上海市戏剧学院附属中学2025届数学高一上期末复习检测模拟试题含解析

上海市戏剧学院附属中学2025届数学高一上期末复习检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.2．土地沙漠化的治理，对中国乃至世界来说都是一个难题，我国创造了治沙成功案例——毛乌素沙漠.某沙漠经过一段时间的治理，已有1000公顷植被，假设每年植被面积以20%的增长率呈指数增长，按这种规律发展下去，则植被面积达到4000公顷至少需要经过的年数为（）（参考数据：取）A.6 B.7C.8 D.93．《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其外形由圆柱和长方体组合而成.已知某组合体由圆柱和长方体组成，如图所示，圆柱的底面直径为1寸，长方体的长、宽、高分别为3.8寸，3寸，1寸，该组合体的体积约为12.6立方寸，若取3.14，则圆柱的母线长约为（）A.0.38寸 B.1.15寸C.1.53寸 D.4.59寸4．已知直线过，两点，则直线的斜率为A. B.C. D.5．当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能为A. B.C. D.6．已知正弦函数f(x)的图像过点,则的值为()A.2 B.C. D.17．函数f(x)=tan的单调递增区间是（）A.(k∈Z) B.(k∈Z)C.(k∈Z) D.(k∈Z)8．已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是A. B.C. D.9．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间：t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，当t∈[0,60]，A，B两点间的距离为d（单位：A.5sintC.5sinπt10．若，则与在同一坐标系中的图象大致是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．无论取何值，直线必过定点__________12．函数的单调减区间是_________.13．cos（-225°）=______14．已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8，若甲、乙各投篮一次，则恰有一人命中的概率是___________15．设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为________.16．已知非零向量、满足，，在方向上的投影为，则_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到年中国的汽车总销量将达到万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.江苏某新能源公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台元，到第年年末每台设备的累计维修保养费用为元，每台充电桩每年可给公司收益元.（）（1）每台充电桩第几年年末开始获利；（2）每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大.18．已知函数.（1）若函数在上至少有一个零点，求的取值范围；（2）若函数在上最大值为3，求的值.19．已知全集，若集合，.（1）若，求；（2）若,求实数的取值范围.20．已知函数的图象关于原点对称（1）求实数b的值；（2）若对任意的，有恒成立，求实数k的取值范围21．对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，那么，（1）求函数的“稳定点”；（2）求证：；（3）若，且，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】由指数函数的单调性知，即二次函数是开口向下的，利用二次函数的对称轴与1比较，再利用分段函数的单调性，可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围【详解】函数是定义域上的递减函数，当时，为减函数，故；当时，为减函数，由，得，开口向下，对称轴为，即，解得；当时，由分段函数单调性知，，解得；综上三个条件都满足，实数a的取值范围是故选：B.【点睛】易错点睛：本题考查分段函数单调性，函数单调性的性质，其中解答时易忽略函数在整个定义域上为减函数，则在分界点处（）时，前一段的函数值不小于后一段的函数值，考查学生的分析能力与运算能力，属于中档题.2、C【解析】根据题意列出不等式，利用对数换底公式，计算出结果.【详解】经过年后，植被面积为公顷，由，得.因为，所以，又因为，故植被面积达到4000公顷至少需要经过的年数为8.故选：C3、C【解析】先求出长方体的体积，进而求出圆柱的体积，利用求出的圆柱体体积和圆柱的底面半径为0.5寸，求出圆柱的母线长【详解】由题意得，长方体的体积为(立方寸)，故圆柱的体积为(立方寸).设圆柱的母线长为l，则由圆柱的底面半径为0.5寸，得，计算得：(寸).故选：C4、C【解析】由斜率的计算公式计算即可【详解】因为直线过，两点，所以直线的斜率为.【点睛】本题考查已知两点坐标求直线斜率问题，属于基础题5、C【解析】当时，单调递增，单调递减故选6、C【解析】由题意结合诱导公式有：.本题选择C选项.7、B【解析】运用整体代入法，结合正切函数的单调区间可得选项.【详解】由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z)，得<x<(k∈Z)，所以函数f(x)=tan的单调递增区间为(k∈Z).故选:B.【点睛】本题考查正切函数的单调性，属于基础题.8、A【解析】由得画出函数的图象如图所示，且当时，函数的图象以为渐近线结合图象可得当的图象与直线有三个不同的交点，故若方程有三个不同的实数根，实数的取值范围是．选A点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决，如在本题中，方程根的个数，即为直线与图象的公共点的个数；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.9、D【解析】由题知圆心角为tπ30，过O作AB的垂线，通过计算可得d【详解】由题知，圆心角为tπ30，过O作AB的垂线，则故选：D10、D【解析】根据指数函数与对数函数的图象判断【详解】因为，，是减函数，是增函数，只有D满足故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】直线（λ+2）x﹣（λ﹣1）y+6λ+3=0，即（2x+y+3）+λ（x﹣y+6）=0，由求得x=﹣3，y=3，可得直线经过定点（﹣3，3）故答案为（﹣3，3）12、##【解析】根据复合函数的单调性“同增异减”，即可求解.【详解】令，根据复合函数单调性可知，内层函数在上单调递减，在上单调递增，外层函数在定义域上单调递增，所以函数#在上单调递减，在上单调递增.故答案为：.13、【解析】直接利用诱导公式求知【详解】【点睛】本题考查利用诱导公式求知，一般按照以下几个步骤：负化正，大化小，划到锐角为终了同时在转化时需注意“奇变偶不变，符号看象限．”14、38##【解析】利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件概率计算公式即求.【详解】∵甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8，∴甲、乙各投篮一次，则恰有一人命中的概率是.故答案为：0.38.15、【解析】考点：该题主要考查平面向量的概念、数量积的性质等基础知识，考查数学能力.16、【解析】利用向量数量积的几何意义得出，在等式两边平方可求出的值，然后利用平面向量数量积的运算律可计算出的值.【详解】，在方向上的投影为，，，则，可得，因此，.故答案：.【点睛】本题考查平面向量数量积计算，涉及利用向量的模求数量积，同时也考查了向量数量积几何意义的应用，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）第年；（2）第年.【解析】（1）构造二次函数模型，由二次函数解得结果；（2）由（1）知年平均利润，结合对勾函数单调性，验证可知，由此可得结果.【小问1详解】设每台充电桩在第年年末的利润为，则，令，解得：，又，，，每台充电桩从第年年末开始获利；【小问2详解】设为每台充电桩在第年年末的年平均利润，则；在上单调递减，在上单调递增，上单调递增，在上单调递减，又，，，，，每台充电桩在第年年末时，年平均利润最大.18、(1)；（2）或.【解析】（1）由函数在至少有一个零点，方程至少有一个实数根，，解出即可；（2）通过对区间端点与对称轴顶点的横坐标的大小比较，再利用二次函数的单调性即可得出函数在上的最大值，令其等于可得结果.试题解析：（1）由.（2）化简得，当，即时，；当，即时，，，（舍）；当，即时，，综上，或.19、（1）（2）【解析】（1）利用集合的交集及补集的定义直接求解即可；（2）由可得，利用集合的包含关系求解即可.【详解】（1）当时，，所以，因为，所以；（2）由得，，所以【点睛】本题主要考查了集合的运算及包含关系求参，属于基础题.20、（1）－1（2）【解析】（1）由得出实数b的值，再验证奇偶性即可；（2）由结合函数的单调性解不等式，结合基本不等式求解得出实数k的取值范围【小问1详解】∵函数的定义域为R，且为奇函数，解得经检验，当b＝－1时，为奇函数，满足题意故实数b的值为－1【小问2详解】，∴f(x)在R上单调递增，在上恒成立，在上恒成立（当且仅当x＝0时，取“＝”），则∴实数k的取值范围为21、（1）“稳定点”；（2）见解析；（3）【解析】本题拿出一个概念来作为新型定义题，只需要去对定义的理解就好，要求函数的“稳定点”只需求方程中的值，即为“稳定点”若，有这是不动点的定义，此时得出，，如果，则直接满足.先求出即存在“不动点”的条件，同理取得到存在“稳定点”的条件，而两集合相等，即条件所求出的结果一直，对结果进行分类讨论.【详解】（1）由有，得：，所以函数的“稳定点”为；（2）证明：若，则，显然成立；若，设，有，则有，所以，故（3）因