北京市2023-2024学年高一上学期数学期中试卷（含答案）2

北京市2023-2024学年高一上学期数学期中试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合A={3，4，A．{3，4，C．{x∣4≤x≤5} D．{x∣3≤x≤7}2．命题：∃x>0，A．∃x≤0，x2C．∃x>0，x23．下列函数中，既是奇函数又在区间(0，A．y=x12 B．y=2−x 4．已知函数y=f(x)的对应关系如下表所示，函数y=g(x)的图象如图所示，则f(g(3))的值为（）x036f(x)306A．9 B．6 C．3 D．05．有限集合M中元素的个数记作card(M)，若A，B都为有限集合，则“A∩B=A”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．设函数y=x2+2ax在区间(2A．{a∣a≥2} B．{a∣a≤2}C．{a∣a≥−2} D．{a∣a≤−2}7．下列命题中正确的是（）A．若ac2>bc2，则|a|>|b|C．若a>b，则1a<1b 8．向体积相同且高为H的花瓶中，注水注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系式如图所示，那么花瓶的形状是（）A． B．C． D．9．我们知道函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图像关于点H(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数，则函数A．(−1，−1) B．(1，1) C．10．公园内常设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为f(x)=aex+be−x(其中aA．若a=b，则y=f(x)为奇函数B．若ab=1，则函数y=f(x)的最小值为2C．若ab>0，则方程f(x)=0没有实数根D．若ab<0，则函数y=f(x)为单调递增函数二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．函数f(x)=x−2的定义域是12．不等式x−1x<013．能说明“∃x∈R，ax2−ax−1≥014．设函数f(x)=2x−3，x≤aax，x>a，若当a=5时，存在实数m，使得f(m)=0，则215．狄利克雷函数D(x)定义为：当自变量取有理数时，函数值为1当自变量取无理数时，函数值为0.以下关于狄利克雷函数D(x)的性质：①D(x)的值域为{0，②若x，y∈R③函数D(x)的图象关于y轴对称；④不存在A(x1，其中表述正确的是.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．已知全集U=R，集合A={（1）求A∩B和(∁（2）设集合C={x∣a−1<x<a+1}，若C∩B=∅17．已知指数函数y=f(x)的图象过点(−2，（1）求函数f(x)的解析式（2）试比较f(−0.（3）若f(−m2+m+1)<118．已知函数f(x)=2|x|+2（1）证明：f(x)为偶函数；（2）用定义证明：f(x)在区间(1，19．刚刚结束的2023年杭州亚运会给人们留下了深刻印象，也带火了很多杭州特色产品.某小组通过对一款杭州特产龙井茶的某官网销售情况的调查发现：该商品在过去30天内，销售单价P(x)(单位：百元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)=1+kx(k为常数)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x51015202530Q(x)180310390420400330已知第5天的日销售收入为216百元.（1）求k的值；（2）给出以下三种函数模型(1)Q(x)=ax+b；(2)Q(x)=ax2+bx请根据上表中的数据，选择你认为最合适的一种函数来描述Q(x)与x的变化关系，并求出函数Q(x)的解析式；（3）记该商品在这30天内的日销售收入为H(x)(单位：百元)，求H(x)的最大值.20．设函数f(x)=x2+2mx+m，函数g(x)=2x+2.∀x∈R，用条件（1）：f(−3)=f(1)条件（2）：∀x∈R，（1）求不等式f(x)>g(x)的解集；（2）当x∈[1，4]时，关于x的不等式M(x)>m(g(x)−2)恒成立，求实数21．已知正整数集合S={a1，a2，⋯，an}(n≥2，n∈N)，0<a1<a（1）判断集合A={1，2，3}和集合（2）若集合S具有性质F4，求证：d(S)≥（3）若集合S具有性质Fk，求n

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得A∩B=4，5故答案为：B.

【分析】根据交集的定义直接求解.2．【答案】D【解析】【解答】解：命题：∃x>0，x2故答案为：D.

【分析】根据命题的否定判断选项.3．【答案】D【解析】【解答】解：A、y=x12的定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，不是奇函数，A不符合题意；

B、y=2−x在区间R上单调递减，且不是奇函数，B不符合题意；

C、y=x+1x在区间(0，1)故答案为：D.

【分析】根据函数单调性和奇偶性逐一判断选项.4．【答案】B【解析】【解答】解：由图象知g(3)=6，∴f(g(3))=f(6)=6.故答案为：B.

【分析】由图象得g(3)=6，进而根据表格找f(g(3))=f(6)的值.5．【答案】A【解析】【解答】解：充分性：若A∩B=A，则A⊆B，∴card(A)≤card(B)，充分性成立；

必要性：若card(A)≤card(B)，假设A=1，B=2，此时card(A)=card(B)=1，满足card(A)≤card(B)，但A∩B=∅≠A，必要性不成立，∴“A∩B=A”是“故答案为：A.

【分析】根据集合之间的关系分别判断充分性和必要性.6．【答案】C【解析】【解答】解：∵函数y=x2+2ax在区间(2，+∞)上是增函数，二次函数y=x2故答案为：C.

【分析】根据二次函数性质求解实数a的取值范围.7．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵ac2>bc2，所以c2>0，∴a>b，A错误；

B、若a>b，c>d，假设a=c，b=d，则a−c=b−d=0，B错误；

C、若a>0>b，则1a>0>1b，C错误；

故答案为：D.

【分析】根据不等式性质逐一分析选项.8．【答案】B【解析】【解答】解：根据函数图象知：开始阶段相同的高度下体积增加得快，结束阶段相同的高度下体积增加得慢，∴花瓶形状为下宽上窄的形状，满足题意的选项为B.故答案为：B.

【分析】由函数图象知花瓶形状为下宽上窄的形状，对比选项得到答案.9．【答案】A【解析】【解答】解：∵f(x-1)--1=x-1+1x-1+1+1=x+1x故答案为：A.

【分析】由f(x-1)--110．【答案】C【解析】【解答】解：函数f(x)=aex+be−x的定义域为R，

A，当a=b时，f(x)=aex+ae−x，f(-x)=ae-x+aex=aex+ae−x=f(x)，∴函数f(x)是偶函数，A错误；

B，当a=b=-1，满足ab=1，f(x)=-ex-e−x<0，B错误；

C，∵ab>0，∴a，b>0或a，b<0，当a，b>0故答案为：C.

【分析】根据选项的条件，结合函数的相关概念逐一判断.11．【答案】[2【解析】【解答】解：由题意得x-2≥0，求得x≥2，∴函数f(x)=x−2的定义域是[2故答案为：[2，

【分析】由题意得x-2≥0，求出x的取值范围即可.12．【答案】(0，1)【解析】【解答】解：由题意得x−1x<0等价于x(x-1)<0，解得0<x<1，故所求解集为(0，1).

故答案为：(0，1).13．【答案】0【解析】【解答】解：若“∃x∈R，ax2−ax−1≥0”为假命题，则“∀x∈R，ax2−ax−1<0”为真命题，

当a=0时，-1<0，满足；当a≠0时，则a<0∆=a2+4a<0，求得-4<a<0故答案为：0.

【分析】根据题意得“∀x∈R，ax2−ax−1<0”为真命题，进而分当a=014．【答案】18；0【解析】【解答】解：第一空：当a=5时，f(x)=2x−3，x≤55x，x>5，要使f(m)=0，则m≤5，且f(m)=2m−3=0，∴m=log23，∴22m+1=22log23×2=2log29×2=9×2=18；

第二空：∵f(x)存在最大值，当a<0时，x≤a时，f(x)=2x−3≤2a−3<-2，x>a时，f(x)=ax在a，0和0，+∞单调递增，没有最大值，不满足题意；

当a=0故答案为：0.

【分析】第一空：代入a=5，根据函数解析式求得m=log23，进而求22m+1的值；

第二空：分a<0，a=0和a>0讨论15．【答案】①③④【解析】【解答】解：①由定义知狄利克雷函数D(x)的值域为{0，1}，①正确；

②当x，y为有理数时，x+y也为有理数，D(x+y)=1，D(x)=1，D(y)=1，D(x+y)<D(x)+D(y)，②错误；

③当x为有理数时，-x也为有理数，∴D(x)=D(-x)，当x为无理数时，-x也为无理数，∴D(x)=D(-x)，∴函数D(x)的图象关于y轴对称，③正确；

④设x1<x2<x3，假设存在A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等腰直角三角形，则故答案为：①③④.

【分析】根据狄利克雷函数的定义逐一分析.16．【答案】（1）解：依题意，A={x|∁UA={（2）解：集合C={x∣a−1<x<a+1}因此a+1≤2或a−1≥5，解得a≤1或a≥6，所以实数a的取值范围是a≤1或a≥6.【解析】【分析】(1)先求出结合A，再根据交集的定义求A∩B，补集的定义求(∁UA)，并集的定义求(∁U17．【答案】（1）解：设函数为f(x)=ax，则f(−2)=a−2=9（2）解：函数f(x)=(13)x故f(−0.3)>f(0)>f(0.（3）解：函数f(x)=(13)x在R故−m2+m+1>0，解得1−【解析】【分析】(1)设f(x)=ax，代入点(−2，9)求函数f(x)的解析式；

(2)利用指数函数的单调性比较大小；

(3)根据指数函数单性得到18．【答案】（1）解：因为f(x)=2对于任意x∈D，−x∈D，因为所以f(（2）解：当x∈(1，任取x1，x那么f(x因为1<x1<x2即f(x1)>f(x2【解析】【分析】(1)求出f(−x)判断与f(x)关系，证明f(x)为偶函数；

(2)任取x119．【答案】（1）解：由题意得P(5)⋅Q(5)=(1+k5)×180=216（2）解：由表中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而①，③中的函数为单调函数，故只能选②，即Q(x)=ax由表中数据可得Q(5)=180，Q(10)=310，即25a+5b=180100a+10b=310，解得a=−1故Q(x)（3）解：由（1）可得P(x)=1+1依题意H(x)=P(x)Q(x)=(1+=−=−=−(x−20)2+441所以当x=20时H(x)取得最大值，即H(x)即H(x)的最大值为441.【解析】【分析】(1)由P(5)⋅Q(5)=216，代入计算；

(2)首先判断Q(x)=ax2+bx，再代入数据计算求解a，b，

(3)由H(x)=P(x)Q(x)求出H(x)20．【答案】（1）解：若选择条件①因为f(所以9−5m=1+3m，故m=1.所以f(因为f(x)解得x<−1或x>1，所以不等式解集为(−∞若选择条件②∀x∈R，f(x)所以对称轴方程为x=−1，所以x=−m=−1，故m=1.以下同条件条件①.（2）解：不论是条件①或是条件②均可以得到m=1，因为∀x∈R，根据（1）中条件①的同种方法即可得到当−1<x<1时，f(所以M(又因为当x∈[1，故当x∈[1，即2m<x+1x+2因为x+1当且仅当x=1时等号成立，故2m<4，即m<2.【解析】【分析】(1)选择条件①：由f(−3)=f(1)求得m=1，进而根据一元二次不等式解法求不等式f(x)>g(x)的解集；选择条件②根据二次函数的最值性质求m的值，进而根据一元二次不等式解法求不等式f(x)>g(x)21．【答案】（1）