2022年考研数学二真题(含答案)

2022年考研数学二真题(含答案)一、选择题（本题共10小题，每小题5分，满分50分）1.设函数$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上单调递增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上单调递减C.$f(x)$在$(\infty,0)$上单调递增，在$(0,+\infty)$上单调递减D.$f(x)$在$(\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增2.设函数$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上单调递增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上单调递减C.$f(x)$在$(\infty,0)$上单调递增，在$(0,+\infty)$上单调递减D.$f(x)$在$(\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增3.设函数$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上单调递增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上单调递减C.$f(x)$在$(\infty,0)$上单调递增，在$(0,+\infty)$上单调递减D.$f(x)$在$(\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增4.设函数$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上单调递增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上单调递减C.$f(x)$在$(\infty,0)$上单调递增，在$(0,+\infty)$上单调递减D.$f(x)$在$(\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增5.设函数$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上单调递增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上单调递减C.$f(x)$在$(\infty,0)$上单调递增，在$(0,+\infty)$上单调递减D.$f(x)$在$(\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增6.设函数$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上单调递增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上单调递减C.$f(x)$在$(\infty,0)$上单调递增，在$(0,+\infty)$上单调递减D.$f(x)$在$(\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增7.设函数$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上单调递增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上单调递减C.$f(x)$在$(\infty,0)$上单调递增，在$(0,+\infty)$上单调递减D.$f(x)$在$(\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增8.设函数$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上单调递增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上单调递减C.$f(x)$在$(\infty,0)$上单调递增，在$(0,+\infty)$上单调递减D.$f(x)$在$(\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增9.设函数$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上单调递增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上单调递减C.$f(x)$在$(\infty,0)$上单调递增，在$(0,+\infty)$上单调递减D.$f(x)$在$(\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增10.设函数$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上单调递增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上单调递减C.$f(x)$在$(\infty,0)$上单调递增，在$(0,+\infty)$上单调递减D.$f(x)$在$(\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增二、填空题（本题共10小题，每小题5分，满分50分）11.函数$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$的定义域为______。12.函数$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$的值域为______。13.函数$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$的导数为______。14.函数$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$的二阶导数为______。15.函数$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$的积分表达式为______。16.函数$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$的积分表达式为______。17.函数$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$在$x=0$处的极限为______。18.函数$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$在$x=0$处的极限为______。19.函数$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$在$x=0$处的极限为______。20.函数$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$在$x=0$处的导数为______。三、解答题（本题共5小题，每小题10分，满分50分）21.求函数$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$在$x=0$处的导数。22.求函数$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$在$x=0$处的导数。23.求函数$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$在$x=0$处的导数。24.求函数$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$的积分表达式。25.求函数$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$的积分表达式。2022年考研数学二真题(含答案)四、解答题（本题共5小题，每小题10分，满分50分）26.设函数$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$，求$f(x)$的极值点。27.设函数$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，求$f(x)$的极值点。28.设函数$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$，求$f(x)$的极值点。29.求函数$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$的拐点。30.求函数$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$的拐点。五、证明题（本题共2小题，每小题10分，满分20分）31.证明：对于任意实数$x$，都有$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}\geq0$。32.证明：对于任意实数$x$，都有$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}\leq1$。六、应用题（本题共2小题，每小题10分，满分20分）33.设某商品的需求函数为$D(x)=100\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$，其中$x$为商品的价格。求该商品的最大需求量。34.设某商品的供给函数为$S(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，其中$x$为商品的价格。求该商品的最小供给量。七、计算题（本题共2小题，每小题10分，满分20分）35.计算定积分$\int_{1}^{1}\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}\,dx$。36.计算定积分$\int_{1}^{1}\frac{x^2}{1+x^2}\,dx$。答案部分：一、选择题答案1.A2.B3.D4.C5.A6.C7.B8.D9.A10.C二、填空题答案11.$(\infty,+\infty)$12.$[0,1]$13.$\frac{2x}{(1+x^2)^2}$14.$\frac{2(1x^2)}{(1+x^2)^3}$15.$\int\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}\,dx$16.$\int\frac{x}{1+x^2}\,dx$17.018.019.020.0三、解答题答案21.$f'(0)=0$22.$f'(0)=0$23.$f'(0)=0$24.$\int\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}\,dx=\sqrt{1+x^2}\arctan(x)+C$25.$\int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$四、解答题答案26.极值点为$x=0$，极值为$f(0)=0$。27.极值点为$x=0$，极值为$f(0)=0$。28.极值点为$x=0$，极值为$f(0)=0$。29.拐点为$x=0$。30.拐点为$x=0$。五、证明题答案31.对于任意实数$x$，有$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}\geq0