2024-2025学年江西省吉安八中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省吉安八中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列四个命题中

①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②一组邻边相等的平行四边形是正方形；③对角线相等的四边形是矩形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形

正确命题的序号是(

)A.①② B.②③ C.③④ D.①④2.用配方法解一元二次方程x2+6x+2=0，变形后的结果正确的是(

)A.(x+3)2=−2 B.(x+3)2=23.如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA=OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC.若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2，则OC的长为(

)A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm4.若关于x的一元二次方程ax2−2x+1=0有两个实数根，则实数a的取值范围是A.a≤1且a≠0 B.a<1且a≠0 C.a≤1 D.a<15.如图，正方形OABC的边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D(2,0)在OA上，P是OB上一动点，则PA+PD的最小值为(

)A.210 B.10 C.46.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD=23，∠COB=60°，BF⊥AC，交AC于点M，交CD于点F，延长FO交AB于点E，则下列结论：①FO=FC；②四边形EBFD是菱形；③△OBE≌△CBF；④MB=3.其中结论正确的序号是(

)A.②③④ B.①②③ C.①④ D.①②③④二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。7.已知(m−1)xm2+1+3x−5=0是关于x8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长为______．9.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C的坐标分别为(−6,0)，(4,0)，则点D的坐标是______．10.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，则可列方程为______．11.如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C=______度．12.如图，在矩形ABCD中，AD=13，AB=24，点E是边AB上的一个动点，将△CBE沿CE折叠，得到△CB′E连接AB′，DB′，若△ADB′为等腰三角形，则BE的长为______．三、计算题：本大题共1小题，共6分。13.如图，某农场有一块长20m，宽16m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为252m2，求小路的宽．四、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题6分)

解下列方程：

(1)2x2−x−1=0；(用配方法解)

15.(本小题6分)

如图，四边形ABCD为正方形，点E在BC边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．

(1)在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形；

(2)在图2中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个等腰三角形．16.(本小题6分)

如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM=DN，AC=2MO．

求证：四边形AMCN是矩形．17.(本小题6分)

如图，在四边形ABCD中，AB/​/CD，AC平分∠DAB，AB=2CD，E为AB中点，连结CE．

(1)求证：四边形AECD为菱形；

(2)若∠D=120°，DC=2，求△ABC的面积．18.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程x2−(2m+3)x+m2=0有两个不相等的实数根．

(1)求m的取值范围；

(2)若x1，x2是一元二次方程x19.(本小题8分)

如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE/​/AC且DE=12AC，连接

CE、OE，连接AE交OD于点F．

(1)求证：OE=CD；

(2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE20.(本小题8分)

尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．

(1)若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是______件(直接填写结果)；

(2)不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要达到平均每天1280元，每件商品的定价应为多少元？

(3)在(2)的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．21.(本小题9分)

已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2−mx+m2−14=0的两个实数根．

(1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根；

(2)当m为何值时，四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长；

(3)若22.(本小题9分)

如图．在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点A出发沿AC方向以4cm∕秒的速度向点C匀速运动，同时点E从点B出发沿BA方向以2cm∕秒的速度向点A匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒(0<t<15)，过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；

(2)当t为何值时，动点D恰好在AF的垂直平分线上；

(3)点D、F在运动过程中是否存在t的值，使△DEF是直角三角形，若存在求出t的值，若不存在，说明理由．23.(本小题12分)

综合与实践

数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动．

【探索发现】

(1)如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，AF⊥BE于点F，将线段AF绕点A逆时针旋转90°得到线段AG，连接DG，

可证：△ABF≌△ADG.请写出证明过程；

【深入思考】

(2)在(1)的条件下，如图2，若延长BE，GD交于点H，试猜想线段BF，FH，DH之间的数量关系，并证明你的猜想；

【拓展延伸】

(3)在(2)的条件下，如图3，连接CH，将线段DH绕点H逆时针旋转90°得到线段HP，点P在BH上，试猜想BP，CH的数量关系，并证明你的猜想．

参考答案1.D

2.D

3.C

4.A

5.A

6.D

7.−1

8.3.5

9.(10,8)

10.1211.67.5

12.263或13313.解：设小路的宽为x m，依题意有

(20−x)(16−x)=252，

整理，得x2−36x+68=0．

解得x1=2，x2=34(不合题意，舍去)14.解：(1)2x2−x−1=0，

移项得：2x2−x=1，

把二次项系数化为1：x2−12x=12，

配方得：x2−12x+(14)2=12+(14)2，

(x−14)2=916，

直接开平方得：x−14=±315.解：(1)如图，四边形AECF即为所求；

(2)如图，三角形AEM即为所求．

16.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，

∵BM=DN，

∴OB−BM=OD−DN，即OM=ON，

∴四边形AMCN是平行四边形，

∵MO=NO，

∴MN=2MO，

∵AC=2MO，

∴MN=AC，

∴四边形AMCN是矩形．

17.解：(1)证明：∵E为AB中点，

∴AB=2AE=2BE，

∵AB=2CD，

∴CD=AE，

又∵AE//CD，

∴四边形AECD是平行四边形，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠EAC，

∵AB//CD，

∴∠DCA=∠CAB，

∴∠DCA=∠DAC，

∴AD=CD，

∴平行四边形AECD是菱形；

(2)∵四边形AECD是菱形，∠D=120°，

∴AD=CD=CE=AE=2，∠D=120°=∠AEC，

∴AE=CE=BE，∠CEB=60°，

∴∠CAE=30°=∠ACE，△CEB是等边三角形，

∴BE=BC=EC=2，∠B=60°，

∴∠ACB=90°，

∴AC=3BC=2318.解：(1)根据题意得Δ=(2m+3)2−4m2>0，

解得m>−34，

即m的取值范围为m>−34；

(2)根据根与系数的关系得x1+x2=2m+3，x1x2=m2，

19.(1)证明：∵ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，OC=12AC．

∵DE=12AC，

∴DE=OC．

∵DE//AC，

∴四边形OCED是平行四边形．

∵AC⊥BD，

∴∠DOC=90°，

∴平行四边形OCED是矩形．

∴OE=CD．

(2)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴AC=AB=2．

∴在矩形OCED中，

CE=OD=AD20.解：(1)280；

(2)设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为(25−15−x)元，平均每天可售出80+x0.5×20=(40x+80)件，

依题意，得：(25−15−x)(40x+80)=1280，

整理，得：x2−8x+12=0，

解得：x1=2，x2=6，

∴25−x=23或19．

答：每件商品的定价应为23元或19元；

(3)当x=2时，40x+80=160<200，不合题意，舍去；

当x=6时，40x+80=320>20021.(1)证明：∵关于x的方程x2−mx+m2−14=0，

Δ=m2−2m+1=(m−1)2，

∵无论m取何值(m−1)2≥0，

∴无论m取何值方程总有两个实数根；

(2)解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，即(m−1)2=0，

∴m=1代入方程得：

∴x2−x+14=0，∴x1=x2=12，

即菱形的边长为12；

(3)解：由AB=222.(1)证明：由题意知，BE=2t、AD=4t，

则CD=AC−AD=60−4t，AE=AB−BE=30−2t，

∵DF⊥BC，∠A=60°、∠B=90°，

∴∠C=30°，∠DFC=∠B=90°，即DF//AE，

∴DF=12DC=30−2t，

∴DF=AE，

∴四边形AEFD是平行四边形；

(2)解：∵动点D恰好在AF的垂直平分线上，

∴DA=DF，

∵四边形AEFD是平行四边形，

∴四边形AEFD是菱形，

∴AD=AE，

∴30−2t=4t，

解得：t=5，

故当t=5时，动点D恰好在AF的垂直平分线上；

(3)解：如图1，当∠FDE=90°时，

∵∠DFC=∠B=∠FDE=90°，

∴四边形BEDF是矩形，

∴DF=BE=2t，DE/​/BC，

∴∠ADE=∠C=30°，

∴AD=2AE=60−4t，

又AD=4t，

∴4t=60−4t，

解得：t=152；

如图2，当∠DEF=90°时，

∵四边形AEFD是平行四边形，

∴AD//EF，

∴∠ADE=∠DEF=90°，

∵∠A=60°，

∴∠AED=30°，

∴AE=2AD，即30−2t=8t，

解得：t=3；

综上，当t=3或t=1523.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，AB=AD，

∵线段AF绕点A逆时针旋转90°得到线段AG，

∴∠GAF=90°，AG=AF，

∴∠GAF=∠DAB，

∴∠GAD=∠BAF，

∴△ABF≌△ADG(SAS)；

(2)解：BF+DH=FH，理由如下：

由(1)得：△ABF≌△ADG，

∴∠G=∠AFB=90°，BF=DG，

∵∠GAF=∠AF