2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.5.3平面与平面平行练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE第八章8.58.5.3A级——基础过关练1．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A．肯定平行 B．肯定相交C．平行或相交 D．以上推断都不对【答案】C【解析】可借助于长方体推断两平面对应平行或相交．2．(2024年北京西城区期末)下列命题中不正确的是()A．平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a肯定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的随意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线【答案】A【解析】对于A，α有可能平行于平面β，也有可能在平面β内，A不正确．易推断B，C，D均正确．故选A．3．有一正方体木块如图所示，点P在平面A′C′内，要经过点P和棱BC将木块锯开，锯开的面必需平整，有N种锯法，则N为()A．0 B．1C．2 D．多数【答案】B【解析】易知BC∥平面A′C′，且P，B，C不在同一条直线上，所以过P，B，C三点有且只有1个平面．4．(多选)已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，则下列不正确的是()A．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,β∥c))⇒α∥β B．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥γ,β∥γ))⇒α∥βC．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,a∥c))⇒a∥α D．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ,β∥γ))⇒a∥β【答案】ACD【解析】对A，α与β有可能相交；B正确；对C，有可能a⊂α；对D，有可能a⊂β.故选ACD．5．已知三棱柱ABC-A1B1C1，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．【答案】平行【解析】∵D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，∴在平行四边形AA1B1B与平行四边形BB1C1C中，DE∥AB，EF∥BC，∴DE∥平面ABC，EF∥平面ABC．又DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面ABC．6．已知平面α，β是两个不重合的平面，a，b，c，d是四条直线且a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的关系是________．【答案】相交或平行【解析】依据图1和图2可知α与β平行或相交．图1图27．已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥β，则α∥β；③若a∥α，a∥β，则α∥β；④若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b.其中正确命题的序号是________．【答案】④【解析】①错误，α与β也可能相交；②错误，α与β也可能相交；③错误，α与β也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．8．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点．求证：直线EG∥平面BDD1B1.证明：连接SB．∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB．又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.9．如图，在四棱锥P-ABCD中，点E为PA的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD．证明：因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，所以点O为BD的中点．又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD．又OF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以OF∥平面PCD．因为点O，E分别是AC，AP的中点，所以OE∥PC．又OE⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以OE∥平面PCD．又OE⊂平面EFO，OF⊂平面EFO，且OE∩OF＝O，所以平面EFO∥平面PCD．B级——实力提升练10．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G【答案】A【解析】画出相应的截面如图所示，易知平面E1FG1与平面EGH1.故选A．11．(2024年合肥模拟)已知m，n，l1，l2表示不同直线，α，β表示不同平面，若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则能得出α∥β的是()A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2【答案】D【解析】对于A，当m∥β且l1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A错误；对于B，当m∥β且n∥β时，若m∥n，则α，β可能平行也可能相交，故B错误；对于C，当m∥β且n∥l2时，α，β可能平行也可能相交，故C错误；对于D，当m∥l1，n∥l2时，由线面平行的判定定理可得l1∥α，l2∥α，又l1∩l2＝M，由面面平行的判定定理可以得到α∥β.故选D．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则该截面的面积为()A．2eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(6) D．4【答案】C【解析】由题意作截面如图所示，易知该截面唯一，且E，F分别为AB，D1C1的中点．又在正方体中，可得A1E＝CE＝CF＝FA1＝eq\r(5)，所以四边形A1ECF为菱形．又A1C＝2eq\r(3)，EF＝2eq\r(2)，故截面面积为2eq\r(6).13．如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则GH＝________.【答案】eq\f(\r(3),2)【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD．因为E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD．又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH.因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，所以G是PD的中点．因为PA＝PB＝AB＝2，所以PE＝2×sin60°＝eq\r(3).所以GH＝eq\f(1,2)PE＝eq\f(\r(3),2).14．如图是正方体的平面绽开图．在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．【答案】①②③④【解析】以正方形ABCD为下底面还原正方体，如图．易判定四个命题都是正确的．15．如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图所示，设DF与GN交于点O.连接AE，则AE必过点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，则BD∥MN.因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE∩BD＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以平面BDE∥平面MNG.16．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解：点E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1，证明如下：(方法一)取AB1的中点F，连接DE，EF，FC1.因为E，F分别为AB，AB1的中点，所以EF∥BB1且EF＝eq\f(1,2)BB1.在三棱柱ABC-A1B1C1中，DC1∥BB1且DC1＝eq\f(1,2)BB1，所以EFDC1，四边形EFC1D为平行四边形，所以ED∥FC1.又ED⊄平面AB1C1，FC1⊂平面AB1C1，所以ED∥平面AB1C1.(方法二)取BB1的中点H，连接EH，DH，ED．因为E，H分别是AB，BB1的中点，则EH∥AB1.又EH⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EH∥平面AB1C1.又HD∥B1C1.同理可得HD∥平面AB1C1.又EH⊂平面EHD，HD⊂平面EHD，EH∩HD＝H，所以平面EHD∥平面AB1C1.因为ED⊂平面EHD，所以ED与平面AB1C1无交点，所以ED∥平面AB1C1.C级——探究创新练17．(2024年北碚区期末)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))【解析】如图所示，分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1.∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF.∴MN∥平面AEF.∵AA1∥NE，AA1＝NE，∴四边形AENA1为平行四边形．∴A1N∥AE.又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF.又A1N∩MN＝N，∴平面A1MN∥平面AEF.∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M＝eq\r(A1B\o\al(2,1)＋B1M2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N＝eq\f(\r(5),2)，∴△A1MN为等腰三角形．当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时