根据图象，估计t=0.2，0.4，0.6，0.8min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(师生活动：教师出示例题，学生小组合作，利用网格估计t=0.2，0.4，0.6，0.8min解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，

从图象上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率．

如上图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．

作t=0.8处的切线，并在切线上取两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，

则该切线的斜率k=0.48−0.911.0−0.7≈−1.4，

所以f'(0.8)≈−1.4t0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率f’(t)0.40−0.7−1.4设计意图：通过例题的学习，使学生进一步理解导数的内涵与意义，学生根据导数的定义求函数在某点处的导数的过程及利用导数解决实际问题.（四）课堂练习1.为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，下列说法正确的是(

)

A.该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多

B.该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快

C.在接近t0时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快

D.该月内存在某一时刻，甲､【答案】D

解：选项A，设ΔW=设甲工厂的污水排放量减少为ΔW1，乙工厂的污水排放量减少为结合图象可知：ΔW所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误；选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的3条切线l1根据三条切线的倾斜程度可知，该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快，从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误；

选项C，设t1为接近t0的时刻且从t1时刻到t0时刻，污水排放量的平均变化率由导数的定义与几何意义可知，在接近t0时，污水排放量减少快慢，

可以用在t设甲工厂在t0处切线的斜率为k1，乙工厂在t0结合图象可知k1所以在接近t0时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C

选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻t2即甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同，所以该月内存在某一时刻