2025届湖北省孝感市汉川市第二中学高二上数学期末复习检测模拟试题含解析

2025届湖北省孝感市汉川市第二中学高二上数学期末复习检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，若直线与直线平行，则的值为（）A. B.C.或 D.2．下列四个命题中为真命题的是（）A.设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q的必要不充分条件B.命题“”的否定是“”C.函数的最小值是4D.与的图象关于直线y＝x对称3．“”是“方程表示椭圆”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.a≥4 B.a≤4C.a≥5 D.a≤55．甲烷是一种有机化合物，分子式为，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离（H-H键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离（C-H键长）均相等，任意两个H-C-H键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为，即，若，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（）A. B.C. D.6．设直线与双曲线（，）的两条渐近线分别交于，两点，若点满足，则该双曲线的离心率是（）A. B.C. D.7．已知梯形中，，且，则的值为（）A. B.C. D.8．椭圆的离心率为（）A. B.C. D.9．已知为虚数单位，复数是纯虚数，则（）A. B.4C.3 D.210．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（）A. B.C. D.11．在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（）A.1 B.C.－1 D.-212．有下列四个命题，其中真命题是（）A.， B.，，C.，， D.，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．椭圆的左焦点为，M为椭圆上的一点，N是的中点，O为原点，若，则______14．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP，某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取2000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图（1）根据上图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数；（2）宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从和组中抽取50人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的50入中选5人参加一个座谈会,现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求小组中至少有1人发言的概率？15．双曲线的焦距为____________16．若，则与向量同方向的单位向量的坐标为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知梯形如图甲所示，其中，，，四边形是边长为1正方形，沿将四边形折起，使得平面平面，得到如图乙所示的几何体（1）求证：平面；（2）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.18．（12分）已知数列中，数列的前n项和为满足.（1）证明：数列为等比数列；（2）在和中插入k个数构成一个新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有数依次构成首项和公差都为2的等差数列.求数列的前50项和.19．（12分）已知函数（1）求函数的单调递减区间；（2）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，求面积的最大值20．（12分）如图，已知等腰梯形，，为等腰直角三角形，，把沿折起（1）当时，求证：；（2）当平面平面时，求平面与平面所成二面角的平面角的正弦值21．（12分）已知函数，其中常数，（1）求单调区间；（2）若且对任意，都有，证明：方程有且只有两个实根22．（10分）如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别是上的点，满足.（1）求证：四点共面；（2）设与交于点，求证：三点共线.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据直线的一般式判断平行的条件进行计算.【详解】时，容易验证两直线不平行，当时，根据两直线平行的条件可知：，解得或.故选：C.2、D【解析】根据推出关系和集合的包含关系判断A，根据全称命题的否定形式可判断B，根据对钩函数性质即三角函数的性质可判断C，根据反函数的图像性质可判断D.【详解】解：对于选项A：是的真子集，所以命题p是q的充分不必要条件，故A错误；对于选项B：命题“”的否定是“”，故B错误；对于选项C：函数，当时，，函数单调递减，当时取最小值，故C错误；对于选项D：与互为反函数，故图象关于直线y＝x对称，故D正确.3、B【解析】方程表示椭圆，可得，解出的范围即可判断出结论.【详解】∵方程表示椭圆，∴解得或，故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B4、C【解析】先要找出命题为真命题的充要条件，从集合的角度充分不必要条件应为的真子集，由选择项不难得出答案【详解】命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，恒成立即只需，即命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的的充要条件为，而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集，由选择项可知C符合题意.故选：C5、A【解析】利用余弦定理求得，计算出正四面体的高，从而计算出正四面体的体积.【详解】设，则由余弦定理知：，解得，故该正四面体的棱长均为由正弦定理可知：该正四面体底面外接圆的半径，高故该正四面体的体积为故选：A6、C【解析】先求出，的坐标，再求中点坐标，利用点满足，可得，从而求双曲线的离心率.【详解】解:由双曲线方程可知，渐近线为，分别于联立，解得：，，所以中点坐标为，因为点满足，所以，所以，即，所以.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.7、D【解析】根据共线定理、平面向量的加法和减法法则，即可求得，进而求出的值，即可求出结果.【详解】因为，所以又，所以.故选：D.8、A【解析】由椭圆标准方程求得，再计算出后可得离心率【详解】在椭圆中，，，，因此，该椭圆的离心率为.故选：A.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，根据椭圆标准方程求出即可9、C【解析】化简复数得，由其为纯虚数求参数a，进而求的模即可.【详解】由纯虚数，∴，解得：，则，故选：C10、B【解析】根据题意得到得到答案.【详解】椭圆焦点在轴上，且，故.故选：B.11、C【解析】以为建立平面直角坐标系，设，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值【详解】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，，，，，∴，∴当时，取得最小值故选：C【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示12、B【解析】对于选项A，令即可验证其不正确；对于选项C、选项D，令，即可验证其均不正确，进而可得出结果.【详解】对于选项A，令，则，故A错；对于选项B，令，则，显然成立，故B正确；对于选项C，令，则显然无解，故C错；对于选项D，令，则显然不成立，故D错.故选B【点睛】本题主要考查命题真假的判定，用特殊值法验证即可，属于常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】根据三角形的中位线定理，结合椭圆的定义即可求得答案.【详解】椭圆的左焦点为,如图，设右焦点为,则，由N是的中点，O为得中点，,故,又，所以，故答案为：414、（1）平均时长为，中位数为（2）在和两组中分别抽取30人和20人，概率【解析】（1）由频率分布直方图计算平均数，中位数的公式即可求解；（2）先根据分层抽样求出每一组抽取的人数，再列举抽取总事件个数，从而利用古典概型概率计算公式即可求解【小问1详解】解：（1）设被抽查人员利用“学习强国”的平均时长为，中位数为，，被抽查人员利用“学习强国”的时长中位数满足，解得，即抽查人员利用“学习强国”的平均时长为6.8，中位数为【小问2详解】解：组的人数为人，设抽取的人数为，组的人数为人，设抽取的人数为，则，解得，，所以在和两组中分别抽取30人和20人，再利用分层抽样从抽取的50入中抽取5人，两组分别抽取3人和2人，将组中被抽取的工作人员标记为，，，将中的标记为，，则抽取的情况如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10种情况，其中在中至少抽取1人有7种，故所求概率15、【解析】根据双曲线的方程求出，再求焦距的值.【详解】因为双曲线方程为，所以，.双曲线的焦距为.故答案为：.16、【解析】由空间向量的模的计算求得向量的模，再由单位向量的定义求得答案.【详解】解：因为，所以，所以与向量同方向的单位向量的坐标为，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明过程见解析；（2）.【解析】（1）根据面面垂直的性质定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】∵平面平面，平面平面平面，，∴平面；【小问2详解】（2）建系如图：设平面的法向量，，，，，，则，设，，，解得或（舍），，∴.18、（1）证明见解析；（2）2735.【解析】(1)利用给定的递推公式结合“当时，”计算推理作答.(2)插入所有项构成数列，，再确定数列的前50项中含有数列和的项数计算作答.【小问1详解】依题意，，当时，，两式相减得：，则有，而，即，所以数列是以2为首项，2为公式的等比数列.【小问2详解】由(1)知，，即，插入的所有项构成数列，，数列中前插入数列的项数为：，而前插入数列的项数为45，因此，数列的前50项中包含数列前9项，数列前41项，所以.19、（1）（2）【解析】（1）由三角恒等变换公式化简，根据三角函数性质求解（2）由余弦定理与面积公式，结合基本不等式求解【小问1详解】由己知可得，由，解得：，故的单调递减区间是【小问2详解】，，故，得，由余弦定理得：，得，当且仅当时等号成立，故，面积最大值为20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）取的中点E，连，证明四边形为平行四边形，从而可得为等边三角形，四边形为菱形，从而可证，，即可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）取的中点M，连接，以B为空间坐标原点，向量分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【小问1详解】解：取的中点E，连，∵，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∵，∴，∵，∴为等边三角形，四边形为菱形，∴，，∴∴，∵，，，平面，，∴平面，∵平面，∴；【小问2详解】解：取的中点M，连接，由（1）知，，∵平面平面，，∴平面，以B为空间坐标原点，向量分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，由，，有，取，可得，设平面的法向量为，由，，有，取，有，有，故平面与平面所成二面角的正弦值为21、（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】（1）求出函数的导数，谈论参数的范围，根据导数的正负，可得单调区间；（2）由已知可解得，构造函数，再根据（1）的结论，可知函数的单调性，结合零点存在定理，可证明结论.【小问1详解】定义域为，因为