【高中数学】1.1.2-空间向量的数量积运算高二数学新教材配套学案(人教A版选择性必修第一册)

1.1.2空间向量的数量积运算【学习目标】课程标准学科素养1.了解空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律.（重点）3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度．（重点、难点）1、逻辑推理2、数学运算3、数学抽象【自主学习】空间向量的夹角(1)已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的，记作．(2)a，b为非零向量，〈a，b〉＝〈b，a〉，a与b的夹角的范围是，其中当〈a，b〉＝0时，a与b；当〈a，b〉＝π时，a与b；当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a与b．反之，若a∥b，则〈a，b〉＝；若a⊥b，则〈a，b〉＝。2.空间向量数量积（1）概念：已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．（2）投影向量：向量a向向量b投影，得到c=|a||b|cos〈a，b〉=,向量c称为向量a在向量b上的投影向量。（3）性质a⊥b⇔，|a|2＝，|a|＝，cos〈a，b〉＝（4）运算律λ(a·b)＝，a·b＝(交换律)．a·(b＋c)＝(分配律)．特别提醒：不满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．【小试牛刀】判断正错(1)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.()(2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．()(3)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.()(4)对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.()2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是()．A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c【经典例题】题型一数量积的计算注意：(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算．(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．例1如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))；(4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)).[跟踪训练]1已知正四面体O—ABC的棱长为1.求：(1)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))；(2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))；(3)|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|.题型二用数量积证明垂直问题注意：（1）证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.例2如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面ADC.[跟踪训练]2已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系为_______．(填“平行”或“垂直”)题型三用数量积求角度注意：求两个空间向量a，b夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题例3如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是______．[跟踪训练]3已知点O是正△ABC平面外的一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦值．题型四用数量积求长度注意:求解长度问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝eq\r(a·a)求解即可．例4如图，已知ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，则PC的长为__________．[跟踪训练]4在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．【当堂达标】1．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是()．A．与B．与C．与D．与2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于()A．eq\r(97) B．97C．eq\r(61) D．613.已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝eq\r(7)，则cos〈a，b〉＝________． 4.已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．5．已知|a|＝3eq\r(2)，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________．6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，求异面直线A1M与DN所成的角。7.在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))所成角的余弦值．8．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为eq\r(2).(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为eq\f(π,3)，求侧棱的长．

【参考答案】【自主学习】1.（1）夹角〈a，b〉（2）[0，π]方向相同方向相反互相垂直0或πeq\f(π,2).2.（1）|a||b|cos〈a，b〉（2）（3）a·b＝0a·aeq\r(a·a)eq\f(a·b,|a||b|)（4）(λa)·bb·aa·b＋a·c【小试牛刀】1.√×√×2．B【解析】对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；对于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．【经典例题】例1解(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))||eq\o(BA,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)cos60°＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,2).(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(DC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)cos120°＝－eq\f(1,4).(4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))〉－|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝cos60°－cos60°＝0.[跟踪训练]1(1)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|cos∠AOB＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2)；(2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OC,\s\up6(→)))＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1；(3)|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(\s\up12(),\s\do4(\o(OA,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→))2)))＝eq\r(12＋12＋12＋21×1×cos60°×3)＝eq\r(6).例2【证明】不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝eq\r(2).eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))，由于eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos60°＝eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(1,2)＝1.∴eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，即BD⊥AC，又已知BD⊥AD，AD∩AC＝A，∴BD⊥平面ADC.[跟踪训练]2解析∵eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，∴AD与BC垂直．例390°【解析】不妨设棱长为2，则eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up6(→))，cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))〉＝eq\f(（\o(BB1,\s\up6(→))－\o(BA,\s\up6(→))）·（\o(BC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BB1,\s\up6(→))）,2\r(2)×\r(5))＝eq\f(0－2＋2－0,2\r(2)×\r(5))＝0，[跟踪训练]3设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2)，|a|＝|b|＝|c|＝1，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c－b，eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·(eq\f(1,2)c－b)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,2)a·c＋eq\f(1,2)b·c－a·b－|b|2)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,2)－1)＝－eq\f(1,2)，∴cos〈eq\o(OE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(OE,\s\up6(→))·\o(BF,\s\up6(→)),|\o(OE,\s\up6(→))||\o(BF,\s\up6(→))|)＝eq\f(－\f(1,2),\f(\r(3),2)×\f(\r(3),2))＝－eq\f(2,3)，∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为eq\f(2,3).例47【解析】∵＝＋＋，∴||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos120°＝61－12＝49．∴PC＝7．[跟踪训练]4解因为eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))eq\o\al(2,1)＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AA,\s\up6(→))eq\o\al(2,1)＋2(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→)))．因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，所以eq\o(AC,\s\up6(→))eq\o\al(2,1)＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos60°＋2×3×cos60°)＝23.因为eq\o(AC,\s\up6(→))eq\o\al(2,1)＝|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2，所以|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝23，则|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(23)，即AC1＝eq\r(23).【当堂达标】1.A【解析】A，B，C，D四个选项中各对向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°．2.C解析|2a－3b|2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×22－12×2×3×cos60°＋9×32＝61，∴|2a－3b|＝eq\r(61).3．eq\f(1,8)【解析】将|a－b|＝eq\r(7)化为(a－b)2＝7，求得a·b＝eq\f(1,2)，再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求得cos〈a，b〉＝eq\f(1,8).4．－13【解析】∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(32＋12＋42,2)＝－13.5．－eq\f(3,2)【解析】由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，∴18＋(λ＋1)×3eq\r(2)×4cos135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，∴λ＝－eq\f(3,2).6.解以点D为原点，以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立坐标系D－xyz．设正方体的棱长为2，则＝(2，－1,2)，＝(0,2,1)，·＝0，故异面直线A1M与ND所成角为90°．7.解∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉－|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16eq\r(2)，∴cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(24－16\r(2),8×5)＝eq\f(3－2\r(2),5).(1)证明eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)).∵BB1⊥平面ABC，∴eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.又△ABC为正三角形，∴〈eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝π－〈eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝π－eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3).∵eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))·(eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))2＋eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＋eq\o(BB1,\s\up6(→))2＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1.(2)解结合(1)知eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＋eq\o(BB1,\s\up6(→))2＝eq\o(BB1,\s\up6(→))2－1.又|eq\o(AB1,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC1,\s\up6(→))|.∴cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BB1,\s\up6(→))2－1,2＋\o(BB1,\s\up6(→))2)＝eq\f(1,2)，∴|eq\o(BB1,\s\up6(→))|＝2，即侧棱长为2.高考数学：试卷答题攻略

一、“六先六后”，因人因卷制宜。考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。1.先易后难。2.先熟后生。3.先同后异。先做同科同类型的题目。4.先小后大。先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。5.先点后面。高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。6.先高后低。即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施