河南省郑州市实验中学2025届高二数学第一学期期末综合测试试题含解析

河南省郑州市实验中学2025届高二数学第一学期期末综合测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知为虚数单位，复数是纯虚数，则（）A B.4C.3 D.22．（）A.-2 B.-1C.1 D.23．等差数列中，是的前项和，，则（）A.40 B.45C.50 D.554．已知命题:，命题:则是的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要5．已知椭圆(a>b>0)的离心率为，则＝（）A. B.C. D.6．饕餮（tāotiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为，有一点从点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（）A. B.C. D.7．如图，正四棱柱是由四个棱长为1的小正方体组成的，是它的一条侧棱，是它的上底面上其余的八个点，则集合的元素个数（）A.1 B.2C.4 D.88．双曲线的焦点坐标是（）A. B.C. D.9．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（）A.， B.C.， D.10．为了调查修水县2019年高考数学成绩，在高考后对我县6000名考生进行了抽样调查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽到了120名考生的数学成绩作为一个样本，这项调查宜采用的抽样方法是（）A.系统抽样法 B.分层抽样法C.抽签法 D.简单的随机抽样法11．已知双曲线的离心率为，左焦点为F，实轴右端点为A，虚轴上端点为B，则为（）A.直角三角形 B.钝角三角形C.等腰三角形 D.锐角三角形12．某海关缉私艇在执行巡逻任务时，发现其所在位置正西方向20nmile处有一走私船只，正以30nmile/h的速度向北偏东30°的方向逃窜，若缉私艇突然发生机械故障，20min后才以的速度开始追赶，则在走私船只不改变航向和速度的情况下，缉私艇追上走私船只的最短时间为（）A.1h B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在直棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.14．如图，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC＝4，CD＝3，CC'＝2，直线CC'与平面PQC'所成的角为30°，则△PQC'的面积的最小值是__15．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为直线l与该双曲线交于M，N两点（点M位于第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，则为___________.16．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，以为圆心的圆经过原点，且与抛物线的准线相切，切点为，线段交抛物线于点，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面ABCD，（1）求证：平面ACM；（2）求平面MBC与平面DBC的夹角的大小18．（12分）已知圆M经过原点和点，且它的圆心M在直线上.（1）求圆M的方程；（2）若点D为圆M上的动点，定点，求线段CD的中点P的轨迹方程.19．（12分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行了党史知识竞赛，在必答题环节，甲、乙两位选手分别从3道选择题（1）甲至少抽到1道填空题（2）甲答对的题数比乙多的概率.20．（12分）已知点在抛物线（）上，过点A且斜率为1直线与抛物线的另一个交点为B（1）求p的值和抛物线的焦点坐标；（2）求弦长21．（12分）如图，多面体中，平面平面，，四边形为平行四边形.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值.22．（10分）已知，（1）当时，求函数的单调递减区间；（2）当时，，求实数a的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】化简复数得，由其为纯虚数求参数a，进而求的模即可.【详解】由为纯虚数，∴，解得：，则，故选：C2、A【解析】利用微积分基本定理计算得到答案.【详解】.故选：.【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力.3、B【解析】应用等差数列的性质“若，则”即可求解【详解】故选：B4、B【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：若，则或，即或，所以是的必要不充分条件故选：B5、D【解析】由离心率得，再由转化为【详解】因为，所以8a2＝9b2，所以故选：D.6、B【解析】本题首先可根据题意列出次跳动的所有基本事件，然后找出沿着饕餮纹的路线到达点的事件，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.【详解】点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，次跳动的所有基本事件有：（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下，右，下）、（下，下，右）、（下，下，下），沿着饕餮纹的路线到达点的事件有：（下，下，右），故到达点的概率，故选：B.7、A【解析】用空间直角坐标系看正四棱柱，根据向量数量积进行计算即可.【详解】建立空间直角坐标系，为原点，正四棱柱的三个边的方向分别为轴、轴和看轴，如右图示，，设，则AB所以集合，元素个数为1.故选：A.8、B【解析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得，所以，且双曲线的焦点再轴上，所以双曲线的焦点坐标为.故选：B.9、D【解析】由等差数列通项公式得，再结合题意得数列单调递增，且满足，，即，再解不等式即可得答案.【详解】解：根据题意：数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，由于数列满足，所以对任意的都成立，故数列单调递增，且满足，，所以，解得故选：10、B【解析】考生分为几个不同的类型或层次，由此可以确定抽样方法；【详解】6000名考生进行抽样调查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽到了120名考生的数学成绩作为一个样本又文科考生、理科考生、艺术和体育类考生会存在差异，采用分层抽样法较好故选：B.【点睛】本题主要考查的是分层抽样，掌握分层抽样的有关知识是解题的关键，属于基础题.11、A【解析】根据三边的关系即可求出【详解】因，所以，而，，，所以，即，所以为直角三角形故选：A12、A【解析】设小时后，相遇地点为，在三角形中根据题目条件得出，再在三角形中，由勾股定理即可求出.【详解】以缉私艇为原点，建立如下图所示的直角坐标系.图中走私船所在位置为，设缉私艇追上走私船的最短时间为，相遇地点为.则，走私船以的速度向北偏东30°的方向逃窜，60°.因为20min后缉私艇才以的速度开始追赶走私船，所以20min走私船行走了，到达.在三角形中，由余弦定理知：，则，所以.在三角形中，，，有：，化简得：，则.缉私艇追上走私船只的最短时间为1h.故选：A.点睛】二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】建立空间直角坐标系后求相关的向量后再用夹角公式运算即可.【详解】如图，以C为坐标原点，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，所以，所以，故异面直线与所成角的余弦值为，故答案为:.14、8【解析】设三棱锥C﹣C′PQ的高为h，CQ＝x，CP＝y，由体积法求得的关系，由直线CC’与平面C’PQ成的角为30°，得到xy≥8，再由VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，能求出△PQC'的面积的最小值【详解】解：设三棱锥C﹣C′PQ的高为h，CQ＝x，CP＝y，由长方体性质知两两垂直，所以，，，，，所以，由得，所以，∵直线CC’与平面C’PQ成的角为30°，∴h＝2，∴，，∴xy≥8，再由体积可知：VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，得，S△C′PQ＝xy，∴△PQC'的面积的最小值是8故答案为：815、##【解析】设，，，利用双曲线的定义可得，作出图形，结合图形分析，可知与直线的倾斜角相等，利用直角三角形中的边角关系，即求.【详解】设的内切圆为圆，与三边的切点分别为，如图所示，设，，，设的内切圆为圆，由双曲线的定义可得，得，由此可知，在中，轴于点，同理可得轴于点，所以轴，过圆心作的垂线，垂足为，因为，所以，∴，即∴，即故答案为：.【点睛】关键点点睛，得到是关键，说明轴，同时直线的倾斜角与大小相等，计算即得.16、【解析】分析可知为等腰三角形，可得出，将点的坐标代入抛物线的方程，可求得的值，可得出抛物线的方程以及点的坐标，求出点的坐标，设点，其中，分析可知，利用平面向量共线的坐标表示求出的值，进而可求得结果.【详解】由抛物线的定义结合已知条件可知，则为等腰三角形，易知抛物线的焦点为，故，即点，因为点在抛物线上，则，解得，所以，抛物线的方程为，故点、，因为以点为圆心，为半径的圆与直线相切于点，则，设点，其中，，，由题意可知，则，整理可得，解得，因此，.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）30°【解析】（1）连接BD，借助三角形中位线可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法直接可求.【小问1详解】连接BD，与AC交于点O，在中，因为O，M分别为BD，PD的中点，则，又平面ACM，平面ACM，所以平面ACM.【小问2详解】设E是AB的中点，连接PE，因为为正三角形，则，又因为平面底面ABCD，平面平面，则平面ABCD，过点E作EF平行于CB，与CD交于点F，以E为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，所以，，设平面CBM的法向量为，则，令，则，因为平面ABCD，则平面ABCD的一个法向量为，所以，所以平面MBC与平面DBC所成角大小为30°18、（1）.（2）.【解析】（1）设圆M的方程为，由已知条件建立方程组，求解即可；（2）设，，依题意得.代入圆M的方程可得点P的轨迹方程.【小问1详解】解：设圆M的方程为，则圆心依题意得，解得.所以圆M的方程为.【小问2详解】解：设，，依题意得，得.点为圆M上的动点，得，化简得P的轨迹方程为.19、（1）；（2）.【解析】（1）把3道选择题（2）设，分别表示甲答对1道题，2道题的事件，，分别表示乙答对0道题，1道题的事件，分别求出它们的概率，甲答对的题数比乙多这个事件是，然后由相互独立的事件和互斥事件的概率公式计算【详解】解：（1）记3道选择题则试验的样本空间，.共有10个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型.记事件A=“甲至少抽到1道填空题，.所以，，.所以，.因此，甲至少抽到1道填空题（2）设，分别表示甲答对1道题，2道题的事件，分别表示乙答对0道题，1道题的事件，根据独立性假定，得，.，.记事件B=“甲答对的题数比乙多”，则，且，，两两互斥，与，与，与分别相互独立，所以..因此，甲答对的题数比乙多的概率为.20、（1），焦点坐标（2）【解析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，可求得的值，进而可得抛物线的焦点坐标；（2）写出直线的方程，联立直线与抛物线方程求得交点坐标，利用两点之间的距离公式即可求解.【小问1详解】因为点在抛物线上，所以，即所以抛物线的方程为，焦点坐标为；【小问2详解】由已知得直线方程为，即由得，解得或所以，则21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）先通过平面平面得到，再结合，可得平面，进而可得结论；（2）取的中点，的中点，连接，，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，求这两个法向量的夹角即可得结果.【详解】解：（1）因为平面平面，交线为，又，所以平面，，又，，则平面，平面，所以，；（2）取的中点，的中点，连接，，则平面，平面；以点坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，已知，则，，，，，，则，，设平面的一个法向量，由得令，则，，即；平面