人教版九年级上册数学教案第21章 一元二次方程

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

教材分析

本节课主要讲述的是一元二次方程的概念及其一般形式.在本节课之前学生已经掌握了一元一次方程的概念以

及解法，所以为本节课一元二次方程概念的学习打下了基础.另外，本节课是今后学习二次函数、可化为一元二次

方程的其他高元方程、一元一次不等式等知识的基础.此外,学习一元一次方程对其他学科有重要意义.在教学过

程中，通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念，既锻炼学生的类比推

理能力，又完善学生在方程这一部分的知识，让学生在方程这一部分形成比较完善的知识体系.

备课素材

⑥新课导人设讦：

【情景导入】

根据题意列出方程：

如图，现在要将一块矩形绿地扩大，长、宽各增加Xm.若扩大后的绿地的面积为936m2,求长、宽各增加的

长度.

待学生列出方程后教师提问：这样的方程我们以前学过吗？那么它又有什么样的特点呢？

【复习导入】

同学们，至今为止我们学过哪些方程？它们都有什么特点？能举例说明吗？类似于x2+2x—3=0这样的方程我

们学习过吗？这类方程有什么特点？属于什么方程呢？它们存在于我们的实际生活中吗？下面让我们来一起学习

新的知识一一一元二次方程.

0命题热点：

命题角度1判断方程是否为一元二次方程

1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(C)

A.3a—1=0B.ax2+bx+c=0C.3m2+l=0D.x'+，=0

x

命题角度2利用一元二次方程的概念求待定字母的值或取值范围

2.若关于x的方程(a—2)xa?-2—2x—5=0是一元二次方程，则(D)

A.a=4B.a=±小C.a=2D.a=—2

3.当实数m满足条件mW—4时，(m+4)x2—mx+l=()是关于K的一元二次方程.

命题角度3一元二次方程的根

4.若关于x的一元二次方程x2+kx-2=0有一个根为2,则k的值为(B)

A.-2B.-1C.1I).2

5.若关于x的一元二次方程(+ax—3b=0的一个根为-1,贝]a+3b=j_.

6.若m是方程2x2-3x—5=0的一个根，则6n]2—9m+2021的值为2036.

命题角度4列出一元二次方程解决实际问题

7.为绿化、美化环境，某园林部门计划在某地修建一个面积为100平方米的矩形花园，它的长比宽多10米，

设宽为x米，可列方程为(B)

A.x(x—10)=100B.x(x+10)=100

C.2x+2(x+10)=100I).2x+2(x-10)=100

8.某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为10元，经市场调研发现：售价为20元时，每天可销售40包，售价

每上涨1元，销量将减少3包.如果想获利408元，设这种鱼饵的售价上涨x元，根据题意可列方程为(C)

A.(20+x)(40-3x)=408B.(x-10)[40-3(x-20)]=408

C.(204-x-lO)(40-3x)=408D.(20+x)(40-3x)-10X40=408

教学设计.

课题21.1一元二次方程授课人

1.理解一元二次方程的概念.

2.掌握一元一次力程的一般形式，并能将一元一次力程转化为一般形式，确定出一次项系数、

次项系数和常数项.

素养目标

3.理解一元二次方程的根的意义.

4.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，发展学生的数学思维，让学生感受数学学习过

程中的乐趣，增强学生学好数学的愿望与信心.

掌握一元二次方程的概念、一般形式ax2+bx+c=0(aW0)及一元二次方程的根等概念，并能用这

教学重点

些概念解决简单问题.

教学难点把实际问题转化为一元二次方程模型.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

课件展示：教师引导学生完成下列题目，复习一元一次方程的相关知识.通过回顾一元一

回顾

1.一元一次方程中的“一元”是指1个未知数,“一次”是指未知数的次数是次方程及其解的

1,一元一次方程左右两边都是整式的形式.概念，理解“元”

2.一元一次方程的一般形式是ax+b=O（a,b是常数，且aKO）.若关于x的和“次”的含义，

方程（m+l）x"+1=0是一元一次方程，则m=j_.有助于学生类比

3.什么是一元一次方程的解？如何判断一个数是不是一元一次方程的解？若得到一元二次方

已知x=l是方程ax+3=0的解，则a=-3.程的概念，理解一

元二次方程根的

定义.

【课堂引入】

问题L有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样

的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的

无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？

问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场

地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请

多少个队参加比赛？由实际问题入手，

活动一：创学生先自主探究、分析，再在小组内合作讨论，设出合适的未知数，根据等量设计情景问题，有

设情境、导关系列出方程.若学生感觉困难，教师可做如下引导.助于激发学生的

入新课问题1等量关系：底面的长义宽=底面积,兴趣，让学生易于

若设切去的正方形的边长是xcm,则有方程（100-2:《）（50-2x）=3600.整接受和理解.

理，得4X2-300X+1400=（）.

问题2教师可举例，由特殊到一般，帮助学生理解题意.

设邀请x个队参赛，每个队要与其他93个队各赛一场，因为甲队对乙队的

比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共4（x—l）场,于是得

到方程N（x-1）=28,整理，得三2一巧_28=0.

乙乙乙

1.【探究】观察上面所列的两个方程，分析以上两个方程与一元一次方程有什1.注重学生的自

么区别与联系.主学习与探究，通

活动二：实学生观察、思考、讨论、交流、汇报.过自主获得新知，

践探究、交教师重点引导学生观察得到所列方程的特点：①整式方程；②一元：③二次.体验成功的快乐.

流新知2.归纳定义2.让学生充分感

问题1：根据找出的一元二次方程的特征，你能给一元二次方程下个定义吗？受所列方程的特

教师引导学生结合所列方程的三个特征及一元二次方程的名称，类比一元一次点,通过类比的方

方程的定义，得出一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知法得到一元二次

数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.方程的概念，从而

课件展示：达到真正理解定

下列各方程是不是一元二次方程？义的目的.

®x2—2x—5；@2x2—1=0；@5x2—4x-1=0；(4)p—^=0；⑤3y?=(3y+1)(y3.抛出问题由学

生来回答并完成

—2)；@ax2+bx+c=0；®x2—2x—5=2(x+3)(x—2)；®2x2=0.

练习，让学生纠

3.相关概念

错,这样既调动学

一元二次方程各项的名称：

生学习的积极性，

教师总结(板书)：

也巩固学生对一

一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(aW0),其中ax?是二次项，a是二

元二次方程相关

次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.

概念的理解.

课件展示：

(试一试)指出下列各方程的二次项、一次项和常数项.

①3x?+2x-1=0；②2x?=3；③*=0.

问题2：类比一元一次方程的解的定义，你能给一元二次方程的根下定义吗？

师生共同小结(板书)：

一元二次方程的根：

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程

的解也叫做一元二次方程的根.

课件展示：

(试一试)下列哪些数是方程x?-x+12=0的根？

—4,_3,-2,—1,0,1,2,3,4.

【例题展示】

例1下列为一元二次方程的是(C)

A.2x+y=2B.2x2—x

活动三：开

C.2x—X2=7D.x2+y=7

放训练、体

例2若方程(m—l)xm'+l—x—2=0是一元二次方程，则m的值为-1.

现应用

例3若x=l是方程f-4x+m=0的根，则m的值为

例4当k取何值时,关于x的方程(k-5”2+(k+2)x+5=0,

(1)是一元一次方程？

(2)是一元二次方程？

解：⑴当k—5=0且k+2#0时，方程为一元一次方程，即k=5.

所以当k=5时，方程ik-5)x2+(k+2)x+5=0为一元一次方程.

(2)当k-5W0时，方程为一元二次方程，即kW5.

所以当kW5时，方程ik—5)x2+(k+2)x+5=0为一元二次方程.

【变式训练】

1.下列方程中一定是一元二次方程的是(D)

A.ax24-bx+c=0B.(m—3)x2—2x=0

C.(a—l)xa2—1—x+2=0D.(m24-1)x24-2x—5=0

2.已知b(bHO)为方程Y+ax-bnO的一个根，则下列正确的是(A)

A.a+b=lB.a—b=1

C.a+b=_1D.a—b=—1

通过练习，可巩固和加深对新知的理解，培养学生严谨的数学思维以及灵活应

用所学知识解决数学问题的能力.

【课堂检测】

1.若方程(m2-l)x2+mx—5=0是关于x的一元二次方程，则m的值不能是(C)

A.0B.1C.±1D.-1

利用典型的练习

2.在一元二次方程2x2-5x-l=0中，二次项系数和常数项分别是(D)

题进一步巩固所

活动四：课A.2,5B.2,-5C.2,1【).2,-1

学新知，同时检测

堂检测3.若x=l是关于x的一元二次方程x?+5a+b=0的解，则10a+2b=」.

学习效果，做到

4.若9a—3b+c=0且aWO,则一元二次方程ax°+bx+c=O必有一个根是、

“堂堂清”.

=-3.

5.若k是方程3x?-2x—1=0的一个根，则9k-6k+7的值为过

学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.

学生归纳本节课

1.课堂小结：

学习的主要内容，

(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？

让学生自觉对所

课堂小结(2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说.

学知识进行梳理，

2.布置作业：

形成体系，养成良

教材第4页习题21.1第1,2,6题，教材第4页习题2L1第4,5,7题.

好的学习习惯.

板书设计21.1一元二次方程提纲挈领,重点突

新课导入一元二次方程的概念出.

探究新知一元二次方程的一般形式

反思，更进一步提

教学反思

升.

经典导学设计

详见电子资源

21.2解一元二次方程

21.2.1配方法

第1课时直接开平方法

教材分析

本节课主要内容为用直接开平方法解一元二次方程.直接开平方法是解一元二次方程的基础方法，它的推导建

立在平方根意义和开平方运算的基础上，它是用配方法解一元二次方程的基础.在教学时学生容易出现的问题为漏

解以及计算过程中出现的符号错误，在课堂中可以重点强调以及对此类情况进行针对性练习，提高学生解方程的能

力.

备课素材

GP课与AW

【复习导入】

1.如果x2=a,那么x叫做a的平方根;求一个数a的平方根的运算叫做开平方.

a(a>0)的平方根为土亚，a(a20)的算术平方根为也.

2.0.25的平方根是±0.5：8的平方根是土2加；若x?=5,则x=±击.

【情景导入】

如图，将边长为x的正方形沿两边剪去两个宽度相同的矩形(阴影部分)，剩下的部分是一个边长为3的正方形,

剪去部分的面积为7,求x的值.

在学生列出方程后，教师引导学生利用平方根的知识求解.

◎命题热点：

命题角度用直接开平方法解一元二次方程

1.用直接开平方法解下列方程.

(1)X2-49=0.

解：x?=49,

x=±7,

解得x1=7,x2=-7.

(2)3(x—1)2=3.

解：(X—l)2=^j-,

X-1=±小

g心108

解得x=w，x2=-

2.若关于x的方程ax2=b(ab>0)的两个解是m+1和m-3,则匕=4.

a一

教学设计1

课题21.2.1第1课时直接开平方法授课人

1理.解一元二次方程降次的转化思想.

2.会利用直接开平方法对形如(x+m)2=n(n20)的一元二次方程进行求解..

素养目标

3.通过探究用直接开平方法解一元二次方程，培养学生勇于探索的良好学习习惯，会用数学的思

维思考现实.

教学重点熟练而准确地运用直接开平方法解一元二次方程.

通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n

教学难点

20)的方程.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

通过回顾平方根的

1.什么叫做平方根？概念及性质和开平

2.平方根有哪些性质？方的意义，有助于

494%回

回顾3.9的平方根是单,§的平方根是芍，§的平方根是土子.学生理解利用直接

4.尝试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.开平方法解一元二

次方程，为学习新

(1)X2=25.(2)x2—0.16=0.

知打下基础.

【课堂引入】由实际问题入手，

活动一：创设课△件展示：设计情景问题，有

情境、导入新助于激发学生的兴

课趣，让学生易于接

受和理解.

问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10

个同样的正方体盒子的全部外表面，你能通过列方程算出正方体盒子的

棱长吗？

教师适当引导学生寻找题中等量关系并求解：

等量关系：10个正方体盒子的表面积=1500d/.若设其中一个正方体

盒子的棱长为xdm,则这个正方体盒子的表面积为凶dn?,可列方程卫

X6x'=l500,化简，得一=25,开平方，得*=土》原方程有两个解.，

但校长为正数,所以x=5.故正方体盒子的校长为5dm.

结论：这种利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫

直接开平方法.

1.自主探究(课件展示问题)

1.问题1能使学生

问题1：(1)请你用直接开平方法解下列方程：

3进一步体验直接开

①x?=12；®X2--=0；®2X2-8=0；®9X2-5=3.

平方法适用的一元

(2)一元二次方程2x'+l=()与1-2x2=0的解相同吗？为什么？

二次方程的形式，

(3)由(1)(2)，你能总结出ax2+c=0型一元二次方程的求解方法吗?

培养学生思维的灵

学生自主探究，然后讨论、交流，汇总思想，解答问题，最后师生共同

活性以及善于思

归纳：一般地，对于一元二次方程ax2+c=0,先将它变形为x,=p的形

考、勇于质疑的精

式，再利用直接开平力法求解，其中，当p>0时，力程有两个不等的实

活动二：实践神.

数根X1=—g,x：=5；当p=0时，方程有两个相等的实数根X1=X2

探究、交流新2.问题2通过对一

=0；当pVO时，方程无实数根.

知些复杂问题的探

2.合作交流(课件展示问题)

究，帮助学生体会

问题2：(D类比方程x?=25的求解方法，你能解方程(x+3)2=5吗？方

换元思想及类比的

程(x+1/=2呢？试一试.

学习方法，同时更

(2)对于(x+n)z=p型的方程，你能说说它的基本解法吗？

加深入而准确地理

学生通过独立思考，小组合作交流，师生共同归纳：运用直接开平方法

解直接开平方法适

可以解形如x2=p或(x+n)2=p的一元二次方程，其实质是利用开平方运

用的一元二次方

算把一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.我们把这种思想

程.

称为“降次转化思想”.

活动三：开放【例题展示】1.通过例题讲解，

训练、体现应例1解方程：可巩固对新知的理

用(1)(X—2)2-13=108.解，培养学生严谨

解：(x—2尸=121,的数学思维以及灵

X—2=±11,活应用所学知识解

决数学问题的能

解得xi=13,x2=-9.

(2)x2+10x+25=2.力.

解：(X+5)2=2,2.通过【变式训

x+5=±/,练】，加深学生对新

解得5,X2=—5.知的理解，拓展学

多媒体展示，学生自主进行解答，然后交流解法及依据.生的思维.

例2若x=l是方程(一2=0的一个根，则a的值为1，方程的另一个

根为一1.

例3若一元二次方程ax?=b(ab>())的两个根分别是m+1与2m—4,则

aS1B

b-4,

【变式训练】

已知方程a(x+m)'+b=0的解是xi=-2,X2=l,则方程a(x+m+2)2

+b=0的解是X3=_4,X4=T.

【思路点拨】根据方程a(x+m)2+b=0的解是Xi=-2,x?=l,可知

方程a(x+m+2)"+b=0的解比方程a(x+m)'+b=0的解小2,从而可以

得到方程a(x+m+2)2+b=0的解.

【课堂检测】

1.下列方程中，适合用直接开方法解的个数有(D)

©^x2=l；②(x-2>=5；@1(X+3)2=3；©X2=X+3；©3X2-3=X24-1；

@y2-2y-3=0.

利用课堂检测进一

A.1B.2C.3D.4

活动四：课堂步巩固所学新知，

2.若方程(x—2尸=1<可以用直接开平方法解.，则k的取值范围是(B)

检测同时检测学习效

A.kWOB.k?0C.k<0D.kWO

果，做到“堂堂清”.

3.一元二次方程(x—1尸=25可以转化为两个一元一次方程，其中一个

一元一次方程是X—1=5,则另一个一元一次方程是(C)

A.x+l=—5B.x+1=5

C.x—1=-5D.x—1=5

4.解方程:

⑴2+6y一9=0.

解:(X+6)2=9,

x+6=±3,

解得xi=-3,X2=-9.

(2)3(X-1)2-6=0.

解：(X-1)2=2,

x—1=±*,

解得Xi=1X2=1—y[2.

5.用直接开平方法解一元二次方程:4(2X-1)2-25(X+1)2=0.

解:移项，得4(2XT)2=25(X+1)2,①

直接开平方，得2(2x—l)=5(x+l),②

.\x=-7.(3)

上述解题过程，有无错误？如有，错在第②步，原因是漏掉了2(2x—1)

=-5(x+l),请写出正确的解答过程.

解：正确的解答过程如下：

移项，得4(2X-1)2=25(X+1)2,

直接开平方，得2(2x-l)=±5(x+l),

即2(2x—l)=5(x+l)或2(2x—l)=-5(x+l).

1

x)=-7»X2=­T.

O

学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.

学生归纳本节课学

1.课堂小结：

习的主要内容，让

(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？

学生自觉对所学知

课堂小结(2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说.

识进行梳理，形成

2.布置作业：

体系，养成良好的

教材第6页练习，教材第16页习题21.2第1题.

学习习惯.

21.2.1配方法

提纲挈领，重点突

板书设计第1课时直接开平方法

出.

新课导入例题展示

探究新知

反思，更进一步提

教学反思

升.

经典导学设计

详见电子资源

第2课时配方法

教材分析

本节课主要内容为用配方法解一元二次方程.在此之前，学生已经学习过了用直接开平方法解一边为完全平方

式的一元二次方程，本节课学习的方程不具备上述结构特点，需要合理添加条件进行转化，构造出完全平方式.学

生在之前的学习中没有遇到过类似情况，因此本节课的重点是对配方法的探索.另外，配方法也是下一章要学习的

一次函数求最值的基础.

备课素材

⑥新课导入设IE

【情景导入】

一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h(m)和下落时间t(s)大致有如下关系：h=-5/+20,问

石头经过多长时间落到地面？

【复习导入】

1.能用直接开平方法求解的一元二次方程有什么特点？试解下列方程：(1)(X+3)2=5；(2)X2+6X+9=1,说

一说这两个方程的求解过程有何异同？

2.(1)回顾完全平方公式，并完成填空.

①一+8x+共=(X+4)2；

②12x+5§=(x—6)2；

③x?+bx+,=(x+=)2.

观察并思考：各式中的常数项与一次项的系数有什么关系？

教师点拨：常数项是一次项系数一半的平方.

(2)根据方程x?+6x+9=l的求解思路，你能解一元二次方程x?+6x+8=0吗？

◎命题热点］

命题角度1配方

1.一元二次方程x?-6x—1=0配方后可变形为(D)

A.(x—31=8B.(X+3)2=8C.(x+3)2=10D.(x-3)2=10

2.若将方程(+啾+8=0用配方法化为(x—3)?=n,则m+n的值是二

命题角度2用配方法解一元二次方程

3.用配方法解方程：

(1)X2J-2X-4=O.

解：移项，得x?+2x=4.

配方，得x42x+l=5.

A(X+1)2=5.

由此可得x+l=±4.

Xi=­1+m，X2=-1一乖.

(2)2X2-6X-1=0.

解：移项,得2x?-6x=L

二次项系数化为1,得X2-3X=)

Q1Q

配方，得X?_3x+(')2=5+(-)2.

/3\211

•95)=--

由此可得X一?=±斗^,

乙乙

3.VTT3VTT

Xl-2+2'X2~2~2'

命题角度3用配方法求字母或代数式的值

4.已知d+江一4a+6b+13=0,求a+b的值.

解：Va2+b2-4a+6b+13=0,

Aa2-4a+4+b2+6b+9=0,

(a-2)2+(b+3)2=0.

Aa—2=0,b+3=0.

/.a=2,b=­3.

Aa+b=2-3=-l.

命题角度4用配方法进行说理

5.我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有520成立，所以当a=0时，a?

有最小值为0.

(应用)

(1)当x=JJt，代数式(x—l)2有最小值.

(2)代数式1^+3的最小值是$

(—究)求代数式n?+4n+9的最小值，小明是这样做的:南+钻+9=南+如+4+5=(n+2)?—5,・,•当n=-2

时，代数式南+411+9有最小值，最小值为5.

(3)请你参照小明的方法，求代数式a2-6a—3的最小值，并求比时a的值.

解：a2-6a-3=a2-6a+9-9-3=(a-3)2-12.

V(a-3)2^o,

(a—3)2—12^—12.

.•.当a=3时，代数式a2-6a-3取得最小值，最小值为一12.

6.试用配方的方法证明一一6x+10的值恒大于0.

证明：X'—6x4-10=x2—6x+9—94-10=(x—3)2+1.

•・•无论x取何值，总有(x—3)220,

A(X-3)24-1>0.

・・・x2—6x+10的值恒大于0.

教学设计.

课题21.2.1第2课时配方法授课人

1.了解配方法的概念.

2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.

素养目标

3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程.

4.通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神，会用数学的眼光观察世界.

教学重点掌握配方法解一元二次方程.

教学难点把一元二次方程转化为形如(x—a)2=b的过程.

授课类型新曳课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

观察下列一元二次方程，该如何解这三个方程？

(l)x?+6x+9=2.(2)X2+6X=2.(3)X?+6X—

16=0.

问题1：方程⑴可否用直接开平方法来求解？让学生经历由已知到

问题2：方程⑵与方程⑴有什么区别？怎么样把方程2的左边未知的过程，从已经学

回顾

变成方程1的形式？习的知识中探索新知

问题3：方程⑶与方程(2)有什么区别？怎么样把方程3的左边识的方法.

化成完全平方式的形式？

总结归纳：像这样，把方程的左边配成含有x的完全平方形式，

从而可以用直接开平方法来解方程的方法叫做配方法.

教师出示方程，逐渐加深，引出本课的内容.

【课堂引入】

用两个看似不同而实

大家都知道，任何一个能变形为x?=p或(x+rl)2=p形式的一元

质相同的方程对比求

活动一：创设情二次方程，都可以用直接开平方法解，根据方程x?+6x+9=l的

解，容易启发学生思

境、导入新课求解思路，你能解一元二次方程x?+6x+4=0吗？

考.增加学生学习的积

学生先独立思考，再相互交流，最后阐述解法，引出配方法解一

极性.

元二次方程.

问题1：(课件展示)

(1)探究解一元二次方程：X2+6X+4=0.

(2)什么叫配方法？用配方法解二次项系