2025届宁夏银川市西夏区育才中学高二上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

2025届宁夏银川市西夏区育才中学高二上数学期末学业水平测试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：外切，求动圆圆心M的轨迹方程A. B.C. D.2．已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则A.2 B.3C. D.43．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.4．甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（）A.0.72 B.0.26C.0.7 D.0.985．函数在定义域上是增函数，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.6．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记，则下列说法正确的是（）A.事件“”的概率为 B.事件“t是奇数”与“”互为对立事件C.事件“”与“”互为互斥事件 D.事件“且”的概率为7．已知数列为等比数列，则“，”是“为递减数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8．已知两个向量，，且，则的值为（）A.1 B.2C.4 D.89．已知，为双曲线的左，右顶点，点P在双曲线C上，为等腰三角形，且顶角为，则双曲线C的离心率为（）A. B.C.2 D.10．己知命题；命题，则下列命题中为假命题的是（）A. B.C. D.11．已知随圆与双曲线相同的焦点，则椭圆和双曲线的离心，分别为（）A. B.C. D.12．若，则（）A B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数有零点，则的取值范围是___________.14．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于AB两点，且，则p的值为______15．数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为______16．已知平行四边形内接于椭圆，且的斜率之积为，则椭圆的离心率为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，将△BCD沿对角线BD折起到△BDC′的位置，如图2所示，并使得平面BDC′⊥平面ABD，E是BD的中点，FA⊥平面ABD，且FA=.图1图2（1）求平面FBC′与平面FBA夹角的余弦值；（2）在线段AD上是否存在一点M，使得⊥平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由.18．（12分）已知直线方程为（1）若直线的倾斜角为，求的值；（2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程19．（12分）已知椭圆的短轴长为2，左、右焦点分别为，，过且垂直于长轴的弦长为1（1）求椭圆C的标准方程；（2）若A，B为椭圆C上位于x轴同侧的两点，且，共线，求四边形的面积的最大值20．（12分）已知直线和的交点为（1）若直线经过点且与直线平行，求直线的方程；（2）若直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程21．（12分）如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，为的中点，为的中点（1）证明：直线平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值22．（10分）已知直线经过点，，直线经过点，且.(1)分别求直线，的方程；(2)设直线与直线的交点为，求外接圆的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由题意动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：外切∴动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等由抛物线的定义知，点M的轨迹是以C（0，-3）为焦点，直线y=3为准线的抛物线故所求M的轨迹方程为考点：轨迹方程2、D【解析】由题意，圆心到直线的距离，∴，∵直线∴直线的倾斜角为，∵过分别作的垂线与轴交于两点，∴，故选D.3、C【解析】设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可【详解】设，由，因为，，所以，因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立故选：C【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值4、D【解析】利用对立事件的概率求法求飞行目标被雷达发现的概率.【详解】由题设，飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为、，所以飞行目标被雷达发现的概率为.故选：D5、A【解析】根据导数与单调性的关系即可求出【详解】依题可知，在上恒成立，即在上恒成立，所以故选：A6、D【解析】计算出事件“t＝12”的概率可判断A；根据对立事件的概念，可判断B；根据互斥事件的概念，可判断C；计算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判断D；【详解】连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，则共有个基本事件，记t＝m＋n，则事件“t＝12”必须两次都掷出6点，则事件“t＝12”的概率为，故A错误；事件“t是奇数”与“m＝n”为互斥不对立事件,如事件m=3,n=5，故B错误；事件“t＝2”与“t≠3”不是互斥事件，故C错误；事件“t＞8且mn＜32”有共9个基本事件，故事件“t＞8且mn＜32”的概率为，故D正确；故选：D7、A【解析】本题可依次判断“，”是否是“为递减数列”的充分条件以及必要条件，即可得出结果.【详解】若等比数列满足、，则数列为递减数列，故“，”是“为递减数列”的充分条件，因为若等比数列满足、，则数列也是递减数列，所以“，”不是“为递减数列”的必要条件，综上所述，“，”是“为递减数列”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判定，考查等比数列以及递减数列的相关性质，体现了基础性和综合性，考查推理能力，是简单题.8、C【解析】由，可知，使，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.【详解】∵，∴，使，得，解得：，所以故选：C【点睛】思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知，引入参数，使，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由，得，求出m，n.9、A【解析】根据给定条件求出点P的坐标，再代入双曲线方程计算作答.【详解】由双曲线对称性不妨令点P在第一象限，过P作轴于B，如图，因为等腰三角形，且顶角为，则有，，有，于是得，即点，因此，，解得，所以双曲线C的离心率为.故选：A10、A【解析】根据或且非命题的真假进行判断即可.【详解】当,故命题是真命题，，故命题是真命题.因此可知是假命题，是真命题，，均为真命题.故选:A11、B【解析】设公共焦点为，推导出，可得出，进而可求得、的值.【详解】设公共焦点为，则，则，即，故，即，，故选：B12、D【解析】直接利用向量的坐标运算求解即可【详解】因为，所以，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用导数可求得函数的最小值，要使函数有零点，只要，求得函数的最小值，即可得解.【详解】解：，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，因为函数有零点，所以，解得.故答案为：.14、3【解析】根据抛物线焦点弦性质求解，或联立l与抛物线方程，表示出，求其最值即可.【详解】已知，设，，，则，∵，所以，，∴，当且仅当m=0时，取..故答案为：3.15、【解析】根据题意得，表示点与点与距离之和的最小值，再找对称点求解即可.【详解】函数，表示点与点与距离之和的最小值，则点在轴上，点关于轴的对称点，所以，所以的最小值为：.故答案为：.16、##0.5【解析】根据对称性设，，，根据得到，再求离心率即可.【详解】由对称性，，关于原点对称，设，，，，故.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）不存在，理由见解析【解析】（1）利用垂直关系，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量和，利用公式，即可求解；（2）若满足条件，，利用向量的坐标表示，判断是否存在点满足.【小问1详解】∵，E为BD的中点∴CE⊥BD，又∵平面⊥平面ABD，平面平面，⊥平面，∴⊥平面ABD，如图以E原点，分别以EB、AE、EC′所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，A(0，-，0)，D(-1，0，0)，F(0，-，2)，(0，0，)，∴=(-1，-，2)，=(-1，0，)，=(1，，0)，设平面的法向量为=(x，y，z)，则，取z=1，得平面的一个法向量=(，1，1)，设平面FBA的法向量为=(a，b，c)，则取b=1，得平面FBA的一个法向量为=(-，1，0)，∴设平面ABD与平面的夹角为θ，则∴平面ABD与平面夹角的余弦值为.【小问2详解】假设在线段AD上存在M(x，y，z)，使得平面，设(0≤λ≤1)，则(x，y+，z)=(-1，，0)，即(x，y+，z)=(-λ，，0)，∴，，z=0，∴，是平面的一个法向量由∥，得，此方程无解.∴线段AD上不存点M，使得平面.18、（1）；（2）面积的最小值为，此时直线的方程为.【解析】（1）由直线的斜率和倾斜角的关系可求得的值；（2）求出点、的坐标，根据已知条件求出的取值范围，求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程.【小问1详解】解：由题意可得.【小问2详解】解：在直线的方程中，令可得，即点，令可得，即点，由已知可得，解得，所以，，当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.19、（1）（2）2【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程.（2）延长，交椭圆C于点．设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据对称性求得四边形的面积的表达式，利用换元法，结合基本不等式求得四边形的面积的最大值.【小问1详解】由题可知，即，因为过且垂直于长轴的弦长为1，所以，所以所以椭圆C的标准方程为【小问2详解】因为，共线，所以延长，交椭圆C于点．设，由（1）可知，可设直线的方程为联立，消去x可得，所以，由对称性可知设与间的距离为d，则四边形的面积令，则．因为，当且仅当时取等号，所以，即四边形的面积的最大值为2【点睛】在椭圆、双曲线、抛物线中，求三角形、四边形面积的最值问题，求解策略是：首先结合弦长公式、点到直线距离公式等求得面积的表达式；然后利用基本不等式、二次函数的性质等知识来求得最值.20、（1）（2）或【解析】（1）由已知可得交点坐标，再根据直线间的位置关系可得直线方程；（2）设直线方程，根据直线与两坐标轴围成的三角形的面积，列出方程组，解方程.【小问1详解】解：联立的方程，解得，即设直线的方程为：，将带入可得所以的方程为：；【小问2详解】解：法①：易知直线在两坐标轴上的截距均不为，设直线方程为：，则直线与两坐标轴交点为，由题意得，解得：或所以直线的方程为：或，即：或.法②：设直线的斜率为，则的方程为，当时，当时，所以，解得：或所以m的方程为或即：或.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）取的中点，连接交于，连接，，由平面几何得，再根据线面平行的判定可得证；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法即可得结果.【小问1详解】取的中点，连接交于，连接，在三棱柱中，为的中点，，为的中点，且，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面；【小问2详解】平面，，平面，，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量为，则即取，则，，又是平面的一个法向量，，故平面和平面夹角的余弦值为22、（1）；（2）.【解析】（1）根据