145等腰三角形的性质（分层练习）

14.5等腰三角形的性质（分层练习）【夯实基础】一、单选题1．（2022春·上海·七年级专题练习）用下列长度的三条线段首尾顺次联结，能构成等腰三角形的是（

）A．2、2、1 B．3、3、6 C．4、4、10 D．8、8、18【答案】A【分析】根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义即可对各个选项进行判断．【详解】解：A、∵，则2、2、1可以构成三角形，又∵2=2，∴2、2、1能构成等腰三角形，故本选项正确；B、∵，则3、3、6不能构成三角形，∴3、3、6不能构成等腰三角形，故本选项错误；C、∵，则4、4、10不能构成三角形，∴4、4、10不能构成等腰三角形，故本选项错误；D、∵，则8、8、18不能构成三角形，∴8、8、18不能构成等腰三角形，故本选项错误；故选：A．【点睛】本题考查了三角形的三边的关系和等腰三角形的定义，正确理解三边关系和等腰三角形的定义是解题的关键．通常利用两个短边的和与最长的边进行比较，即可判断是否能构成三角形．2．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是（

）A．等腰三角形底角的平分线 B．等腰三角形腰上的高C．等腰三角形腰上的中线 D．等腰三角形顶角的平分钱【答案】D【分析】根据在等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合对各选项进行判断即可．【详解】解：等腰三角形中三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合．故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质．解题的关键在于熟练掌握三线合一中的三线分别指顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线．3．（2022春·上海·七年级上外附中校考期末）等腰三角形的顶角为α，那么这个等腰三角形一条腰上的高与底边的夹角为（）A．α B．2α C．α D．90°﹣α【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．【详解】解：如图：∵∠BAC＝α，∴．∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°﹣α，∴．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，关键是理解等腰三角形的性质和三角形内角和定理．4．（2022春·上海·七年级校考期末）下列说法正确的是（

）A．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补B．等腰三角形中，底边上的高是它的对称轴C．联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短D．在两个三角形中，如果有两个内角及一条边对应相等，那么这两个三角形全等【答案】C【分析】利用平行线，轴对称，垂线段，等腰三角形，全等三角形的判定定理依次判断即可．【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补，选项说法错误，不符合题意；B、等腰三角形的高是线段，对称轴是直线，底边上的高不是对称轴，选项说法错误，不符合题意；C、垂线段最短，选项说法正确，符合题意；D、边的位置未确定，有两个内角及一条边对应相等的两个三角形不一定全等，选项说法错误，不符合题意．故选C．【点睛】本题考查平行线，轴对称，垂线段，等腰三角形，全等三角形的判定，掌握相关知识是求解本题的关键．二、填空题5．（2021春·上海松江·七年级统考期末）如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是___________．【答案】29cm##29厘米【分析】分两种情况讨论：若以为腰，若以为腰，即可求解．【详解】解：若以为腰，该三角形的三边长为、、，∵，∴不能构成三角形，不合题意，舍去；若以为腰，该三角形的三边长为、、，∴它的周长是；综上所述，该三角形的周长为29cm．故答案为：29cm【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键．6．（2022春·上海闵行·七年级校考阶段练习）如果等腰三角形的一个角的度数为，那么其余的两个角的度数是______．【答案】，或，【分析】根据等腰三角形性质，分类讨论即可得到答案．【详解】解：①当时顶角时，其余两个角是底角且相等，则有：；②当时底角时，则有：顶角；故答案为：，或，．【点睛】本题考查等腰三角形性质：两个底角相等，还考查了分类讨论的思想．7．（2022秋·上海·七年级专题练习）在中，，将绕点A旋转，得到，点B、C的对应点分别为点、，如果点B'恰好落在直线上，那么的度数为________．【答案】##35度【分析】由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解．【详解】解：如图，∵将绕点A旋转，得到，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．8．（2022春·上海·七年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，则∠DEF的度数是_____．【答案】65°【分析】首先证明△DBE≌△ECF，进而得到∠EFC＝∠DEB，再根据三角形内角和计算出∠CFE+∠FEC的度数，进而得到∠DEB+∠FEC的度数，然后可算出∠DEF的度数．【详解】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（SAS），∴∠EFC＝∠DEB，∵∠A＝50°，∴∠C＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∴∠CFE+∠FEC＝180°﹣65°＝115°，∴∠DEB+∠FEC＝115°，∴∠DEF＝180°﹣115°＝65°，故答案为：65°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形内角和的定理，关键是熟练掌握三角形内角和是180°．9．（2022春·上海·七年级上外附中校考期末）等腰三角形的周长是50，一边长为10，则其余两边长为_____．【答案】20，20【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形三边之间的关系进行求解即可．【详解】∵等腰三角形的周长为50，∴当10为腰时，它的底长＝50﹣10﹣10＝30，10+10＜30，不能构成等腰三角形，舍去；当10为底时，它的腰长＝（50﹣10）÷2＝20，10+20＞20，能构成等腰三角形，即它的另外两边长分别为20，20．故答案为：20，20．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边之间的关系，熟练地掌握相关内容是解题的关键．10．（2022春·上海杨浦·七年级校考期末）如图，是直线上的点，若HA//BF，，，则______度．【答案】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质即可求出．【详解】解：，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理已经平行线的性质．掌握各定理是解题的关键．11．（2022春·上海杨浦·七年级校考期末）如图，已知，，那么______度．【答案】【分析】由可知，由三角形外角性质得，再由可知，为等腰三角形，由内角和定理求．【详解】解：，，，又，，．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．关键是根据“等边对等角”，外角性质，内角和定理求解．12．（2022春·上海闵行·七年级上海市实验学校西校校考阶段练习）如图，已知直线，含30°角的三角板的直角顶点C在上，30°角的顶点A在上，如果边AB与交于点D，且，那么________度．【答案】120【分析】根据DA=DC，得到∠DCA=∠DAC=30°，再利用三角形外角性质得到∠2=60°，然后根据平行线的性质求∠1的度数．【详解】解：如图，∵DA=DC，∴∠DCA=∠DAC=30°，∴∠2=∠DCA+∠DAC=60°，∵l1//l2，∴∠1+∠2=180°，∴∠1=180°−60°=120°．故答案为120．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质及平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．13．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）在中，是顶角的平分线，，则_______°．【答案】【分析】根据是顶角的平分线可求出，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【详解】解：如图，∵是顶角的平分线，，∴，∵，∴．故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．14．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）等腰三角形的底角为，那么它的顶角的度数为___________．【答案】##100度【分析】根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理即可得．【详解】解：因为等腰三角形的底角为，所以它的顶角的度数为，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．三、解答题15．（2022春·上海·七年级专题练习）阅读并填空：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE，说明BD＝CE的理由．解：因为AB＝AC，所以；（等边对等角）因为，（已知）所以∠AED＝∠ADE；（等边对等角）因为∠AED＝∠EAC＋∠C，∠ADE＝∠BAD＋∠B，（

）所以∠BAD＝∠EAC；（等式性质）在△ABD与△ACE中，所以△ABD≌△ACE（A．S．A）所以．（全等三角形的对应边相等）【答案】∠B＝∠C，AD＝AE，；三角形外角的性质，BD＝CE【分析】先证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质可得BE=CD，即可得答案．【详解】解：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C；（等边对等角）因为AD＝AE，（已知）所以∠AED＝∠ADE；（等边对等角）因为∠AED＝∠EAC+∠C，∠ADE＝∠BAD+∠B，（三角形外角的性质）所以∠BAD＝∠EAC；（等式性质）在△ABD与△ACE中，，所以△ABD≌△ACE（ASA）所以BD＝CE．（全等三角形的对应边相等）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．16．（2022春·上海·七年级专题练习）如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，MF∥DA交BA的延长线于点E，交AC于点F，求证：BE＝CF．【答案】证明见解析【分析】过点B作BN∥AC交EM的延长线于N，根据两直线平行，内错角相等可得∠MBN＝∠C，∠N＝∠MFC，根据线段中点的定义可得BM＝CM，然后利用“角角边”证明△BMN和△CMF全等，根据全等三角形对应边相等可得BN＝CF，根据角平分线的定义求出∠BAD＝∠CAD，然后根据平行线的性质求出∠E＝∠BAD，∠N＝∠CFM＝∠CAD，从而得到∠E＝∠N，再根据等角对等边可得BE＝BN，最后等量代换即可得证．【详解】证明：如图，过点B作BN∥AC交EM的延长线于N，∴∠MBN＝∠C，∠N＝∠MFC，∵M为BC的中点，∴BM＝CM，在△BMN和△CMF中，，∴△BMN≌△CMF（AAS），∴BN＝CF，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵ME∥AD，∴∠E＝∠BAD，∠MFC＝∠CAD，∴∠E＝∠MFC，

∴∠E＝∠N，∴BE＝BN，∴BE＝CF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等角对等边的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．17．（2022春·上海·七年级期末）在△ABC中，∠ABC＝48°，点D在BC边上，且满足∠BAD＝18°，DC＝AD，则∠CAD＝_____度．【答案】57【分析】根据三角形外角的性质求解∠ADC的度数，由等腰三角形的性质得∠C＝∠CAD，再利用三角形的内角和定理可求解．【详解】解：如图，∵∠ABC＝48°，∠BAD＝18°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝48°+18°＝66°，∵DC＝AD，∴∠C＝∠CAD，∵∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，∴∠CAD＝＝57°，故答案为：57．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是本题的关键．18．（2022春·上海·七年级专题练习）已知在等腰△ABC中AB＝AC，∠B＝2∠A，求∠B的度数．【答案】72°【分析】首先根据等边对等角得到∠B＝∠C，然后利用∠B＝2∠A得到∠B＝∠C＝2∠A，从而利用三角形内角和定理求得答案．【详解】解：∵等腰△ABC中AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝2∠A，∴∠B＝∠C＝2∠A，设∠A＝x°，则∠B＝∠C＝2x°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2x+2x+x＝180，解得：x＝36，∴∠B＝2x＝2×36°＝72°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形等边对等角的性质，难度不大．19．（2022春·上海·七年级期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，我们发现这个三角形有一种特性，即经过它某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题；如图2，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，请你在图中画一条射线（不必写画法），把它分成两个小等腰三角形，并写出底角的大小．【答案】见解析.【分析】先根据AB＝AC，∠A＝108°，求得∠C＝36°，再过点A作∠DAC＝36°，则△ACD和△ABD均为等腰三角形．【解答】解：如图2所示，由AB＝AC，∠A＝108°，可知∠C＝36°，过点A在∠BAC内部作射线AD，使得∠DAC＝36°，则△ABD中，∠BAD＝72°，∠ADB＝72°，△ACD中，∠DAC＝∠C＝36°，故△ACD和△ABD均为等腰三角形，故射线AD即为所求．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等．简称：等边对等角．20．（2022春·上海·七年级期末）如图，已知D是△ABC的边BC上一点，AB＝AC＝BD，AD＝CD，求∠B的度数．【答案】36°【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．【详解】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵CD＝DA，∴∠C＝∠DAC，∵BA＝BD，∴∠BDA＝∠BAD，∵∠ADB=∠C+∠CAD，∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，又∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．21．（2022春·上海·七年级校考期末）填空完成下列说理：如图，与交于点，联结、、，已知，．说明：．在与中，（已知）（已知）（______）≌（______）（______）（______）（______）（______）即．【答案】对顶角相等；ASA；全等三角形的对应角相等；全等三角形的对应边相等；等边对等角；等式性质．【分析】根据对顶角相等得到，再证明≌，所以，根据等边对等角证明，最后根据等式性质即可解答．【详解】解：在与中，已知，已知，对顶角相等，≌，全等三角形的对应角相等，全等三角形的对应边相等，等边对等角，等式性质，即．故答案为：对顶角相等；ASA；全等三角形的对应角相等；全等三角形的对应边相等；等边对等角；等式性质．【点睛】本题主要考查对顶角相等，全等三角形的判定和性质，解题关键是对相应的知识的掌握与应用．22．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，点D，E在的边上，，．求证：．【答案】见解析【分析】过点A作于点P，根据等腰三角形的性质，得出，，即可得出答案．【详解】证明：过点A作于点P，如图所示：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一，是解题的关键．【能力提升】一、单选题1．（2022春·上海·七年级专题练习）已知△ABC≌△A′B′C′，等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，那么△A′B′C′中一定有一条底边的长等于（）A．5cm B．2cm或5cm C．8cm D．2cm或8cm【答案】D【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，分为两种情况进行讨论，求解即可．【详解】解：∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，分为两种情况：①当BC是底边时，腰AB＝AC，A′B′＝A′C′，∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝AC＝A′B′＝A′C′，∵等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，∴△A′B′C′中一定有一条底边B′C′的长是8cm，②BC是腰时，腰是8cm，∵等腰△ABC的周长为18cm，∴△A′B′C′中一定有一条底边的长是18cm﹣8cm﹣8cm＝2cm，即底边长是8cm或2cm，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是要进行分类讨论．2．（2022春·上海·七年级专题练习）中，厘米，厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当与全等时，v的值为（）A．2.5 B．3 C．2.25或3 D．1或5【答案】C【分析】分两种情况讨论：①若，根据全等三角形的性质，则厘米，求得（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若，则厘米，，继而可解．【详解】解：中，厘米，点为的中点，厘米，，若，则需厘米，（厘米），点的运动速度为3厘米秒，点的运动时间为：，（厘米秒）；若，则需厘米，，，解得：；的值为：2.25或3；故选C．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质与等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题3．（2022春·七年级单元测试）如图所示，将等腰△ABC（AB＝AC）绕点B顺时针旋转，使A点落在BC边上的点A1处，点C落在点C1处，如果A，A1，C1三点在一直线上，那么，∠BAC＝_____．【答案】108°##108度【分析】由旋转的性质可得AB＝A1B＝A1C，由等腰三角形的性质可得∠C1＝∠A1BC1，∠BAA1＝∠BA1A，由三角形内角和定理列出方程，即可求解．【详解】解：由旋转性质可知AB＝A1B＝A1C，∴∠C1＝∠A1BC1，∠BAA1＝∠BA1A，设∠ABC＝x，则∠BAA1＝∠AA1B＝2x，在△ABA1中，∠ABA1+∠BAA1+∠AA1B＝180°，即x+2x+2x＝180°，解得x＝36°，∴∠BAC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，故答案为108°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．4．（2022春·七年级单元测试）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的顶角度数为_____；已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的底边BC的长为_____．【答案】

40°或140°

11cm或7cm【分析】（1）分两种情况讨论：当等腰三角形为锐角三角形时；当等腰三角形为钝角三角形时；先求出顶角∠BAC，即可求出底角的度数．（2）分两种情况讨论：当AB+AD＝12，BC+DC＝15或AB+AD＝15，BC+DC＝12，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为8，8，11或10，10，7．所以BC的长为7cm或11cm．【详解】（1）当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，∴∠A＝90°﹣50°＝40°，∴三角形的顶角为40°；当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝140°∴三角形的顶角为140°；综上，三角形的顶角为40°或140°；（2）如图3，设AD＝xcm，则当2x+x＝12时，x＝4，即AB＝AC＝8cm，∵周长是12+15＝27cm，∴BC＝11cm；当2x+x＝15时，x＝5，即AB＝AC＝10cm，∵周长是12+15＝27cm，∴BC＝7cm，综上可知，底边BC的长为7cm或11cm．故答案为40°或140°；7cm或11cm．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．5．（2022春·上海·七年级专题练习）在中，，点是外一点，连接、、，且交于点，在上取一点，使得，，若，则的度数为_____．【答案】##40度【分析】根据证明，再利用全等三角形的性质，然后由三角形的外角性质，，可说明，再利用等腰三角形的性质可求出，最后利用三角形的内角和解答即可．【详解】解：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵是和的外角，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和等知识．根据全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点．6．（2022春·上海·七年级校考期末）如图已知A、B、C在同一条直线上，且、、，那么的角度是______．【答案】62【分析】先根据证明≌，即得出，，，又根据平角定义、三角形内角和、等边对等角等知识点即可解答．【详解】解：如图，∵在和中，≌，，，，，，，，在中，，，故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，等边对等角．熟练掌握以上性质并利用数形结合的思想是解题关键．7．（2022春·上海·七年级期末）在等腰△ABC中，如果过顶角顶点A的一条直线AD将△ABC分割成两个等腰三角形，那么∠BAC＝___．【答案】90°或108°．【分析】根据题意画出图形，分类讨论，利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可得结论．【详解】解：①当BD=AD，CD=AD时，如图①所示，∵AB=AC，∴∠B=∠C，设∠B=∠C=x，∵BD=AD，CD=AD，∴∠BAD=∠B=x，∠CAD=∠C=x，∴4x=180°，∴x=45°，∴∠BAC=2x=45°×2=90°；②当AD=BD，AC=CD时，如图②所示，∵AB=AC，∴∠B=∠C设∠B=∠C=x，∵AD=BD，AC=CD，∴∠BAD=∠B=x，∠CAD=，∴+x=180°2x，解得：x=36°，∴∠BAC=180°2x=180°2×36°=108°，故答案为：90°或108°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据题意画出图形分类讨论，利用三角形的内角和定理是解答此题的关键．8．（2022春·上海杨浦·七年级校考期末）已知一个等腰三角形，其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为25°，则该等腰三角形的顶角为________．【答案】65°或115°【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数．【详解】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD＝25°，∴∠A＝65°，即顶角的度数为65°．②如图，等腰三角形为钝角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA＝25°，∴∠BAD＝65°，∴∠BAC＝115°．故答案为：65°或115°．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，认真的进行计算．9．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，在中，，如果的面积是12，那么的面积是______．【答案】【分析】由得到是的中线，进而得到，再由E是的中点得到．【详解】解：，是的中线，，是等腰三角形，，点E是的中点，．故答案为：3．【点睛】本题考查三角形的面积，明确三角形的中线会平分三角形的面积是解题关键．10．（2022春·上海·七年级期末）在一个等腰三角形中，如果它的底角是顶角的两倍，这样的三角形我们称之为“黄金三角形”．如图，已知点A在∠MON的边OM上，点B在射线ON上，且∠OAB＝100°，以点A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合），当△ABC为“黄金三角形”时，那么∠OAC的度数等于___．【答案】64°或28°【分析】分三种情况：①AB=AC时；②BA=BC时；③CA=CB时；分别由等腰三角形的性质和“黄金三角形”的定义求出∠BAC的度数，即可求解．【详解】解：当△ABC为“黄金三角形”时，分三种情况：①AB=AC时，∠ACB=∠ABC=2∠BAC，∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∴∠BAC=×180°=36°，∴∠OAC=∠OAB∠BAC=100°36°=64°；②BA=BC时，∠BAC=∠BCA=2∠ABC，∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∴∠BAC=×180°=72°，∴∠OAC=∠OAB∠BAC=100°72°=28°；③CA=CB时，∠BAC=∠ABC=2∠ACB，∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∴∠BAC=×180°=72°，∴∠OAC=∠OAB∠BAC=100°72°=28°；综上所述，∠OAC的度数等于64°或28°，故答案为：64°或28°．【点睛】本题考查了“黄金三角形”的定义、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握黄金三角形的定义、等腰三角形的性质，求出∠BAC的度数是解题的关键，注意分类讨论．11．（2022春·上海·七年级专题练习）已知等腰三角形的底边长为6，一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分长2，则三角形的腰长是______．【答案】8或4【分析】根据中线的定义，知道两部分的差实际上是腰与底的差的绝对值，计算即可．【详解】解：如图，∵BD是△ABC腰AC的中线，∴AD=DC，∴AB+AD（BC+DC）=2或BC+DC（AB+AD）=2，∵BC=6，∴AB=8或AB=4．故答案为：8或4．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中线的定义即三角形的顶点与对边中点的连线，分类思想，正确进行分类计算是解题的关键．12．（2022春·上海·七年级专题练习）已知一个等腰三角形的三边长都是整数，如果周长是10，那么底边长等于_________．【答案】2或4【分析】设等腰三角形的腰是x，底是y，然后判断1至4中能构成三角形的情况.【详解】设等腰三角形的腰是x，底是y，∴2x+y=10当x取正整数时，x的值可以是：从1到4共4个数，相应的y的对应值是：8,6,4,2.经判断能构成三角形的有：3、3、4或4、4、2，故答案为2或4.【点睛】此题考查三角形的三边关系及等腰三角形的定义，首先根据周长找到整数的边长的情况，判断其是否为等腰三角形即可解答.13．（2022春·上海·七年级专题练习）用一条线段可以把一个三角形分割成两个三角形，如果分得的两个小三角形中一个为直角三角形，另一个为等腰三角形，且分得的直角三角形的最小内角的大小是等腰三角形底角大小的一半，我们说这个三角形可以“闪亮分割”．那么可以“闪亮分割”的三角形的最小内角的大小可以是__．（至少写出两种情况）【答案】22.5°或18°或36°或45°【分析】根据“闪亮分割”的定义，画出图形，共分为4种情况：①当这个三角形如图1所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC；②当这个三角形如图2所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC；③当这个三角形如图3所示时，AD⊥AC于点A且将△ABC分成直角三角形ADC和等腰三角形ABD；④当这个三角形如图4所示时，∠A＝90°，CD将△ABC分成等腰△BCD和直角三角形ADC；根据角度的数量关系求解最小的内角即可．【详解】解：由题意知，共分为4种情况：①当这个三角形如图1所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC，设∠B＝x且为最小的内角，则，，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴，解得，∴△ABC中最小内角为22.5°；②当这个三角形如图2所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC，设∠BAD＝y且为中最小的内角，则由题意得，，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴，解得y＝22.5°，∴△ABC中最小内角为；③当这个三角形如图3所示时，AD⊥AC于点A且将△ABC分成直角三角形ADC和等腰三角形ABD，设∠C＝z且为中最小的内角，则由题意得∠B＝∠BAD＝2z，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴，解得z＝18°，∴△ABC中最小内角为18°；④当这个三角形如图4所示时，∠A＝90°，CD将△ABC分成等腰△BCD和直角三角形ADC，设∠ACD＝m且为中最小的内角，则由题意可得∠B＝∠DCB＝2m，∵∠B+∠BCA＝90°，∴2m+3m＝90°，解得m＝18°，∴△ABC中最小内角为．综上所述，可以“闪亮分割”的三角形的最小内角的大小可以是22.5°或18°或36°或45°．故答案为：22.5°或18°或36°或45°．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质．理解题意画出图形并分类讨论做到不漏解是解题的关键．三、解答题14．（2022春·上海·七年级专题练习）阅读并填空：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE，说明BD＝CE的理由．解：因为AB＝AC，所以（等边对等角）．因为，（已知）所以∠AED＝∠ADE（等边对等角）．因为∠AED＝∠EAC+∠C∠ADE＝∠BAD+∠B（）所以∠BAD＝∠EAC（等式性质）在△ABD与△ACE中，所以△ABD≌△ACE（ASA）所以．（全等三角形的对应边相等）【答案】∠B=∠C，AD=AE，三角形外角的性质，∠B=∠C，∠BAD＝∠EAC，BD=CE．【分析】先证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质可得BE=CD，即可得答案．【详解】解：因为AB=AC，所以∠B=∠C(等边对等角)，因为AD=AE，所以∠AED=∠ADE(等边对等角)，因为∠AED＝∠EAC+∠C，∠ADE＝∠BAD+∠B（三角形外角的性质），所以∠BAD＝∠EAC（等式性质），在△ABD和△ACD中，，所以△ABD≌△ACD(ASA)，所以BD=CE(全等三角形对应边相等)，故答案为：∠B=∠C，AD=AE，三角形外角的性质，∠B=∠C，∠BAD＝∠EAC，BD=CE．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．15．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，已知AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．(1)说明△ABC与△DEF全等的理由；(2)如果AC＝CF，∠1＝30°，∠D＝105°，求∠AFC的度数．【答案】(1)见解析(2)75°【分析】（1）由BF＝EC，可得BC＝EF，根据“SSS“可得△ABC≌△DEF；（2）由（1）得：△ABC≌△DEF，有∠BAC＝∠D，根据∠D＝105°，∠1＝30°，可得∠FAC＝75°，而AC＝CF，故∠AFC＝∠FAC＝75°．（1）证明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）由（1）得：△ABC≌△DEF，∴∠BAC＝∠D，∵∠D＝105°，∴∠BAC＝105°，∵∠1＝30°，∴∠FAC＝∠BAC﹣∠1＝75°，∵AC＝CF，∴∠AFC＝∠FAC＝75°．【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质等知识，属基础题型，解题的关键掌握三角形全等的判定：SSS、SAS、ASA、AAS．16．（2022春·上海·七年级校联考期末）在中，，，，与相交于点，如图，的大小与的大小有什么关系？若，，则与大小关系如何？若，，则与大小关系如何？【答案】．【分析】根据三角形内角和定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质即可计算．【详解】解：，，，，即；，，，即；，，，即．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线，等腰三角形性质，解题的关键在于熟练掌握三角形内角和定理．17．（2022春·上海·七年级期末）如图1，△ABE是等腰三角形，AB=AE，，过点B作BCAE于点C，在BC上截取CD=CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；（1）求证：AD=BE；（2）试说明ADBE；（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AD与BE的位置关系不发生改变，理由见解析【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BE；（2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由∠BDP=∠ADC，即可得到∠BPD=∠DCA=90°；（3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP=∠ACF，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF=∠ACF=90°，即AD⊥BE．【详解】（1）∵BC⊥AE，∠BAE=45°，∴∠CBA=∠CAB，∴BC=CA，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD(SAS)，∴AD=BE；（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠CBE=∠CAD，∵∠CAD+∠ADC=90°，∠BDP=∠ADC，∴∠CBE+∠BDP=90°，∴∠APB=90°，∴AD⊥BE；（3）AD与BE的位置关系不发生改变．如图2，∵，∴，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∵△BCE≌△ACD(SAS)，∴BE=AD，∠EBC=∠DAC，∵∠BFP=∠AFC，∴∠BPF=∠ACF=90°，∴AD⊥BE．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，旋转的性质，解决本题的关键是证明△BCE≌△ACD．18．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，已知在等腰中，点D，点E和点F分别是，和边上的点，且，，试说明．【答案】见解析．【分析】由等腰三角形的性质可知，由三角形外角的性质和等式的性质可证，然后根据“ASA”证明即可．【详解】解：∵（已知），∴（等边对等角）．∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），（已知），∴（等量代换）．∵（已知），∴（等式性质）．在与中，，∴（ASA），∴（全等三角形的对应边相等）．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．19．（2022春·上海·七年级专题练习）已知：如图所示，中，，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC于E，且有．求证：【答案】见解析【分析】过A作AF⊥CD于F，由等腰三角形三线合一，可以得到CF=CD；证明△ACF≌△CED，可以得到CF=DE，从而得到结论．【详解】证明：过A作AF⊥CD于F，如下图：∵AC=AD，AF⊥CD∴CF=CD，∠AFC=∵∴∠ACF+∠DCE=又∵DE⊥CD∴∠CDE=，∠DCE+∠CED=∴∠ACF=∠CED，∠AFC=∠CDE在△ACF与△CED中，∴△ACF≌△CED，∴CF=DE∴DE=CD．【点睛】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的三线合一等知识点，能够由已知条件，作出相关的辅助线是解题的关键．20．（2022春·上海·七年级期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，联结BD并延长，交AC的延长线干点E，求∠ADE的度数．【答案】110°【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可求∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，根据等腰三角形的性质可求∠BDA，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，∵AD＝AB，∴∠BDA＝×（180°﹣40°）＝70°，∴∠ADE＝180°﹣∠BDA＝180°﹣70°＝110°．【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，掌握“等边对等角，等腰三角形的三线合一”是解本题的关键.21．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，已知∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED，AB＝EC，EF⊥AD，试说明点F是AD的中点的理由．【答案】理由见解析．【分析】利用一线三直角模型证明AE=ED，从而利用等腰三角形三线合一的性质即可．【详解】解：∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，又∵∠B＝90°，∴∠B＝∠AED，∵∠AEC＝∠B+∠BAE，即∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∴∠BAE＝∠DEC，在△ABE与△ECD中，，∴△ABE≌△ECD（ASA），∴AE＝ED，∵EF⊥AD，∴点F是AD的中点．【点睛】本题考查了一线三直角全等模型，等腰三角形的三线合一，熟练掌握三角形全等证明是解题的关键．22．（2022春·上海·七年级专题练习）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；（2）设，．①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．【答案】（1）90；（2）①，理由见解析；②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β．【分析】（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题；（2）①证