2025届福建省龙岩市龙岩一中高二上数学期末统考试题含解析

2025届福建省龙岩市龙岩一中高二上数学期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知三棱锥O­ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用表示，则等于（）A. B.C. D.2．若随机事件满足，，，则事件与的关系是（）A.互斥 B.相互独立C.互为对立 D.互斥且独立3．已知不等式只有一个整数解，则m的取值范围是（）A. B.C. D.4．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在（单位：元）内，其中支出在（单位：元）内的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为（）A.100 B.120C.130 D.3905．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（）A. B.C. D.6．直线分别与曲线，交于，两点，则的最小值为（）A. B.1C. D.27．已知i是虚数单位，复数z=，则复数z的虚部为（）A.i B.-iC.1 D.-18．在正方体中，下列几种说法不正确的是A. B.B1C与BD所成的角为60°C.二面角的平面角为 D.与平面ABCD所成的角为9．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（）A B.C. D.10．如图，，是平面上两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以，为焦点的椭圆M上，则（）A.点B和C都在椭圆M上 B.点C和D都在椭圆M上C.点D和E都在椭圆M上 D.点E和B都在椭圆M上11．复数，则对应的点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限12．椭圆中以点为中点的弦所在直线斜率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆心在x轴上且过点的一个圆的标准方程可以是______14．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是____________15．若椭圆W：的离心率是，则m=___________.16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是圆上一个动点，且线段的中点在的一条渐近线上，若，则的离心率的取值范围是________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆：，点A是圆上一动点，点，点是线段的中点.（1）求点的轨迹方程；（2）直线过点且与点的轨迹交于A，两点，若，求直线的方程.18．（12分）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，A1C的中点，AD=AA1=2，AB=（1）求证：EF∥平面ADD1A1；（2）求平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值；（3）在线段A1D1上是否存在点M，使得BM⊥平面EFD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由19．（12分）某电脑公司为调查旗下A品牌电脑的使用情况，随机抽取200名用户，根据不同年龄段（单位：岁）统计如下表：分组频率/组距0.010.040.070.060.02（1）根据上表，试估计样本的中位数、平均数（同一组数据以该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；（2）按照年龄段从内的用户中进行分层抽样，抽取6人，再从中随机选取2人赠送小礼品，求恰有1人在内的概率20．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，过点作交于点.求证：（1）平面；（2）平面.21．（12分）平面直角坐标系xOy中，点，，点M满足.记M的轨迹为C.（1）说明C是什么曲线，并求C的方程；（2）已知经过的直线l与C交于A，B两点，若，求.22．（10分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，且的面积为，求的周长.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据空间向量的加法、减法和数乘运算可得结果.【详解】.故选：D2、B【解析】利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可【详解】解：因为，，又因为，所以有，所以事件与相互独立，不互斥也不对立故选：B.3、B【解析】依据导函数得到函数的单调性，数形结合去求解即可解决.【详解】不等式只有一个整数解，可化为只有一个整数解令，则当时，，单调递增；当时，，单调递减，则当时，取最大值，当时，恒成立，的草图如下：，，则若只有一个整数解，则，即故不等式只有一个整数解，则m的取值范围是故选：B4、A【解析】根据小矩形的面积之和，算出位于10～30的2组数的频率之和为0.33,从而得到位于30～50的数据的频率之和为1-0.33=0.67，再由频率计算公式即可算出样本容量的值.【详解】位于10～20、20～30的小矩形的面积分别为位于10～20、20～30的据的频率分别为0.1、0.23可得位于10～30的前3组数的频率之和为0.1+0.23=0.33由此可得位于30～50数据的频率之和为1-0.33=0.67∵支出在[30,50)的同学有67人,即位于30～50的频数为67，∴根据频率计算公式，可得解之得.故选：A5、C【解析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.【详解】设公差为d，由题知，，解得，，所以数列为，故.故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.6、B【解析】设，，，，得到，用导数法求解.【详解】解：设，，，，则，，，令，则，函数在上单调递减，在上单调递增，时，函数的最小值为1，故选：B7、C【解析】先通过复数的除法运算求出z，进而求出虚部.【详解】由题意，，则z的虚部为1.故选：C.8、D【解析】在正方体中，利用线面关系逐一判断即可.【详解】解：对于A，连接AC，则AC⊥BD，A1C1∥AC，∴A1C1⊥BD，故A正确；对于B，∵B1C∥D，即B1C与BD所成的角为∠DB，连接△DB为等边三角形，∴B1C与BD所成的角为60°，故B正确；对于C，∵BC⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴BC⊥A1B，∵AB⊥BC，平面A1BC∩平面BCD＝BC，A1B⊂平面A1BC，AB⊂平面BCD，∴∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣D的平面角，∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1＝45°，故C正确；对于D，∵C1C⊥平面ABCD，AC1∩平面ABCD＝A，∴∠C1AC是AC1与平面ABCD所成的角，∵AC≠C1C，∴∠C1AC≠45°，故D错误故选D【点睛】本题考查了线面的空间位置关系及空间角，做出图形分析是关键,考查推理能力与空间想象能力9、D【解析】设双曲线的方程为，再代点解方程即得解.【详解】解：由得，所以椭圆的焦点为.设双曲线的方程为，因为双曲线过点，所以.所以双曲线的方程为.故选：D10、C【解析】根据椭圆的定义判断即可求解.【详解】因为，所以椭圆M中，因为，,,,所以D，E在椭圆M上.故选：C11、C【解析】化简复数，根据复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，复数，所以复数对应的点为位于第三象限.故选：C.12、A【解析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率【详解】设弦的两端点为，，代入椭圆得两式相减得，即，即，即，即，弦所在的直线的斜率为，故选:A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】确定x轴上一个点做圆心，求出半径，再写出圆的标准方程即可.【详解】以x轴上的点为圆心，则半径，所以圆的标准方程为：.故答案为：14、【解析】根据直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径，由点到直线的距离公式求出半径，然后可得.【详解】圆心到直线的距离，又圆与直线相切，所以，所以圆的方程为.故答案为：15、或【解析】按照椭圆的焦点在轴和在轴上两种情况分别求解，可得所求结果【详解】①当椭圆的焦点在轴上时，则有，由题意得，解得②当椭圆的焦点在轴上时，则有，由题意得，解得综上可得或故答案为或【点睛】解答本题的关键有两个：一个是注意分类讨论思想方法的运用，注意椭圆焦点所在的位置；二是解题时要分清椭圆方程中各个参数的几何意义，然后再根据离心率的定义求解16、【解析】设，，因为点是线段中点，所以有，代入坐标求出点的轨迹为圆，因为点在渐近线上，所以圆与渐近线有公共点，利用点到直线的距离求出临界状态下渐近线的斜率，数形结合求出有公共点时渐近线斜率的范围，从而求出离心率的范围.【详解】解：设，，因为点是线段的中点，所以有，即有，因为点在圆上，所以满足：，代入可得：，即，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，如图所示：因为点在渐近线上，所以圆与渐近线有公共点，当两条渐近线与圆恰好相切时为临界点，则：圆心到渐近线的距离为，因为，所以，即，且，所以，此时，，当时，渐近线与圆有公共点，.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）x＝1或y＝1.【解析】(1)设线段中点为，点，用x，y表示，代入方程即可；(2)分l斜率存在和不存在进行讨论，根据弦长求出l方程.【小问1详解】设线段中点为，点，，，，，，即点C的轨迹方程为.【小问2详解】直线l的斜率不存在时，l为x＝1，代入得，则弦长满足题意；直线l斜率存在时，设直线l斜率为k，其方程为，即，圆的圆心到l的距离，则；综上，l为x＝1或y＝1.18、（1）证明见解析；（2）；（3）不存在；理由见解析【解析】（1）连接AD1，A1D，交于点O，所以点O是A1D的中点，连接FO，根据判定定理证明四边形AEFO是平行四边形，进而得到线面平行；（2）建立坐标系，求出两个面的法向量，求得两个法向量的夹角的余弦值，进而得到二面角的夹角的余弦值；（3）假设在线段A1D1上存在一点M，使得BM⊥平面EFD，设出点M的坐标，由第二问得到平面EFD的一个法向量，判断出和该法向量不平行，故不存在满足题意的点M.【详解】（1）证明：连接AD1，A1D，交于点O，所以点O是A1D的中点，连接FO因为F是A1C的中点，所以OF∥CD，OF=CD因AE∥CD，AE=CD，所以OF∥AE，OF=AE所以四边形AEFO是平行四边形所以EF∥AO因为EF⊄平面ADD1A1，AO⊂平面ADD1A1，所以EF∥平面ADD1A1（2）以点A为坐标原点，直线AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为点E，F分别是AB，A1C的中点，AD=AA1=2，AB=，所以B(，0，0)，D(0，2，0)，E，F所以=，=(0，1，1)设平面EFD的法向量为，则即令y=1，则z=-1，x=2所以，由题知，平面DEC的一个法向量为m=(0，0，1)，所以cos<，>==所以平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值是（3）假设在线段A1D1上存在一点M，使得BM⊥平面EFD设点M的坐标为(0，t，2)(0≤t≤2)，则=(，t，2)因为平面EFD的一个法向量为，而与不平行，所以在线段A1D1上不存在点M，使得BM⊥平面EFD19、（1）中位数为38.6，平均数为38.5岁；（2）.【解析】（1）由中位数分数据两边的频率相等，列方程求中位数；根据各组数据的中点数乘以频率即可得平均数；（2）由分层抽样确定从中各抽4人、2人，列举出随机选取2人的所有组合，得到恰有1人在的组合数，即可求概率.【详解】（1）中位数在中，设为，则，解得.平均数为岁.所以样本的中位数约为38.6，平均数为38.5岁.（2）根据分层抽样法，其中位于中的有4人，记为，，，；位于中的有2人，记为，.从6人中抽取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，恰有1人在内的有，，，，，，，，共8种情况，∴恰有1人在内的概率为.【点睛】关键点点睛：由中位数的性质以及平均数与各组数据中点值、频率的关系求中位数、平均数；根据分层抽样确定各组选取人数，利用列举法求概率.20、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连结、，交于点，连结，通过即可证明；（2）通过，

可证平面，即得，进而通过平面得，结合即证.详解】证明：（1）连结、，交于点，连结，底面正方形，∴是中点，点是的中点，.平面，

平面，∴平面.（2），点是的中点，.底面是正方形，侧棱底面，∴，

，且

，∴平面，∴，又，∴平面，∴，，，平面.【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的证明，属于基础题.21、（1）C是以点，为左右焦点的椭圆，（2）【解析】（1）根据椭圆的定义即可得到答案.（2）当垂直于轴时，，舍去.当