一元二次函数课件

北师大版（2019）必修第一册1.4.1一元二次函数探索新知02定义：函数y＝ax2+bx+c(a≠0)叫作一元二次函数，它的定义域是R.通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.知识点1

一元二次函数的定义形式一般式顶点式交点式解析式适用情况说明

已知抛物线上三点的坐标时，常设一般式

已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程时，常设顶点式已知抛物线与x轴的交点情况时，常设交点式解题时需根据题目条件灵活选择解析式形式.探索新知02动手实践

在同一坐标系中做出下列函数的图象：y＝x2；y＝2x2；y＝－2x2．（1）对y＝x2，y＝2x2，抛物线开口向上，在区间（－∞，0]上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间[0，＋∞]上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x＝0处有最小值，记作ymin＝0．y＝－2x2，抛物线开口向下；在区间（－∞，0]上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x＝0处有最大值，记作：ymax＝0．在区间上[0，＋∞]上，函数值y随自变量x的增大而减小；知识点2

一元二次函数的图象探索新知02动手实践

在同一坐标系中做出下列函数的图象：y＝x2；y＝2x2；y＝－2x2．（2）y＝2x2与y＝－2x2关于x轴对称．（3）三个图象都关于y轴对称．（4）y＝x2开口大小偏小，y＝2x2，y＝－2x2开口大小偏大．（5）二次函数y＝x2图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为

原来的2倍，得到y＝2x2；二次函数y＝x2图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的－2倍，得到y＝－2x2．知识点2

一元二次函数的图象探索新知02函数y＝x2与函数y＝ax2(a≠0)的图象间的关系图象关系：函数y＝ax2(a≠0)的图象是由函数y＝x2的图象上各点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变得到的.参数a对函数图象的影响：a决定了一元二次函数图象的开口方向和开口大小.①当a＞0时，一元二次函数y＝ax2(a≠0)的图象开口向上；当a＜0时，一元二次函数y＝ax2(a≠0)的图象开口向下.②|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大.知识点2

一元二次函数的图象探索新知02函数y＝ax2(a≠0)的图象性质知识点2

一元二次函数的图象当a＞0时，抛物线开口向上，在区间（－∞，0]上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间[0，＋∞]上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x＝0处有最小值，记作ymin＝0．当a＜0时，抛物线开口向下；在区间（－∞，0]上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间上[0，＋∞]，函数值y随自变量x的增大而减小；函数在x＝0处有最大值，记作：ymax＝0探索新知02思考

y＝ax2（a≠0）的图象与y＝－ax2（a≠0）的图象有什么内在关系？知识点2

一元二次函数的图象一般地，所以，y＝ax2（a≠0）与y＝－ax2（a≠0）关于x轴对称．y＝ax2（a＞0）的图象沿x轴翻折y＝－ax2（a＞0）的图象探索新知02动手实践

在同一坐标系中做出下列函数的图象：y＝2x2；y＝2(x＋1)2＋3；y＝2(x－1)2－3．知识点2

一元二次函数的图象y＝2x2向左平移1个单位得到y＝2(x＋1)2，再向上平移3个单位得到y＝2(x＋1)2＋3；y＝2x2向右平移一个单位得到y＝2(x－1)2，再向下平移3个单位得到y＝2(x－1)2－3．探索新知02函数y＝ax2(a≠0)与函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象间的关系图象关系：①函数y＝ax2(a≠0)的图象与函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象形状相同，位置不同；②函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象是由函数y＝ax2(a≠0)的图象向左(h＜0)或向右(h＞0)平移|h|个单位长度，再向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位长度得到的.参数h，k对函数图象的影响：函数中，h决定了图象的左右平移(h正右移，h负左移)k决定了图象的上下平移(k正上移，k负下移)知识点2

一元二次函数的图象特别提醒：在对图象进行左右平移变换时，平移的单位量与方向是相对于自变量x

而言的.例如，将函数y＝(2x)2的图象像左平移2个单位长度后，得到的是函数y＝[2(x+2)]2，即y＝(2x+4)2的图象.探索新知02一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)有哪些性质？知识点2

一元二次函数的图象（1）函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图象是一条抛物线，顶点坐标是（h，k）对称轴是直线x＝h；（2）当a＞0时，抛物线开口向上，区间（－∞，h）上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间[h，＋∞]上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x＝h处有最小值，记作ymin＝k．当a＜0时，抛物线开口向下；在区间（－∞，h）上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间上[h，＋∞]，函数值y随自变量x的增大而减小；函数在x＝h处有最大值，记作：ymax＝k．探索新知02思考交流

知识点2

一元二次函数的图象函数y＝ax2(a≠0)与函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象间的关系将y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，然后通过将函数y＝ax2(a≠0)的图象左右、上下平移得到函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象.一般地，一元二次函数的一般形式化成顶点式的方法——配方法：y＝ax2＋bx＋c＝

一元二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为

探索新知02如何作出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象？(1)列表描点作图法：①先确定图象的顶点坐标和对称轴；②列表，在对称轴两侧对称地取自变量的值，并计算相应的函数值；③描点并连线，把上述各点按从左到右的顺序用平滑的曲线连接起来.(2)平移变化法：任意抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可以通过配方化为的形式，都可通过配方化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，都可由抛物线y＝ax2(a≠0)经过适当的平移得到，具体的平移方法如下图知识点3

一元二次函数图象的画法探索新知02y＝ax2的图象向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位长度y＝ax2+k的图象知识点3

一元二次函数图象的画法y＝a(x－h)2的图象向左或向右平移|h|个单位长度y＝a(x－h)2+k的图象向左或向右平移|h|个单位长度向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位长度向左(h＜0)或向右(h＞0)平移|h|个单位长度，再向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位长度探索新知02一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质知识点4

一元二次函数的性质函数一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)图象性质开口方向对称轴方程顶点坐标

a＞0a＜0向上向下

探索新知02一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质知识点4

一元二次函数的性质函数一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)性质变化趋势最值

探索新知02二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的参数a，b，c对函数图象有怎样的影响？1.二次项系数a决定了函数图象的开口方向及开口大小.知识点4

一元二次函数的性质

3.c的值决定了抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交点的位置.当x＝0时，y＝c，所以抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴有且只有一个交点(0,c)，故(1)c＝0时，抛物线经过原点；(2)c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；(3)c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴.探索新知02例1已知一元二次函数y＝

x2＋2x＋5．解答：（1）由配方法（1）指出它的图象可以由函数y＝

x2的图象经过怎样的变换得到；

（2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值．

函数y＝

x2的图象

向左平移2个单位

向上平移3个单位

即探索新知02例1已知一元二次函数y＝

x2＋2x＋5．（1）指出它的图象可以由函数y＝

x2的图象经过怎样的变换得到；

（2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值．（2）函数图象开口向上，对称轴为x＝－2；在区间（－∞，－2）上，函数值y随自变量x的增大而减小，在区间[－2，＋∞]上，函数值y随自变量x的增大而增大，当x＝－2时，函数取得最小值3，即ymin＝3题型突破03题型1一元二次函数的图象识别题型突破03题型1一元二次函数的图象识别题型突破03题型1一元二次函数的图象识别题型突破03题型1一元二次函数的图象识别题型突破03题型1一元二次函数的图象识别题型突破03题型1一元二次函数的图象识别题型突破03题型1一元二次函数的图象识别题型突破03解题通法有关一元二次函数图象识别问题的解题思路(1)对于一元二次函数的图象判断问题可以采用排除法，即抓住函数图象的特征或特殊点，如图象的开口方向，顶点位置，对称轴及两坐标轴的交点所处的位置等作出判断.(2)对于同一直角坐标系中两个含变量的函数图象问题(一般为选择题)，当函数中含有一个变量时，常通过对变量的讨论对函数图象作出判断；当函数中含有两个或以上的变量时，先在各选项中假设其中一个函数的图象正确，由此确定变量的取值范围，再由变量的取值范围确定另一个函数图象的位置，从而判断图象的正误.题型1一元二次函数的图象识别题型突破03题型2一元二次函数的解析式题型突破