初升高数学衔接教材(1-2卷)

初升高数学衔接教材

第1课集合的概念

一、集合与元数

1、集合的概念

⑴集合：某些指定对象集在一起就形成一个集合(简称集)

⑵元素：集合中每一个对象叫做这个集合的元素；

(3)集合通常用大写的拉丁字母表示，如A,B,C,P,Q……

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a,b,c,p,q……

2、集合中的元素有四个特性：、、、

3、集合与元素的关系

属于：如果a是A的元素，就说a集合A,记作；

不属于：如果a是A的元素，就说a集合A,记作；

4、集合的表示法：

①列举法：把集合的元素,并用表示集合的方法。

②描述法：用集合所含元素的表示集合的方法，具体表示是:，

③venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合。

5、几个常用数集及其记号

名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号

6、区间的概念

设a,b是两个实数，而且a<b,我们规定:

(1)满足不等式aWxWZ?的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,句；

(2)满足不等式(人的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,8)；

(3)满足不等式aWx<。或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为

[a,h),(a,b]

(4)满足x2a的所有实数表示为[a,+8),满足x>a的所有实数表示为(a,+oo)

满足xWa的所有实数表示为(-8,可，满足x<a的所有实数表示为(—8,a)

(5)全体实数表示为(-0,+8),“8”读作“无穷大”，一00读作“负无穷大”，+8读

作“正无穷大”。

7、集合的分类

(1)有限集：含有有限个元素的集合;

(2)无限集：含有无限个元素的集合;

1

（3）空集：不含任何元素的集合，记作。，如：｛xe/?|x2+l-O）

1.1.1如何用数学语言刻划一个集合

【例1】在一堂课中，老师分别请下列学生举起右手：

（1）高个子的学生；（2）中国人；（3）小学生；（4）来自杨家坪中学的学生。

【例2】下列对象中一定能构成集合的是（）

（1）2018年央视春节晚会上的所有好看的节目；

⑵我国1991--2015年发射的所有人造卫星；

⑶2015年夏季世界大学生运动会中的高个子女运动员；

（4）高一⑵班学生的姓名；

⑸一群向南飞的大雁；

⑹函数丁=r+1图象上的点；

⑺最接近万的有理数；

⑻满足方程V+1=0的实数解；

（9）（9）110的所有的偶数。故选⑵,（5）,⑹，⑻,（9）

变式：

1.下列对象不能构成一个集合的是（）

A,联合国常任理事国，B,方程—-9=0在实数范围内的解；

C,g近似值的全体，D,中国的直辖市。

2.若集合用=｛。也耳中的元素是416。的三边长，则AA6c一定不是（）

A,锐角三角形B,直角三角形C,钝角三角形D,等腰三角形

3.下列对象不能构成一个集合的是

⑴初中数学中的所有难题；（2）我们班级14岁以下的学生；

⑶铁路中学的大个子；（4）育才中学身高超过1.70米的学生；

（5）04,2,3,1,5

1.1.2数的发展

【例1】下列说法正确的是（）

（1）0既是正数也是负数；（2）0是自然数，也是最小的自然数；

（3）-1是负数，整数，也是奇数；（4）2是最小的质数，也是质数中唯一一个偶数；

（4）百是无理数，内也是无理数；（6）3.14是无理数，因为万=3.14。

变式：

1.下列说法正确的是（）

⑴正整数的平方还是正整数；（2）自然数的相反数是负整数；

⑶若n表示整数，则2n-l和2n+l是奇数；⑷当x是任意实数时，凶和V都是正数;

⑸有理数的相反数是无理数。

2

2.观察下列各算式，用你所发现的规律得出22°"的末位数字是()

2'=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,29=512……,

A,2B,4C,6D,8

1.1.3集合的表示方法

例1用列举法表示下列集合

(1)A={xex?-3x+2=0}⑵8={xwZ|J-3x-4<O}

(2)C=(4)D={(x,y)|x+y=5,xeN*,yeN}

例2.用描述法表示下列集合

⑴不等式Y+x—6<0的解集;(2)函数y=x2+x的图象上所有点的集合；

⑶方程J?+(m+2)x+m+l=0(meZ)的解集。

例3.己知集合A={xeR|ar2-3x+2=0,aeR}

⑴若A是空集，求a的取值范围；

⑵若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来;

⑶若A中至多只有一个元素，求a的取值范围。

1.1.4元素与集合的关系

【例1】下列表示中正确的是()

22

(1)OeN,(2)—^Q,⑶0=。，⑷{0}=。,⑸。e{0},⑹ae{A6,C。}，⑺。e{。},

变式：

L用符号e或史填空

(1)集合A={1,2,3,4,5},6={6,7,8},则5_A,5___B,6A,6B：

(2)6N*,IQ,1Z,0N,nQ,(-2)°N*,2G___Q,

2>/3R

(3)已知集合A是由满足y=d+l且xeN的实数y组成，集合B是由抛物y=Y+2x+2

7

上的点组成，则一____A,10—A,点(1,2)_____A,2____B,点(0,0)____B,点(-1,1)______B：

2-

【例2】设集合A={2,4,6},若aeA,且6—aeA,那么实数a的值是。

变式：1.设集合加={》6/7|8—xeN},则M中元素的个数是()

3

A,10B,9C,80,7

2.设集合A满足：若a",则一LeA,若2GA,则集合A=___________________

{-a

【课后练习】

1.已知集合4={尤I—§—eN（xwZ）},试求集合A。

6

2.已知集合A---------GTV(XGZ)试求集合Ao

3-x

3.已知集合A={x|备wZ（xeN*）],试求集合A。

4.已知实数a4],集合M={川/+3%+。=0},求集合M中所有元素的和。

5.若集合A={xeR|加+方+1=。}中只有一个元素，则a。

6.设集合A={1,2,3},3={4,5},M={x\x=a+b,a&A,beB},则M中的元素个数

为（）

A,3B,4C,5D,6

7.若集合4={幻0?+（。一1）%+1=0},若人中至多有一个元素，求实数。的范围。

8.已知集合A={a+2,(a+l)-，片+3a+3},若leA,贝!!a=

第2课：集合与集合的包含关系

一、子集的相关概念

名称文字语言符号语言图示

子集对于两个集合A,B,

如果集合A中的元素

都是集合B中的元

素。

相等若集合A是集合B的

______,且集合B是

集合A的______,就

说A与B_______。

真子集如果但存在

元素______,且

_____，称集合A是B

的___________。

注意:

4

(1)任何一个集合是它本身的,即;

⑵空集是任何集合的，是任何非空集合的。

⑶对于集合A,B,C,如果A=B,且5=C,那么。

1.1.5集合与集合的包含关系

【例1】已知集合4={1,2,3},3={2,3},则下列选项中正确的是(D)

A,A=BB,AB=eC,A^BA

变式：

1.已知集合4={幻％<1},若BqA,则集合B可以是()

A,1x|x<2}B,{x|x>l}C,{x|x<0}D,R

2.己知集合4={。,/},8={1},若BqA,求实数a；

3.已知集合A={x[(x-2)(x-a)=0,xwH},6={2,-3},若A^iS,求实数a；

4.已知集合A={x|2<x<4},6={x[a<x<3a+1},A=B,求实数a的取值范围。

5.已知集合A={x|-2<x<9},B={x[a<x<a+l},A,求实数a的取值范围。

【例2】判断下列集合间的关系，并用适当的符号表示

(1)A={平行四边形},B={矩形}

(2)A={x|x=2〃,〃eN},B={X|X是偶数}

(3)A={x|x<O},B={x|x<l}；

(4)A={(x,y)|y=2x,xe7?},6={(x,y)|—20}

【例3】写出{a,"c}所有子集，并指出哪些是真子集。

反思：若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，个真子集，

个非空子集，个非空真子集。

【例4】⑴已知集合4={1,3,耳，8={1,。2-。+1},且8=4,求a的值。

⑵已知集合A={X|X2+X-6=0},8={X|6+1=0},若求实数a的取值。

变式：设A={x|f+4x=o},8={x|x?+2（。+l）x+a2-1=o},

5

⑴若A=8,求求a的值。

(2)若BqA,求实数a的取值范围。

3x+2<4x-l

【例5】⑴设集合2=甘卜，,Q={x|x—3<5—a},且P[Q,求实数a

2x-6<x+l

的取值范围。

(2)已知集合A={x|l(分<2},3={刈乂<1},求满足AqB的实数a的范围。

变式：⑴已知两集合A={x|x<3},8={x|x<a},若则实数a的取值范围

__________________0

⑵已知A={九|N<1},8={x|(X-Q-1)(九一Q—4)vO},AqB,求实数a的取值范围。

⑶已知A={x[—2<x<5},3={x|a+l<x<2a_l},若BqA,则实数a的取值范围

___________________O

【课后练习】

1、集合4={幻04》<3/€2}的真子集个数是。

2、已知{1,2}="=1,2,3,4},写出满足条件的集合M。

3、在下列各式中错误的个数是()

①1e{0,1,2}②{1}e{0,1,2}③{0,1,2}=0,1,2}④{0,1,2}={2,0,1}

A,1B,2C,3D,4

4、下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的子集;

④若。±A,则AW。，其中正确的是。

5、设集合A={x|lWxW2},3={x|xNa},若A=则实数a的取值范围。

6、己知集合A={x|—1<XW5},3={X|〃?一5cXW2//7+3},且A=则实数m的取

值范围。

6

7、集合A={x|x=—丁+6,xeN,yeN}的真子集个数为。

8、已知集合4={划》2一2x—3<0},8={x|x<a},若A<z3,则实数a的取值范围

______O

3r3~\}\

9、已知集合A=<y|y=%2—,2>,B=^X\X+]TT>11,若则实

数m的取值范围o

第3课：集合的基本运算

1、交集、并集、补集的概念

概念文字语言符号语言图形语言

交集由所有A,B的公共A8={x[}

元素组成的集合

并集由所有A,B的元素AB={x|}

组成的集合

补集设u为全集，集合

CA={x|}

A^U,由U中所有（/

______________的元

素组成的集合，叫做

集合A相对于全集U

中的补集

2,交集、并集、补集的运算性质

交集的运算性质并集的运算性质补集的运算性质

ABqA,ABjBABoA,ABqBC"=CuU=

AB=BAAB=BAAA=

A（5）=

AA=A（/）—A0=

A（QA）=

AB=A<=>AB=Bo

c=

(QA)(Q8)=(QA)©6)=。

说明：从“文字语言，符号语言，图形语言”三个角度理解集合的知识，特别学会借助图形

语言解题，即“数形结合”的数学思想。

1.1.6集合的交、并、补运算

7

【例1】⑴已知集合A={l,2,3},6={x[—3<x<3},则AB=()

A,{-2,-1,0,1,2,3}B,{-2,-1,0,1,2}C,{1,2,3}D,{1,2}

⑵已知集合A={x|x<2},6={x|3—2x>0},下列选项中正确的是()

A,A8=B,AB=(f>C,AB=|x<jD,AB=R

变式：

1.己知集合A={l,2,3,4},8={y|y=3x-2,xeA},则A3=()

A,{1}B,⑷C,{1,3}D,{1,4}

2.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x—y=4},则MN=()

A,x=3,y=-1B,(3,—1)C,{3,—1}D,{(3,-1)}

3.已知集合A={x|x为不超过10的质数},8={0,2,4,6,8},则AB=。

4.已知集合A={x|x>0},B={y|y<3},则AB=。

【例2】⑴设集合/={幻％2=@,汽={幻0<%<1},则MN=()

A,1x|0<x<l}B,1x|0<x<l}C,1x|0<x<l}D,

⑵集合4={0,4,a},8={l,a4},若AB={0,1,2,4,16),则a=()

A,0B,1C,2D,4

变式：

1.设集合A={x|(x+l)(x—2)<0},3={x[l<x<3},则AB=。

2.设集合4={1,2,3},8=卜|(%+1)(工一2)<0@=)},则4B=o

3.设集合P={x|x2«2},M={4},若PM=P,求实数a的取值范围；

4.设集合24={工|—2<工<9},3={》|》43或％26},求AB；

5.设集合A={x|0<x—“<3},3={x|xW0或xN3},分别求下列条件下的实数m的

取值范围。(1)A8=。；(2)AB=B.

【例3]全集[/={0,1,2,3,4}544,7,8},95M。，},则

(GA)(QB)=。

8

变式：

1.设集合A={0,,4,6,8,10},8={4,8},则=；

2.设全集。={1,2,3,4,5,6},4={1,2},5={2,3,4},则4（QB）=；

3.设全集。={1,2,3,4,5,6},。={1,3,5},0={1,2,4},则（。/）Q=；

4.设全集A={4,5,6,7,9},B={3,4,7,8,9},t/=Aa则Cu（AB）=

【例4】设全集A={1,a,b},B={。,标,,若A=3,求/»"+。

变式：

1.己知集合用={a,a+d,a+2d},N={a,aq,a/},其中aoO,且M=N,求q的值;

2.己知集合A=1〃2,K』={"/,，“+〃,0},若A=B,求实数〃?,〃的值。

【课后练习】

1.设集合A={1,2,3},3={2,3,4},则AB=；

2.己知集合4={幻—2<》<2},8={—2,0,1,2},则4B=；

3.设全集U=R4={x|x<—2或x>2},则QA=；

4.己知集合尸={2,3,4,5,6},。={3,4,5,7},若知=尸。，则M的子集个数为

5.若集合A={xeR\ax2-3x+2=0］中只有一个元素，则a=。

6.设集合4={-1,1,3},8={a+2,/+4},48={3},则实数a=。

3

7.己知集合A={x|xeZ,且上一ez}，则集合A中的元素个数为________。

2-x

8.若集合A={x|—2<x<l},B={x|x<—1或x>3},则AB=。

9.设全集为R,A={x|0<x<2},3={x|xNl},则A©B）=。

9

10.设集合4={1,2,6},8={2,4}]={划一14%45},则(4B)C=

11.设全集U=R,A={x|l〈xW3},8={x|2<x<4},C={x|aWxWa+l},

⑴分别求AB,A(CRB)；

(2)若8C=8,求实数。的取值范围。

12.已知集合A={x|幺—以+人=o},8={x|Jr2+cx+15=()},AB={3},AB-

{3,5},

⑴求实数a,仇c的值；

(2)设集合P={x|分2+法+c<7},求集合PZ。

x-2a

13.己知集合A={x[(x-2)(x—3a-l)<0},6={x<0

x-a2

⑴当a=2时，求4B；

(2)求使B^A成立的实数a的取值范围。

第四课：集合的综合问题

【学习目标】

1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

2.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集;

10

3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集;

4.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.

【知识网络】

集合中元素的痔祖

(Wg

-I集合的分类I-Q

E]--1集合的表示方汨1-1特征性质描述法I

L|维恩（Venn1函函

T元素与声｛号］

匚凝一I真子集I

「包含关系一耳氟｛

II丽

「I集合与集合I一

i-O

运算关系I——MJ

5国

【要点梳理】

要点一：集合的基本概念

1.集合的概念

一般地，我们把研究对象统称为元素，如1〜10内的所有质数，包括2,3,5,7,则

3是我们所要研究的对象，它是其中的一个元素，把一些元素组成的总体叫做集合，如上述

2,3,5,7就组成了一个集合。

2.元素与集合的关系

（1）属于：如果。是集合A的元素，就说。属于A,记作aeA。要注意上”的方向,

不能把aeA颠倒过来写.

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说。不属于集合A,记作a^A。

3.集合中元素的特征

（1）确定性：集合中的元素必须是确定的。任何一个对象都能明确判断出它是否为某个

集合的元素；

（2）互异性：集合中的任意两个元素都是不同的，也就是同一个元素在集合中不能重复

出现。

（3）无序性：集合与组成它的元素的顺序无关。如集合｛1,2,3｝与｛3,1,2｝是同一个

集合。

4.集合的分类

集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：

11

有限集：含有有限个元素的集合。

无限集：含有无限个元素的集合。

要点诠释：

把不含有任何元素的集合叫做空集，记作0,空集归入有限集。

要点二：集合间的关系

1.子集：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么

集合A叫做集合B的子集，记作A=B,对于任何集合A规定0=A。

两个集合A与B之间的关系如下：

fA=8=4uB且BuA

4=双一一

<一［AwBoADB

AUB

其中记号AtJB（或BOA）表示集合A不包含于集合B（或集合B不包含集合A）。

2.子集具有以下性质：

（1）AUA,即任何一个集合都这是它本身的子集。

（2）如果B^A,那么A=B。

（3）如果A=B=C,那么A=

（4）如果AD8,那么ADC。

3.包含的定义也可以表述成：如果由任一xGA,可以推出xEB,那么（或

83A）。

不包含的定义也可以表述成：两个集合A与B,如果集合A中存在至少一个元素不是集

合B的元素，那么A（JB（或5。A）。

4.有限集合的子集个数：

（1）n个元素的集合有2n个子集。

（2）n个元素的集合有2n—l个真子集。

（3）n个元素的集合有2。一1个非空子集。

（4）n个元素的集合有2n—2个非空真子集。

要点诠释：

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.换言之，任何集合至少有一个子

集.

要点三：集合的基本运算

1.用定义求两个集合的交集与并集时，要注意“或”“且”的意义，“或”是两个皆可

的意思，“且”是两者都有的意思，在使用时不要混淆。

2.用维恩图表示交集与并集。

已知集合A与B,用阴影部分表示ACB,AUB,如下图所示。

12

ACiBAQB=0AHB=BAC\B=AACIBH

AUBAUBAUB=AAUB=BAUB=A

3.关于交集、并集的有关性质及结论归结如下：

(1)AAA=A,AH0=0,ADB=(BnA)qA(或B)；

AUA=A,AU0=A,AUB=(BUA)oA(或B)。

(2)A@A)=0；A&A)=U。

（3）德摩根定律：（职1）（，）=%（AB）；（翔4）（，）=%（A8）。；

（4）AB=AoAq8；AB=A<=>8=4。

4.全集与补集

（1）它们是相互依存不可分离的两个概念.把我们所研究的各个集合的全部元素看成

是一个集合，则称之为全集。而补集则是在AqU时，由所有不属于A但属于U的元素组

成的集合，记作许A。数学表达式：若AqU,则U中子集A的补集为

2A={x|X6(0.您

（2）补集与全集的性质

①旗0A)=A

②A=。，a,A屋U。

③gU=0,Q,0=U。

5.空集的性质

空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A,有010,0e{0}:

A0=0；A0=A；0cA»

【典型例题】

类型一：集合的含义与表示

【例1].选择恰当的方法表示下列集合。

（1）“mathematics"中字母构成的集合;

（2）不等式炉+1：0的解集;

（3）函数y=«-4的自变量的取值范围.

13

变式：

龙+y=5

【变式1】将集合4(x,y)|〈、表示成列举法，正确的是()

I⑵-y=lj

A.{2,3}B.{(2,3)}C.{x=2,y=3}D.(2,3)

【变式2】已知集合4={(乂))I为实数，且f+y2=i},B={(x,y)x,y为

实数，且了=%},则AcB的元素个数为()

A.0B.1C.2D.3

[例2].若含有三个元素的集合可表示为„],也可以表示为付3+乩。},求

产叫产。的值。

变式：

【变式1】若一3e{a—3,2a+l,/+i}。求实数。的值。

【例3].已知集合A={x|—2x+3=0,，”e??}

(1)若A是空集，求m的取值范围。

(2)若A中只有一个元素，求加的值。

(3)若A中至多只有一个元素，求m的取值范围。

类型二：集合的基本关系

【例4】.设集合A={xI1WXW3},B={xIx-a20},或ADB,则a的取值范围是

变式：

【变式1】已知集合A={xI或x<—1},B={xI2a<x<a+l),若BqA,求a的取值范

围。

【变式2】若集合B={1,2,3,4,5},C={小于10的正奇数},且集合A满足AqB,AqC,

则集合A的个数是o

[例5].设集合A={x|X[+4x=0,xe7?},8={x|J?+2(«+l)x+«2—1=0,xe

B^A,求实数。的范围。

类型三：集合的基本运算

14

【例6].已知全集U=R,集合乂=仅|一24-1忘2}和N={x|x=2k-1,k=l,2,…}的关系的

韦恩(Venn)图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有()

A.3个B.2个C.1个D.无穷多个

变式：

【变式1]已知全集U=R,则正确表示集合轨={-1,0,1}和2{x|x2+x=()|关系的韦

A={x|3<x<7},B={x|2<x<10},

求为(48)及(\A)B.

【例7】.若集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={2,3},C={2,一4},满足AflBB0,且AH

C=0,则实数a的值是。

【例8】.设集合A={x|a-4<x<a+4},B={xIx<T或x>5},若AUB=R,则a的取值范

围是。

变式：

【变式1]已知集合A={x|-24W5},B={xIk+lWxW2k-1},若AAB=0,求实数k

的取值范围。

【例9】.设集合A={xIl<x<5},B={xIxVa或x》a+2},若AdRB=0,则a的取值范

围是。

变式:

15

【变式1】已知集合人="I-2Wx<7},dL,B={x\k+\<x<k+4],若AUB=R,求实数

k的取值范围。

第5课：充分必要条件，命题，全称量词与

存在量词

i.命题

概念使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句

特点(1)能判断真假；(2)陈述句

分类真命题、假命题

2.四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系:

(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题,原命题的否命题等价于逆全

题:在四种形式的命题中真命题的个数只能是曳必.

①.命题pAq,PVq,rp的真假判断

PqpAqpVgrp

真真真真假

真假假真假

假真假真

假假假假真

②.全称量词和存在量词

量词名称常见量词符号表示

全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等V

存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等3.

16

③.全称命题和特称命题

名称

全称命题特称命题

形式

对M中的任意一个x,有p（x）成存在M中的一个xo,使p（xo）成

结构

立立

简记p(x)三的£一，。（趣）

否定VXSM,/(力

3.充要条件

若p0q,则p是q的充分条件,q是p的必要p成立的对象的集合为A,g成立的对象的集

条件合为B

〃是a的充分不必要

paq且q0/p4是B的真子集

条件

p是q的必要不充分

p今/q且q0P5是A的真子集集合与

条件

充要条件

p是q的充要条件poq4=5

〃是。的既不充分也

p0/q且q0/pA,B互不包含

不必要条件

2.小结：小范围二>大范围；大范围。=小范围。

题型一命题的四种形式

【例1］对于下述命题P,写出"P”形式的命题，并判断"P"与'"P"的真假:

（1）P：有一个素数是偶数；（2）P：任意正整数都是质数或合数；

（3）P：三角形有且只有一个外接圆。

变式：

1、判断下列全称命题的真假：（1）所有的质数都是奇数；（2）V尤eR,x2+121；（3）对每一个

无理数x,/也是无理数。

2、下列有关命题的说法正确的是（）

A,命题“若则x=l”的否命题为：“若Y=1,贝!lx。1”

B,若pVg为真命题,则p,q均为真命题

C,若“存在xeR,使得f+x+i<0”的否定是：“对任意XGR,均有f+x+ivo”

D,命题“若x=y,则k|=3”的逆否命题为真命题

3.命题0：2x0GR,XO+1WO的否定是（）

17

2

A.3X«GR,xi—x()+1>0B.VxGR,x—x+lWO

2

C.VxGR,x-x+l>0D.3X0GR,XJ-XO+1<O

答案：C

4.已知命题p：x2+4x+32o,q：xGZ,且“pAg”与“q"同时为假命题，则x=.

解析：若p为真，则X2一1或xW—3,

因为“r/，为假，则i为真，即xGZ,

又因为“pAg”为假，

所以p为假，

故一3<x<-1,

由题意，得x=-2.

答案：一2

命题”全等三角形的面积一定都相等”的否定是.

答案：存在两个全等三角形的面积不相等

6.命题“若必=0,则a=0或6=0”,其否定为.

答案：若a方=0,则a#0且6W0

【例2】已知原命题“若X=1且>=2,则x+y=3"，分别写出：

(1)逆命题：;⑵否命题：

(3)逆否命题：o

变式：

1.命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定是

;它的否命题是

2.命题“若7x+10=0,则x=2或x=5"的否定是。

3.写出命题“若x=3,则d-2x+3=0”的否命题：o

4.命题“若Y<1,则—1<x<1”的逆否命题是。

5.命题“已知eR,若孙=0,则x=0或y=0的否定是一—.。

【例3】命题：“若冲=0,则中至少有一个为0,”分别写出它的逆命题、否命题、逆

否命题。

逆命题：；否命题：；

逆否命题：.

变式：

1.给定下列命题：

(1)“若x+y=O,则互为相反数”的逆命题；

18

(2)“全等三角形的面积相等”的否命题；

(3)“若则f+2x+q=0有实根”的逆否命题；

(4)“不等边三角形的三个内角相等的逆命题；其中真命题为—

2.给定下列命题：

(1)若攵>0,则方程d+2x—4=0有实数根；

(2)“若a>b,则a+c>8+c”的否命题；

(3)“矩形的对角线相等”的逆命题；

(4)“若孙=0,则中至少有一个为0”的否命题；

(5)“若/=o,则〃/全为0”的逆否命题。其中真命题为

【例4】、设集合A,B,则“A3=A”是“418”的()

A,充分不必要条件B,必要不充分条件C,充要条件D,既不充分也不必要条件

变式：

1.设aeR,则“a>l”是“a?〉］”的（）

A,充分不必要条件B,必要不充分条件C,充要条件D,既不充分也不必要条件

2.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()

A,充分不必要条件B,必要不充分条件C,充要条件D,既不充分也不必要条件

3.设p：实数满足尤>1且y>l,q：实数满足x+y>2,则p是4的()

A,充分不必要条件B,必要不充分条件C,充要条件D,既不充分也不必要条件

4.设x>0,yeR,则“x>y”是“凶>3”的()

A,充分不必要条件B,必要不充分条件C,充要条件D,既不充分也不必要条件

5.命题P：|4x—3区1；q：Y—2(2a+l)x+a(a+l)W0,若"是飞的必要不充分条件,

求实数a的取值范围。

19

【课后练习】

1.设xGZ,集合A是奇数集，集合5是偶数集.若命题p：VxGA,2x£B,贝"）

A.-p：B.rp：V超A,2超8

C.,p：3xo^A,2x»GBD."p：SX()6A,2XO$B

2.已知命题p：若x>y,则一x<一y；命题g：若x>y,则x2>V.在命题①0/\g；②pVg；③

pAO；④「p）Vg中,真命题是（

A.0（3）B.①④C.(2X3)D.②④

3.给定命题p：对任意实数x都有aF+ax+AO成立；q.关于x的方程x2—x+a=O有实

数根.如果pVg为真命题，pAg为假命题，求实数。的取值范围.

4.已知p：BxoGR»mxS+l^O,q：VxGR,x2+mx+l>0,若pVg为假命题，则实数

m的取值范围是（）

A.[2,+8）B.（-8,-2]

C.（-8,-2]U[2,+~）D.[-2,2]

5.已知函数八*）=丫2+吨+1,若命题“球。>0,於。）<0"为真，则m的取值范围是.

6.命题"mxoWO,就20"的否定是（）

A.Vx^O,好<0B.VxWO,x22。

C.3x（）>0,xJ>0D.3x（）<0,x/WO

7,已知命题p：对任意xGR,总有|x|，0；

q：x=l是方程x+2=0的根.

则下列命题为真命题的是（）

A.pNqB.fpAq

C.rpZqD.p/\q

8.已知命题p：“x>3”是“*2>9”的充要条件，命题q：”2>巾是?>〃,的充要条件，贝（]（）

A.pVg为真B.pAg为真

C.p真g假D.pVg为假

9.若命题“mxoGR,蝙+（a-l）xo+l<O”是真命题，则实数a的取值范围是（）

A.[—1,3]B.（—1,3）

C.（-8,-1]U[3,+~）D.（一8,-1）U（3,+~）

10.命题"V"GN",<"）GN"且八"）W“”的否定形式是（）

A.VnGN*,A"游N*且N")>"

20

B.VnGN*,八")eN*或八〃)>〃

C.3noGN