一题多解与一题多变

PAGE1/1一题多解与一题多变一题多解：开拓学生解题思路，沉淀学生的严谨思维；一题多变：引导学生知识联系，培养学生的发散思维。在高中数学教学中，对例题的讲解，要做到一题多解和一题多变。也就是先要做到从不同的角度进行分析，用不同的方法来解决问题，这样能够开拓学生的解题思路，培养学生分析问题和解决问题的能力。还要进行拓展廷伸，使学生掌握知识间的联系，培养学生的发散思维。问题一：设AB是抛物线的弦，O为原点，若OA⊥OB，则直线AB恒过定点。证明之。分析：1、若过定点，则定点应在何处？——根据对称性，应可猜想到定点应在x轴上。2、怎样利用已知条件？主要是OA⊥OB的作用：①②设，则3、可从那些方面入手？①从设点的坐标入手由点A、B在抛物线上，可设点A、B，②从设直线AB的方程入手1）设直线AB的方程为x=my+b2）设直线AB的方程为ax+by=1③从OA⊥OB入手设OA的斜率为，则OB的斜率为方法一：ABO设A、B，则OA、OB的ABO斜率分别为、，由OA⊥OB得：，又AB的斜率为∶，∴AB方程为∶，即，显然AB过定点（2p，0）。方法二∶设直线AB的方程为x=my+b，（注意这样设直线方程有两大优点：①不必考虑斜率不存在，②代入消x简便），代入抛物线的方程消x得：又设A、B，则，又∴，由OA⊥OB得，∴，∵b≠0，∴b=2p，即AB的方程为x=my+2p，显然AB过定点（2p，0）。方法三：设直线AB的方程为ax+by=1，代入抛物线方程得：y2=2px（ax+by），即：，∴，由于、是此方程的两根，∴·=－2pa，又由OA⊥OB得：·=－1，∴，即AB的方程为，显然AB过定点（2p，0）方法四：设OA的斜率为，则OB的斜率为，OA的方程为，代入抛物线的方程得，以换得。从而得出AB的斜率为，AB方程为：，令得，即过定点。说明：①开始考虑到定点位置有很大作用，不少学生就是利用方法一、方法二得出了AB方程，但还不会找出定点，当知道了定点在x轴上就好找了。②对于解决解析几何问题就是要学会从多方面思考，从中找到最佳方法，同时在解决解析几何问题时还要注意几何图形性质、曲线的定义的作用，曲线方程的设法技巧等。③对于方法三是给学生一个开拓眼界的作用，同时也是齐次方程特点的一个应用。以增加学生的知识面，有心的学生可想想其中的道理。在作了这些方法探索讲解后，我们再引导学生思考：这个问题对于其他的曲线又有什么类似结论？如：圆、椭圆、双曲线。我们还是从特殊到一般的想法，先看圆。不难知道AB恒与一个定圆相切。那么椭圆呢？即：若定椭圆的中心在原点O，焦点在坐标轴上，A、B是椭圆上不同的两动点，若OA⊥OB，则直线AB恒与一个定圆相切。试证明之。可引导同学们利用上面的方法三来试一试！在学习了极坐标后，我们来解决这个问题就不难了。即：已知A、B是定椭圆上两动点，且OA⊥OB，O为原点，①求证：为定值；②求证直线AB恒与一个定圆相切。解：①设A点的极坐标为，B点的极坐标为，则，∴，∴是一个定值。②只要证明：原点O到AB的距离为定值。由OA⊥OB知：，，∴＝定值，∴也是定值。∴直线AB恒与一个定圆相切。问题二：已知椭圆，F、F为其左、右焦点，A（1，2）为椭圆内一点，点P在椭圆上移动，求｜PA｜+｜PF｜的最小值及取得最值时的P点的坐标。分析：这是与焦点有关的最值问题，我们应想到与定义有关。如图，猜想到P应在的廷长线上，下面只要证明：若换另一点P＇，则有｜P＇A｜+｜P＇｜>｜PA｜+｜P｜。∵｜P＇｜+｜P＇｜=而｜P＇A｜+｜A｜>｜P＇｜，∴｜P＇A｜+｜A｜+｜P＇｜>｜P＇｜+｜P＇｜=∴｜P＇A｜+｜P＇｜>－｜A｜，又，∴｜PA｜+｜PF｜=－｜A｜，∴｜P＇A｜+｜P＇｜>｜PA｜+｜P｜。故，猜想正确。提出问题：对于双曲线、抛物线中呢，也有类似的问题吗？如：①设点P是双曲线上一点，右焦点F（2，0），点A（3，2），则｜PF｜+｜PA｜的最小值是＿＿＿＿，此时P点的坐标为（）。②已知点A（2，1），P是抛物线上的动点，F为其焦点，若｜PF｜+｜PA｜最小，求P点坐标。说明：在解决了这些问题后，引导学生总结归纳，并研究它们的相同点和不同点。在解决问题后，进行必要的拓展廷伸有着很大的作用。这对拓展学生的思维和加强学生对各知识点间的联系都是不可缺少的手段。学会联想，学会探索，举一反三，并通过总结归纳，培养学生的发散思维，培养学生的分析问题和解决问题的能力！练习：问题：已知P是抛物线上一点，点A（1，0），求｜PA｜的最小值。演变：①A（1，0）→A（4，0）；