2024-2025学年高中数学第三章推理与证明3.4反证法学案含解析北师大版选修1-2

PAGE§4反证法授课提示：对应学生用书第24页[自主梳理]一、反证法的定义1．在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者________，我们可以先假定命题结论的______成立，在这个前提下，若推出的结果与________相冲突，或与命题中的________相冲突，或与________相冲突，从而断定命题结论的反面________成立，由此断定命题的结论________．这种证明方法叫作________．2．反证法是一种________证明的方法．二、反证法的证明步骤1．作出________的假设．2．进行推理，导出________．3．否定________，确定________．[双基自测]1．命题“在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应当是()A．a<bB．a≤bC．a＝bD．a≥b2．若a、b、c不全为零，必需且只需()A．abc≠0B．a、b、c中至少有一个为0C．a、b、c中只有一个是0D．a、b、c中至少有一个不为03．用反证法证明“若a＋b＋c<3，则a，b，c中至少有一个小于1”时，应A．假设a，b，c至少有一个大于1B．假设a，b，c都大于1C．假设a，b，c至少有两个大于1D．假设a，b，c都不小于14．有甲、乙、丙、丁四位歌手参与竞赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”．四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是()A．甲B．乙C．丙D．丁5．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”的过程如下：已知：△ABC的三个内角A，B，C.求证：A，B，C中至少有一个大于或等于60°.证明：假设________________________________________________________________．则A＋B＋C<60°＋60°＋60°＝180°，这与_____________冲突，因此假设不成立，原命题正确．[自主梳理]一、1.必居其一反面定义、公理、定理已知条件假定不行能成立反证法2.间接二、1.否定结论2.冲突3.假设结论[双基自测]1．B2．Da、b、c不全为零，即a、b、c中至少有一个不为0.3．D假设a，b，c中至少有一个小于1不成立，即a，b，c都不小于1，故选D.4．C若甲、乙的话是对的，则乙获奖，从而丁的话是对的不符合题意；若甲、丙的话是对的，则丙获奖，乙、丁的话是错的，符合题意，故选C.5．A，B，C都小于60°，即A<60°，B<60°，C<60°三角形的内角和是180°授课提示：对应学生用书第25页探究一用反证法证明“否定型”命题[例1]如图，设SA、SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点．求证：AC与平面SOB不垂直．[证明]假设AC⊥平面SOB，因为直线SO在平面SOB内，所以AC⊥SO.又SO⊥底面，所以SO⊥AB.因为AB∩AC＝A，所以SO⊥平面SAB.故平面SAB∥底面．这与已知条件冲突，所以假设不成立．即AC与平面SOB不垂直．1．对于这类“否定”型命题，明显从正面证明须要证明的状况太多，不但过程繁琐，而且简单遗漏，故可以考虑采纳反证法．一般地，当题目中含有“不行能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采纳反证法证明．2．反证法证明“确定”型命题相宜于结论的反面比原结论更详细更简单探讨和驾驭的命题．1．设{an}是公比为q(q≠0)的等比数列，Sn是它的前n项和，求证：数列{Sn}不是等比数列．证明：假设{Sn}为等比数列，则Seq\o\al(2,2)＝S1·S3，∴aeq\o\al(2,1)(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)．∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，与q≠0冲突．∴{Sn}不是等比数列．探究二用反证法证明“至少”“至多”等问题[例2]已知a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋eq\f(π,2)，b＝y2－2z＋eq\f(π,3)，c＝z2－2x＋eq\f(π,6).求证：a，b，c中至少有一个大于0.[解析]假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0.所以a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－2y＋\f(π,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－2z＋\f(π,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z2－2x＋\f(π,6)))＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.所以a＋b＋c>0.这与a＋b＋c≤0冲突，故a，b，c中至少有一个大于0.1．对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不行能”等字样时，常用反证法．2．常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有n－1个至少有n＋1个2．已知x，y，z∈R，x＋y＋z＝1，x2＋y2＋z2＝eq\f(1,2)，求证：x，y，z∈[0，eq\f(2,3)]．证明：假设x，y，z中有负数，不妨设x<0，则x2>0，则y＋z＝1－x，y2＋z2≥eq\f(y＋z2,2)，∴eq\f(1,2)＝x2＋y2＋z2≥x2＋eq\f(y＋z2,2)＝x2＋eq\f(1－x2,2)＝eq\f(3,2)x2－x＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)x(x－eq\f(2,3))＋eq\f(1,2).∵x<0，∴x－eq\f(2,3)<0.∴eq\f(3,2)x(x－eq\f(2,3))>0.∴eq\f(1,2)≥eq\f(3,2)x(x－eq\f(2,3))＋eq\f(1,2)>eq\f(1,2)，冲突．∴x，y，z中没有负数．假设x，y，z中有一个大于eq\f(2,3)，不妨设x>eq\f(2,3)，则eq\f(1,2)＝x2＋y2＋z2≥x2＋eq\f(y＋z2,2)＝x2＋eq\f(1－x2,2)＝eq\f(3,2)x2－x＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)x(x－eq\f(2,3))＋eq\f(1,2).∵x>eq\f(2,3)，∴x>0.∴eq\f(3,2)x(x－eq\f(2,3))>0.∴eq\f(1,2)≥eq\f(3,2)x(x－eq\f(2,3))＋eq\f(1,2)>eq\f(1,2)，冲突．∴x，y，z中没有大于eq\f(2,3)的．综上，x，y，z∈[0，eq\f(2,3)]．唯一性命题的证明[典例]求证函数f(x)＝2x＋1有且仅有一个零点．[证明](1)存在性：因为2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1＝0，所以－eq\f(1,2)为函数f(x)＝2x＋1的零点．所以函数f(x)＝2x＋1至少存在一个零点．(2)唯一性：假设函数f(x)＝2x＋1除－eq\f(1,2)外还有零点x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0≠－\f(1,2)))，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝f(x0)＝0.即2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1＝2x0＋1，所以x0＝－eq\f(1,2)，这与