北师大 七年级下册数学教案

《同底数幕的乘法》教案

教学目标

一、知识与技能

1.掌握同底数基的乘法法则，并会用式子表示；

2.能利用同底数基的乘法法则进行简单计算；

二、过程与方法

1.在探索性质的过程中让学生经历观察、猜想、创新、交流、验证、归纳总结的思维

过程；

2.课堂中教给学生“动手做，动脑想，多合作，大胆猜，会验证”的研讨式学习方法;

三、情感态度和价值观

1.在活动中培养乐于探索、合作学习的习惯，培养“用数学”的意识和能力；

2.通过同底数累乘法性质的推导和应用，使学生初步理解“特殊、一般、特殊”的认

知规律

和辨证唯物主义思想，体会科学的思想方法，激发学生探索创新精神；

教学重点

同底数基乘法法则；

教学难点

同底数塞的乘法法则的灵活运用；

教学方法

引导发现法、启发猜想、讲练结合法

课前准备

教师准备

课件、多媒体；

学生准备

练习本：

课时安排

1课时

教学过程

一、导入

光在真空中的速度大约是3xlO8m/s.太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它

发出的光到达地球大约需要4.22年.

一年以3x107秒计算，比邻星与地球的距离约为多少？

3X108X3X107X4.22=37.98X(108X107).

108x1()7等于多少呢？

通过呈现实际问题引起学生的注意，对同底数累的乘法内容具体，便于引导学生进入相

关问题的思考.

二、新课

在乘方意义的基础上，学生开展探究，采用观察分析、探究归纳，合作学习的方法，易

使学生体会知识的形成过程，从而突破难点，同时也培养了学生观察、概括与抽象的能力。

1.计算下列各式：

(1)102X103；

(2)105X108；

(3)10mxi°nn都是正整数).

你发现了什么？

(1)1()2X103=(10X10)X(10X10X10)

=10X10X10Xlox10=105=102+3；

(2)105X108=(10X10X10X10X10)x(10X10X10X10X10X10X10X10)

=10X10Xiox•••X10X10=10l3=105+8；

13个10

(3)10mX10n=(10X10X•••X10X10)X(10X10X•••X10X10)

m个10n个10

=ioxioxiox•••xioxio=iom+n；

m+n个10

2.2mx2。等于什么？

()mx(＞和G3)mx(-3)n呢？(m,n都是正整数)

引导学生剖析规律.(1)等式左边是什么运算？(2)等式两边的底数有什么关系？

(3)等式两边的指数有什么关系？(4)设疑：那么产.严=?

猜想：am-an=am+n(当机、〃都是正整数)

证明：

am-an=(aa...a)(aa…a)(乘方的意义)

朋个a"个a

=aa...a(乘法结合律)

(zn+n)个a

=am+n(乘方的意义)

(当〃都是正整数)

观察以上等式，你发现什么规律？你能用等式或语言表示这个规律吗？

(当相、〃都是正整数)。同底数累相乘，底数不变，指数不变。

思考：当三个或三个以上同底数基相乘时，同底数募的乘法公式是否也适用呢？怎样用

公式表

示？

a"%"W=a"'+"+P(n〃,p都是正整数)

三、例题

通过课本例题和做一做，使学生体会到运用同底数基的运算性质，可以解决一些实际问

题，进一步让学生发展数感.

例1、计算：

⑴(-3)7义(-3)6；

(2)(JL)3X(_L)；

inin

(3)-%3-%5；

(4)b2m-b2m+l.

解：

(1)(-3)7X(-3)6=(-3)7+6=(-3)13：

(2)(—)3X(产1=(_L)4.

inininin

(3)-也走产、：

(4)庐n.j2m+1―^2m+2m+1=^4m+1

例2：光在真空中的速度约为3xl()8m/s,太阳光照射到地球上大约需要5xl()2s.地球

距离太阳大约有多远？

解：3X108X5X102

=15x10'0

=1.5x10"(m).

答：地球距离太阳大约有1.5x10"m.

四、习题

1.计算：

(1)52X57；(2)7x73X72；

(3)-x2-%3；(4)(-c)3-(-c)m.

解：

(1)52x57=52+7=59；(2)7x73X72=71+3+2=76；

(3)-X2•=-X5；(4)(-c)3.(-C)m=(-C)3+m.

2.一种电子计算机每秒可做4X109次运算，它工作5义1。2$可做多少次运算？

解：(4x109)(5x102)=20x1011=2x1012

答：工作5x102s可做2x1012次运算？

五、拓展

同底数幕乘法公式的应用及注意事项

三点应用：

1.可把一个哥写成几个相同底数基的乘积.

2.可逆用同底数幕的乘法公式进行计算或说理.

3.可把一些实际问题转化为同底数幕的乘法进行求解.

两点注意：

1.转化过程中要时刻注意塞的底数相同.

2.解题中要注意整体思想的应用.

填空：

(1)16=2',贝ijx=；

(2)8x4=2',则x=;

(3)3x27x9=3、则x=.

六、小结

通过本节课的内容，你有哪些收获？

1.同底数幕的乘法表达式：

a"''a"=0m+"(当加、"都是正整数)

(〃人二?都是正整数)

2.法则：同底数基相乘，底数不变，指数相加.

《幕的乘方与积的乘方》教案

教学目标

一、知识与技能

1.经历探索寤的乘方与积的乘方性质，进一步体会基的乘方与积的乘方；

2.理解幕的乘方与积的乘方运算性质并能解决一些实际问题；

二、过程与方法

1.在探究基的乘方与积的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和有条理地表达的

能力；

2.课堂中教给学生“动手做，动脑想，多合作，大胆猜，会验证”的研讨式学习方法;

三、情感态度和价值观

1.通过研究探讨解决问题的方法，培养学生会作交流意识与探究精神；

2.通过引导学生主动探索法则的形成和应用过程，培养学生主动获取新知的能力；

教学重点

幕的乘方与积的乘方运算；

教学难点

累的乘方与积的乘方公式的推导及公式的逆用；

教学方法

引导发现法、启发猜想、讲练结合法

课前准备

教师准备

课件、多媒体：

学生准备

练习本；

课时安排

2课时

教学过程

一、导入

地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和

102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？

二、新课

木星的半径是地球的10倍，它的体积是地球的1。3倍！

太阳的半径是地球的102倍，它的体积是地球的(102)3倍！那么，你知道(102)3等于

多少吗？

(io2)：i=102X102xl02=102t2+2=106

通过问题的研究：(10b,让学生清楚运算之间的关系，题目中所描述的是10的

2次塞的三次方，其底数是累的形式，然后根据基的意义展开运算，去探究运算过程.

计算下列各式，并说明理由.

(1)(62)4;(2)(42)3；(3)(即)2.

解：

242222

(1)(6)=6X6X6X6-62*2””=6s；

(2)(102)3=102X102xl0=102+2t2=106；

/r、/nu2m、/mm+m2m

(3)(a)=aXa=a=a；

仿照前面，来研究运算情况，实际上做到(,严)2就能猜想(«-)"的结果，也为后面基的

乘方的法则带来指导性，完成本节课的主要教学任务.

猜想(“")"等于什么？你的猜想正确吗？

〃二4〃乙4〃？…〃〃】=4勿+加+…+m―^nn

察的乘方的运算性质

〃都是正整数)

法则：幕的乘方，底数不变，指数相乘.

地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为6xl0*m,它的体积大约是多少立方千

米？

v=-7rr2=—^(bxlO3)3

33

你会计算(帅)2,(")3和(而)4吗?

ii

(ab)-(ab)\ab)\ab)-(<a-a-a')-(b-b-b)-cr'b

(ab)4=(ab)-(ab)-(ab)\ah)=(a-a-a-a)'(b-hb-b)=aib4

(ab)m^n-bm的证明

(ab)"'=ab•ab............“贸乘方的意义)

=(“•“•.........a){b•b.............3(乘法运算律)

=a"',""(乘方的意义)

积的乘方的运算性质

(ab)m^a"'•bm1机为正整数)

法则：积的乘方等于各因数乘方的积•

三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质？怎样用公式表示？

(必£•)"=/•〃"'

三、例题

例1计算：

(1)(102)3；(2)(1)5；⑶")3；(4)-(X2)™；(5)(/Ry；(6)2(/)6一(43)4.

解：(1)(102)3=102X3=106；

(2)(〃)5=〃*5=庐；

(3)(4)3=陵、3=/"；

(4)-(X2严=52'，，，=-0"；

(5)(/)3.)，=V'3.y=y6.y=y7；

(6)2(a2)6-(a3)4=2«2><6-a3X4=2a12-a'2=a'2.

例2：

⑴(3x)2；⑵(_2b)5；(3)(-2xy)4；(4)(3a2)”.

解：

(1)(3x)2=32/=9x2；

(2)(-26)5=(-2)5/=_32/；

(3)(-2xy)4=(-2X)4/=(-2)4JC4/=16x4/；

(4)(3o2)"=3"(a2)"=392".

四、习题

1.计算：

(1)(IO3)3;(2)-(«2)5；(3)(x3)4-^2.

解：

(1)(1O3)3=1O9；

(2)-02)5=一储。；

(3)0?)4.9=储2式2=欠14.

2.计算：

(1)(-3n)3；

(2)(5xy)3；

(3)-《+(-4a)2a.

解：

(1)(-3n)3=(-3)3n3=-21n3；

(2)(5xy)3=53^3=SVy3=125x3>,3；

(3)-a'+[-Aa)1a=-a3+42a2iz=-/+16a3=15/.

五、拓展

累的乘方的运算性质

〃都是正整数)

注意：

1.公式中的底数。可以是具体的数，也可以是代数式。

2.注意幕的乘方中指数相乘，而同底数幕的乘法中是指数相加。

积的乘方的运算性质

(ah)'"=a"'*h"'(m为正整数)

逆运算使用W•b"=(abr

六、小结

通过本节课的内容，你有哪些收获？

暴的乘方的运算性质

(a"')"=a""'(m,"都是正整数)

法则：幕的乘方，底数不变，指数相乘。

积的乘方的运算性质

法则：积的乘方等于各因数乘方的积。

（aby"=am,〃"（，"为正整数）

《同底数幕的除法》教案

教学目标

一、知识与技能

1.能用符号语言和文字语言表述同底数塞的除法运算性质；

2.能利用同底数基的除法法则进行简单计算；

二、过程与方法

I.经历探索同底数基的除法运算法则的过程，会进行同底数塞的除法运算；

2.在塞的意义的推导过程中，让学生通过观察分析、探究归纳得出结论；

三、情感态度和价值观

1.在活动中培养乐于探索、合作学习的习惯，培养“用数学”的意识和能力；

2.通过同底数基乘法性质的推导和应用，使学生初步理解“特殊、一般、特殊”的认

知规律

和辨证唯物主义思想，体会科学的思想方法，激发学生探索创新精神；

教学重点

同底数幕的除法法则；

教学难点

根据乘、除互逆的运算关系得出同底数塞的除法运算法则；

教学方法

引导发现法、启发猜想、讲练结合法

课前准备

教师准备

课件、多媒体；

学生准备

练习本；

课时安排

1课时

教学过程

一、导入

一种液体每升含有1012个有害细菌.为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验,

发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种

杀菌剂多少滴？你是怎样计算的？

通过与数学有密切联系的现实世界的一个问题的解决，让学生体会同底数基的除法运算

和现实世界的联系，在课堂上用实际问题的解决来开展教学.

二、新课

计算下列各式，并说明理由(，">〃).

(1)10|24-109；(2)IOm4-lOn；(3)(-3)m4-(-3)n

观察上面三个式子，运算前后指数和底数发生了怎样的变化？

“底数不变，指数相减”

猜想：a"'=am-n(aWo,〃?、“都是正整数，且小>”)

因为：a"'+a"=(aXaX…Xa)+(aX…Xa)=产>>

所以：废十优=胪川(。W0,相、”都是正整数，且

同底数幕的除法法则：

即a*a"=*>­(),%、〃都是正整数,且机>〃)

同底数基相除，底数不变，指数相减。

注意：

条件：①同底数暴②除法

结果：①底数不变②指数相减

强调“不变”、“相减”，让学生类比同底数基的乘法，不仅是对刚学知识的再现，同

时也培养了学生的概括总结能力.

三、例题

例1、计算：

(1)/+/；(2)(-x)64-(-x)3；

(3)(孙)々(孙)；(4)b2m+2^b2

解：(1)凉+/="7-4_43.

(2)(-X)6+(-X)3=(-X)6-3=(T)3=_马

(3)(孙)4-?(肛)=(肛)4」=(孙)3=凸？;

(4)洌+2+从=炉m+2-2="!«

做一做

104=10000,24=16,

10⑶=1000,2⑶=8,

10°)=ioo,2。)=4,

10")=10.2(1)=2.

猜一猜下面的括号内该填入什么数？你是怎么想的？与同伴交流.

10,0)=1,2(。)=1,

2<-|>=-,

102

2(-2)=_1,

10<-2>=—,

1004

2<-3>=-.

10008

根据“猜一猜”，大家归纳一下，我们应该如何定义零指数曙和负整数指数基呢？正整

数累的意义表示几个相同的数相乘.如果用此定义解释负整数指数幕，零指数辕无意义，应

该如何定义呢？

我们规定:

a°=1("0)

a-〃=-L(nW0,0是正整数)

a11

例2：用小数或分数表示下列各数：

(1)IO*(2)7°X&2；(3)1.6XW4

解：⑴10-a3=1=——1=0.001

1031000

(2)7°X8-2=1X-^=—

8264

(3)1.6x10^=1.6X^T=1.6X0.0001=0.00016

四、习题

1.计算：

12

(1)X-?/；(2)(-y)3+(-y)2；(3)-(总+玄)；

(4)(-r)5-rr4；(5)〃什/°；(6)(mn)5_^(mn).

解：

(1)Xl24-X4=”-4=/；

(2)(-y)3+(-y)2=(-y)3-2=_y；

(3)-(烂+内)=一66=_1；

(4)(-r)5-?/=-/4-r4--产*=-r；

(5)m-r/?z°=m；

(6)(mn)5-r(mn)=(mn)5-1=(mn)4=m4n4.

五、拓展

同底数落的除法注明的三个条件：

(1)底数aWO,否则除数为零，除式没有意义；

(2)指数加，"都是正整数，由于目前指数的范围只限于正整数，而且在推导法则时,

用到了巾和n都是正整数的条件；

(3),n>n是保证胪-n是正整数指数基.

六、小结

通过本节课的内容，你有哪些收获？

同底数累的除法法则：

同底数基相除，底数不变，指数相减.

EPa'"^a"=am-'Xa^O,m、〃都是正整数，且加>〃)

零指数幕的法则：

规定：a"=l(a#O)

任何不等于零的数的零次塞都等于1.

负整数指数嘉的意义：

。-。=」（4工0,。是正整数）

任何不等于零的数的-P（P为正整数）次幕，等于这个数的0次幕的倒数.

零的负整数指数暴没有意义.

《整式的乘法》教案

教学目标

一、知识与技能

1.掌握单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的法则；

2.会进行整式的乘法运算；

二、过程与方法

1.经历探索整式的乘法运算法则的过程，发展推理能力和有条理地表达的能力；

2.课堂中教给学生“动手做，动脑想，多合作，大胆猜，会验证”的研讨式学习方法;

三、情感态度和价值观

1.通过研究探讨解决问题的方法，培养学生会作交流意识与探究精神；

2.通过引导学生主动探索法则的形成和应用过程，培养学生主动获取新知的能力；

教学重点

整式的乘法法则的导出；

教学难点

多种运算法则的综合运用；

教学方法

引导发现法、启发猜想、讲练结合法

课前准备

教师准备

课件、多媒体；

学生准备

练习本；

课时安排

3课时

教学过程

一、导入

京京用两张同样大小的纸，精心制作了两幅画.如下图所示，第一幅画的画面大小与

纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的上、下方各留有的空白.

I.ZA111

(1)第一幅画的画面面积是多少平方米？第二幅呢？你是怎样做的？

第一幅画的画面面积是平方米

第二幅画的画面面积是(1.2x)(』x)平方米

4

(2)若把图中的1.2x改为附其他不变，则两幅画的面积又该怎样表示呢？

第一幅画的画面面积是平方米

3

第二幅画的画面面积是(〃吠)(一X)平方米

4

二、新课

想一想：

问题1：对于以上求面积时，所遇到的是什么运算？

因为因式是单项式，所以它们相乘是单项式乘以单项式运算.

问题2：什么是单项式？

表示数与字母的积的代数式叫做单项式.

对于上面的问题的结果：

第--幅画的画面面积是米2,

第二幅画的画面面积是(〃a)《3X)米2.

4

这两个结果可以表达得更简单些吗？说说你的理由？

x-(mx)=x-x-m=x2m

3、33

=-m-x-x=—mx2

444

根据乘法的交换律、结合律，塞的运算性质.

如何进行单项式乘单项式的运算？

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的基分别相乘，其余字母连同它的指数

不变，作为积的因式.

三、例题

例1、计算：

⑴2-京⑵-2谡.…；⑶7盯%.(物)2.

112

解：(1)2xy2•—xy=(2x—)•Cx-x)•(y2y)=—x2y3；

(2)-2a2b3•(・3a)=[(・2)•(・3)](a)•庐=6。3b3；

2222

(3)7xyz^(2xyz)=lxyzdfyz2=28?/?.

问题1：ab-(abc+2x)和c2•伽+〃-p)等于什么？你是怎样计算的？

ah-(ahc-^2x)=ah-abc+ah-2x=a2h2c+2ahx

c2\in+n-p)=c2-m+c2'n-c1-p=mc1^nc2-p(r

引导学生发现两种不同的运算一方面是包含单项式与单项式乘法、再把所得的积相加,

另一方面是单项式与多项式相乘，二者最终是统一的，从而发现单项式乘以多项式的方法。

单项式与多项式相乘时，分两个阶段:

①按分配律把单项式与多项式的乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；

②单项式的乘法运算.

单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项

式的每一项，再把所得的积相加.

例2：计算:

2_]

(1)2ab(5ab2+3a2h)；(2)(—cih~—2tzZ?),—ah；

32

(3)5(In+im-n2)；(4)2(x+Zz+x/z3)•xyz.

解：(1)lab(5〃序+3。2b)=2ab-5ab2+2ab-3a2b=1Ocrb3+6d3b

2i?111

(2)(—ab2-2ab)•—ab=—ab2-—ab+(-2ab)--ab=—a2b3-a2b2

323223

(3)5m2n(2n+3m-)r)=5ni2fv2n+5m2n-3m+5m2n-(-n2)=1Om2n2+15m3n-5m2n3；

(4)2(x+y^z+x^zi)•xyz-(2x+2y2z+2xy2z^)'xyz=2x-xyz+2y2z-xyz^2xy2zi-xyz

解题时需要注意的问题：

①单项式乘多项式的积仍是多项式，其项数与原多项式的项数相同。

②单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号的确定，多项式中的每一

项前面

的符号是性质符号，同号相乘得正，异号相乘得负，最后写成省略加号的代数和的形式。

③单项式要乘以多项式的每一项，不要出现漏乘现象。

④混合运算中，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项.

图1-1是一个长和宽分别为杨，〃的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加«,b,所

得长方形(图1-2)的面积可以怎样表示？

小明的想法:长方形的面积可以有4种表示方式：

(m+a)(n+b),n(m+a)+b(m+a),m(n+b)+a(n+b)mn+mb+na+ba,从而，(m+a)(n+b)

=n(m+〃)+b(m+a)=m(〃+b)+q(〃+〃)=tnn^-mb^na+ba.

你认为小明的想法对吗？从中你受到了什么启发？

把(加+“)或(n+b)看成一个整体，利用乘法分配律，可以得到(m+a)(n+b)=

(m+a)n+(m+a)b=mn+an+mb+ab,或(m+a)(n+b)=m(n+b)+a(n+b)=mn+mb+an+ab.

如何进行多项式与多项式相乘的运算？

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的

积相加.

例3计算：

(1)(1-x)(0.6-x)；

(2)(2x+y)(x-y).

解：

(1)(1-x)(0.6-x)=1x0.6-lx%-xX0.6+xxx=0.6-1.6x+x2；

(2)(2x+y)(x-y)=2x-x-2x-y+y-x-y-y=2^-2xy+xy-^l^-xy-y1.

四、习题

1.计算：

(1)(m+2n)(/«-2n)；(2)(2n+5)(n-3)；

(3)(x+2y)2；(4)(ax+b)(cx+d).

解：

(1)(m+2n)(m-2n)=m,m-m,2n+2n,m-2n,2n=m2-2mn+2mn-4tr=m1-4n2；

(2)(2n+5)(n-3)=2n,n-2n•3+5,n-5X3=2n2-6n+5n-15=2tr-n-15；

(3)(x+2y)2=(x+2y)(x+2y)=f+x•2y+x•2y+2y•2y=r+^xy+4y2；

(4)(ax+b)(cx+d)-ax,cx+ax•d+b•cx+b,d-acx1+adx+bcx+bd.

五、拓展

多项式与多项式相乘，可分几个步骤进行？

1、先用一个多项式的第一项遍成另一个多项式的各项，再用这个多项式的第二项遍乘

另一个多项式的各项，依次类推，并把所得的积相加；

2、合并同类项.

六、小结

通过本节课的内容，你有哪些收获？

I.单项式与单项式相乘的运算：

2.单项式与多项式相乘的运算：

3•多项式与多项式相乘的运算：

《平方差公式》教案

教学目标

一、知识与技能

1.经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；

2.会运用平方差公式进行简单的计算；

二、过程与方法

1.培养学生观察、猜想、总结的能力；

2.培养学生的动手能力和实践能力；

三、情感态度和价值观

1.通过学生的观察、对比、发现规律，体验教学活动充满探索性和创造性;

2.通过分组讨论学习，体会合作学习的兴趣；

教学重点

平方差公式的应用；

教学难点

会灵活用平方差公式进行运算；

教学方法

引导发现法、启发猜想、讲练结合法

课前准备

教师准备

课件、多媒体；

学生准备

练习本；

课时安排

2课时

教学过程

一、导入

王敏同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王敏

就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员很惊讶地说：“你好象是

个神童，怎么算得这么快？”

王敏同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式。”

你知道王敏同学用的是一个什么样的公式吗？

二、新课

计算下列各题：

(1)(x+2)(x-2)；(2)(l+3a)(l-3a)；

(3)(x+5y)(x-5y)；(4)(2y+z)(2y-z).

思考：

1、观察算式结构，你发现了什么规律？

2、计算结果后，你又发现了什么规律？

平方差公式

(a+b)(a-b')=a2-b2

两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.

请注意：

公式中的“，6既可代表单项式，还可代表具体的数或多项式.

在此基础上，让学生用语言叙述公式，总结公式结构特征：

(1)公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相

等、第二项符号相反［互为相反数(式)］；

(2)公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方减去

第二项的平方；

(3)公式中的。和b可以代表数，也可以是代数式.

三、例题

直接运用新知，解决第一层次问题.

例1利用平方差公式计算：

(1)(5+6x)(5-6x)；(2)(x-2y)(x+2y);

(3)(-m+ri)(-m-n)

解：(1)(5+6x)(5-6x)=52-(6x)2=25-36f；

(2)(x-2y)(x+2y)-(2y)2=x2-4p

(3)(-m+n)(-m-n)=(-m)2-n2=m2-n2.

例2利用平方差公式计算：

1、/1、

⑴(z一:x-y)(一:x+y)；

44

(2)(ah+8)(ah-S).

解：

(1)(一：x-y)(-：x+y)=(-1x)2-y2;2一—丁

(2)(ab+8)(。匕-8)=(ab)2-64=a方-64.

如图,边长为。的大正方形中有一个边长为b的小正方形.

h•

(1)请表示图中的阴影部分的面积.

CL-1)

(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？你

能表示出它的面积吗？

长=a+8;宽=a-6;面积=(a+b)(a-b)

(3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？

答：由于(1)(2)表示的面积相同，所以可以验证平方差公式.

(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点.

7X9=6311X13=14379X81=639

8X8=6412X12=14480X80=640

(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？

(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？

5-l)(a+1)=a-1平方差公式

例3用平方差公式进行计算：

(1)103x97;(2)118x122

(1)103X97=(100+3)(100-3)=1002-32=9991

-22

(2)118x122=(120-2)(120+2)=120-2=14396

例4计算：

(1)a[a+h){a-b)+ab

⑵(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)

解：(1)a(a+b)(a-b)+a'b'=a\a-b')+a'b~=a'-a'b~+a~b~=a'

(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)=4x~-5-(4x~-6x)=4x"-25-4x~+6x=6x-25

四、习题

1、计算

(1)704x696

(2)(x+2)，)(x-2y)+(x+l)(x-l)

(3)x(x-l)-(x--)(x+-1)

33

解：

(1)704x696=(700+4)(700-4)=490000-16=489984

(2)(x+2y)(x-2y)+(x+l)(x-l)=xAy+x-\=2x-Ay-\

(3)x(x-1)-(x--)(x+—)=x-x-(%--—)="x+—

3399

五、拓展

公式：(.a+b)(a-b)=a-b~

两种作用(1)简化某些多项式的乘法运算

(2)提供有理数乘法的速算方法

三个表示公式中的a,h可表示

(1)单项式

(2)具体数

(3)多项式

六、小结

通过本节课的内容，你有哪些收获？

1.试用语言表述平方差公式(a+b)(a~b)-a2-b~

两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.

2.应用平方差公式时要注意一些什么？

运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，

找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式;

《完全平方公式》教案

教学目标

一、知识与技能

1.完全平方公式的推导及其应用；

2.完全平方公式的几何证明：

二、过程与方法

1.经历探索完全平方公式的过程；

2.进一步发展符号感和推理能力；

三、情感态度和价值观

1.对学生观察能力、概括能力、语言表述能力的培养，以及数学思想的渗透;

2.通过分组讨论学习，体会合作学习的兴趣；

教学重点

完全平方公式的推导过程；

教学难点

完全平方公式结构特点及其应用；

教学方法

引导发现法、启发猜想、讲练结合法

课前准备

教师准备

课件、多媒体；

学生准备

练习本；

课时安排

1课时

教学过程

一、导入

多项式与多项式是如何相乘的？

(a+b)(m+n)=am+an+hni^hn

(x+3)(x+3)+3x+3x+9=，+6x+9

二、新课

观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？

(m+3)2=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9

=/n2+2X3m+9=m2+6w+9,

(2+3X)2=(2+3%)(2+3X)=22+2X3X+2X3X+9X1

=4+2X2X3x+9/=4+12x+9x2.

完全平方公式的数学表达式：

和的完全平方公式：3+6)2=。2+2。。+/

差的完全平方公式：(a—份2=储一2皿+。2

两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。

公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减。

想一想：(1)两个公式中的字母都能表示什么？数或代数式

(2)根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗？

完全平方公式在计算化简中有些什么作用？

三、例题

例I利用完全平方公式计算：

(1)(2x-3)2；(2)(4x+5y)2；(3)(mn-a)2.

解：(1)(2/3)2=(2X)2-2•2x•3+32=4/-12x+9；

(2)(4x+5y)2=(4X)2+2•4x•5y+(5y)2=16^+40^+25^；

(3)(mn-a)2=(mn)2-2•mn•a+a1=m2n2-2amn+a1.

怎样计算1022,1972更简单呢？

(1)1022；(2)1972.

(1)1022=(100+2)2(2)1972=(200-3)2

=1002+2X100x2+22=20()2-2x200x3+32

=10000+400+4=40000-1200+9

=10404；=38809.

能够运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算,进一步体会完全平方公式在实际当

中的应用，并通过练习加以巩固。需要注意的是，本题的目的是进一步巩固完全平方公式,

体会符号运算对解决问题的作用，不要在简便运算上做过多练习。

例2计算：

(1)(X+3)2-X2；

(2)(“+6+3)(a+6-3)；

⑶(x+5产(x-2)(x-3).

解：⑴(X+3)2-》2

=x2+6x+9-x2

=6x+9；

(2)(a+b+3)(a+b-3)

=[(a+6)+3][(“+b)-3]

=(a+h)2-32

=a2+2ab+b2-

(3)(x+5)2-(x-2)(x-3)

-x2+10X+25-(X2-5X+6)

=x2+10X+25-X2+5X-6

=15x+19.

四、习题

1、计算

(1)962；(2)(a-b-3)(a-b+3).

解：

(1)962=(100-4)2=1002-2X100x4+42=9216；

(2)(a-h-3)(a-b+3)=[(a-h)-3][(a-%)+3]=(a-h)2-32=a2-2ah+h2-9.

五、拓展

1.完全平方公式的使用：

在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识小〃表示的意义，它们可以是数、也可

以是单项式还可以是多项式，所以要记得添括号.

2.解题技巧：

在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择.

六、小结

完全平方公式的数学表达式：

和的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

差的完全平方公式：(a-b)2=a2-2ab+b2

两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。

《整式的除法》教案

教学目标

一、知识与技能

1.理解整式除法运算的算理，会进行简单的整式除法运算；

2.学生已经经历了一些探索、发现的数学活动，积累了初步的数学活动经验，具备了

一定的探究能力；

二、过程与方法

1.经历探索整式除法运算法则的过程；

2.发展有条理的思考及表达能力；

三、情感态度和价值观

1.体会数学在生活中的广泛应用；

2.通过分组讨论学习，体会合作学习的兴趣；

教学重点

理解整式除法运算的过程；

教学难点

整式乘除混合运算；

教学方法

引导发现法、启发猜想、讲练结合法

课前准备

教师准备

课件、多媒体

学生准备

练习本

课时安排

1课时

教学过程

一、导入

计算下列各题，并说说你的理由：

(1)(xy)"；

(2)(8w-nJ)4-(Imri);

(3)(ab~c)-^(3>a~b).

可以用类似于分数约分的方法来计算。

把除法式子写成分数形式，把幕写成乘积形式，约分.

二、新课

(2)(8.，「)-T-(2〃/〃)=(84-2)-m

(3)(ah'c)+(3a%)=(1+3.

仔细观察一下，并分析与思考下列几点：

单项式除以单项式，其结果(商式)仍是一个单项式；

商式的系数=(被除式的系数)+(除式的系数)

(同底数幕)商的指数=(被除式的指数)一(除式的指数)

被除式里单独有的累，写在商里面作？

如何进行单项式除以单项式的运算？

单项式相除，把系数、同底数塞分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的

字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.

三、例题

例1计算：

(1)--x2y3-i-3x2y；

(2)10a43c24-5a3bc；

(3)(2/y)3(7孙2)+1413.

(4)(2a+b)4+(2a+b)2.

解：(])一'|fy3+3%2y=(_]+3)*2-2,3-1=―1y2；

(2)10“463c2.5苏历=(io^5)(24-3^3-'c2-,=2a/?2c；

⑶(2x2y)3.L+14x4y3=8”y3.(_7xy2)x4x4y3

二-56/炉：14”)户二-4必消

(4)(2Q+6)4+(24+〃)2=(24+人)4-2

=(2a+b)2=4a2+4ab+b2.

计算下列各题，说说你的理由.

(1)(ad+bd)+d=；

(2)(a2h+3ah)+〃=；

(3)(xy3-2xy)-r-xy=.

如何进行多项式除以单项式的运算？

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商

相加.

例2计算:

(1)(6"+8b)+2b；

(2)(27。n15。心+6〃)+3〃；

(3)(9x2y-6xy2)4-3xy；

(4)(3x2y-xy2+-xy)^-(--xy)

解：(1)(6a/?+8)4-2Z>=6ab-^2b+Sb^-2b=3a+4；

222

(2)(27cP-15a+6a)4-3a=27苏：3a-15^4-3a+6a=9a-5a+2；

(3)(9x2y-6xf)^3xy=9x2y-^3xy-6xy2^3xy=3x-2y；

(4)

2211

(3xy-孙+-^)4-(--xy)

221,2111

=-3xy-^—xy+xy-i--xy--xy-i--xy

=-6x+2y-l

四、习题

1、计算

⑴(3孙+y)+y；

(2)(ma+mb+me)4-/M；

(3)(6c21-c3/)+(.2c2d)；

(4)(4乃+3孙2户7种

解：(1)(3xy+y)+y=3Jty+y+y+y=3x+1；

(2)(ma+mb+me)+〃?=ma-rm+mb+m+mc+，n=a+b+c；

(3)(6c2^-c3J3)4-(-2c26/)=(6c2J)4-<J34-(-2c2J)=-3+Led1；

2

(4)(4%2y+3孙2)+7盯=4%2y+7肛+3盯2+7孙=gx+_|y

五、拓展

月球距离地球大约3.84X105千米，一架飞机的速度约为8X102千米/时.如果乘坐

此飞机飞行这么远的距离，大约需要多少时间？

解：3.84X105+(8X102)=048x1()3=480(小时)=20(天).

答：如果乘坐此飞机飞行这么远的距离，大约需要20天时间.

六、小结

通过本节课的内容，你有哪些收获？

在计算题时，要注意运算顺序和符号.

同底数幕相除是单项式除法的特例；

单项式除以单项式的法则的探求过程中我们使用了观察、归纳的方法，这是数

学发现规律的一种常用方法.

《两条直线的位置关系》教案

教学目标

一、知识与技能

1.在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义；

2.会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线；

二、过程与方法

1.经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观念、推

理能力和有条理表达的能力；

2.善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识；

三、情感态度和价值观

1.激发学生学习数学的兴趣，认识到现实生活中蕴含着大量的数量和图形的有关问题;

2.在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、

严谨性；

教学重点

对顶角、余角、补角、垂直的定义及其性质；

教学难点

性质的应用；

教学方法

引导发现法、启发猜想、讲练结合法

课前准备

教师准备

课件、多媒体；

学生准备

练习本；

课时安排

1课时

教学过程

一、导入

观察下面几幅生活中的图片:

和d是.

问题2：针对这三幅图，你还能提出哪些问题？

数学来源于生活，通过引导学生从身边熟悉的图形出发，体会数学与生活的联系，总结

出同一平面内两条直线的基本位置关系，体会本章内容的重要性和在生活中的广泛应用，为

引入新课做好准备.

二、新课

在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.

若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

如图2-1,直线AB与C。相交于点。，那么N1与N2的位置有什么关系？它们的大

小有什么关系？为什么？与同伴交流.

直线AB与CD相交于点O,N1与N2有公共顶点0,它们的两边互为反向延长线，这

样的两个角叫做对顶角.

对顶角有如下性质：对顶角相等.

设置问题的目的是通过创设生动有趣的活动情景，为学生提供了观察、操作、推理、交

流等丰富的活动素材，使学生在自主学习的过程中，学会对顶角的概念及其性质.同时进一

步培养学生抽象几何图形进行建模的能力.

在图2-1中，N1与N3有什么数量关系？

如果两个角的和是180。，那么称这两个角互为补角.

如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角.

注意：互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。

如图2-2,打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此

Z1=Z2.

将图2-2简化为图2-3,ON与DC相交所成的ZOON和/CON都等于90。，且/

1=Z2.在图2-3中:

（1）有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？

（2）/3与N4有什么关系？为什么？

（3）/AOC与有什么关系？为什么？

同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.

概括归纳得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法.通过生动有趣的活动情景,

为学生提供了观察、操作、推理、交流等丰富的数学活动，使学生在自主学习的过程中，掌

握“同角或者等角的补角相等“同角或者等角的余角相等并能够用自己的语言说出简

单推理.同时发散学生思维，让学生尽可能用多种方法来说明自己猜测的正确性，培养学生

合情说理的能力.

观察下面图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么特殊的位置关系？

两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的

一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

通常用符号表示两条直线互相垂直.如图2-4,直线AB与直线CD垂直，记作

ABLCD-,如图2-5,直线/与直线机垂直，记作其中，点。是垂足.

在比较中发现发现新知，加深了学生对垂直和平行的感性认识，感受垂直“无处不在”;

使学生充分体验到现实世界的美来源于数学的美，在美的享受中进入新知识的殿堂.

做一做

1.你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？

2.如果只有直尺，你能在图2-6方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？

3.你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗，试试看!

□□□

本环节的设置，将问题更加形象生动的呈现在学生面前，让学生在经历思考、实践、猜

想，动手验证等过程，不仅加深对“垂直”的理解，而且感受到“做数学”的乐趣，从而享

受到成功的喜悦，形成探索新知的内驱力！而学生在相互交流探讨中，可以相互点拨，顺其

自然的掌握新知识.

想一想

1.如图2-7,点A在直线/上，过点A画直线/的垂线，你能画出多少条？如果

点4在直线/外呢？

图27

平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

2.如图2-8,点P是直线/外一点，PO_L/,点。是垂足.点4,B,C在直线/上,

比较线段PO,PA,PB,PC的长短，你发现了什么？

图2-8

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.

如图2-9,过点A作/的垂线，垂足为B,线段A8的长度叫做点A到直线/的距

离.

图2-9

通过动手画图，可以加深学生对知识的理解，能更好的关注知识的形成过程，这也是促

使学生认真审题的重要策略.比较线段的大小，是学生能轻松解决的问题，他们在动手操作

中，很容易得出结论，轻而易举地掌握这一重要性质.

你知道体育课上老师是怎样测量跳远成绩的？你能说说其中的道理吗？

问题一取材于学生最熟悉的情境，既可以激发学生学习数学的热情，同时又鼓励学生用

数学知识来分析解决实际问题.

三、习题

1.画一条直线/,在直线/上取一点A,在直线/外取一点B,分别经过点A,B用

三角尺或量角器画直线/