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第4章习题课一、基本概念

二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用多元函数微分法一、基本概念连续性

偏导数存在

方向导数存在可微性1.多元函数的定义、极限、连续

定义域及对应规律

判断极限不存在及求极限的方法

函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系思考与练习1.

讨论二重极限解法1解法2

令解法3

令时,下列算法是否正确?分析:解法1解法2令此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.此时极限为1.第二步未考虑分母变化的所有情况,解法3

令此法忽略了

的任意性,极限不存在!由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点.特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内r,

的变化应该是任意的.同时还可看到,本题极限实际上不存在.提示:

利用故f

在(0,0)连续;知在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.2.证明:而所以f

在点(0,0)不可微!例1.

已知求出的表达式.解法1

令即解法2

以下与解法1相同.则且二、多元函数微分法显示结构隐式结构1.分析复合结构(画变量关系图)自变量个数=变量总个数–方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性例2.

设其中f与F分别具解法1

方程两边对x

求导,得有一阶导数或偏导数,

求(1999考研)解法2方程两边求微分,得化简消去即可得例3.设有二阶连续偏导数,且求解:三、多元函数微分法的应用1.在几何中的应用求曲线在切线及法平面(关键:抓住切向量)

求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量)

2.极值与最值问题

极值的必要条件与充分条件

求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法)

求解最值问题3.在微分方程变形等中的应用

最小二乘法例4.在第一卦限作椭球面的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点.解:

设切点为则切平面的法向量为即切平面方程问题归结为求在条件下的条件极值问题.设拉格朗日函数切平面在三坐标轴上的截距为令由实际意义可知为所求切点.唯一驻点例5.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解:设为抛物面上任一点，则

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