江苏省苏州市吴江区运河实验初级中学2024届九年级上学期10月月考数学试卷(含答案)

2023-2024学年江苏省苏州市吴江实验中学九年级第一学期月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，5，﹣1 B．3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1答案：C．2．若关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根，则a的值可以是（）A．2 B．5 C．0.5 D．0.25答案：D．3．用配方法将2x2﹣4x﹣3＝0变形，结果是（）A．2（x﹣1）2﹣4＝0 B． C． D．（x﹣1）2﹣5＝0答案：C．4．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根答案：A．5．下列说法中，正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弧所对的圆周角相等 C．三点确定一个圆 D．三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等答案：B．6．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3） B．点（2，3） C．点（5，1） D．点（6，1）答案：C．7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（）A．50° B．80° C．100° D．130°答案：D．8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB于点D，E是线段BC上一点，且ED＝EB，则EF的最小值为（）A．3 B．2 C． D．2答案：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．若关于x的方程（m﹣3）x|m|+2+2x﹣7＝0是一元二次方程，则m＝0．10．若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是相离．11．若关于x的一元二次方程x2+2ax+3b＝0的一个根为3，则2a+b＝﹣3．12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为12．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝62°．14．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸（注：1尺＝10寸），则这块圆柱形木材的直径是26寸．15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD．设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为4+6．16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E．若CD＝5，AB＝6，当EF取得最大值时，CE的长度为．三、解答题（本大题共11小题，共82分）17．用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）2﹣5＝0；（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）；（3）2y2﹣5y+2＝0；（4）2m2﹣7m﹣3＝0．解：（1）（x﹣1）2﹣5＝0，（x﹣1）2＝5，∴x﹣1＝，∴x1＝1+，x2＝1﹣．（2）x（x+4）＝﹣3（x+4），x（x+4）+3（x+4）＝0，（x+4）（x+3）＝0，∴x+4＝0或x+3＝0，∴x1＝﹣4，x2＝﹣3；（3）2y2﹣5y+2＝0，（2y﹣1）（y﹣2）＝0，∴2y﹣1＝0或y﹣2＝0，∴y1＝，y2＝2；（4）2m2﹣7m﹣3＝0，这里a＝2，b＝﹣7，c＝﹣3，∴Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣3）＝49+24＝73＞0，∴m＝＝，∴m1＝，m2＝．18．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．（1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是6cm＜r＜10cm．解：（1）如图，连接AC，∵AB＝6cm，AD＝8cm，∴AC＝10cm，∵⊙A的半径为6cm长，∴点B在⊙A上，点C在⊙A外，点D在⊙A外；（2）∵以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，∴⊙A的半径r的取值范围是6cm＜r＜10cm．故答案为：6cm＜r＜10cm．19．已知关于x的方程x2+2x+3m﹣4＝0的一个根是2，求另一个根和m的值．解：把x＝2代入方程得4+4+3m﹣4＝0，解得m＝﹣，方程化为x2+2x﹣8＝0，设方程的另一根为x2，则2+x2＝﹣2，解得x2＝﹣4，即方程的另一个根为﹣4，m的值为﹣．20．已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．解：原式＝x2﹣2x+1+x2+x＝2x2﹣x+1，∵3x2﹣2x﹣3＝0，∴x2﹣x＝1，∴原式＝2（x2﹣x）+1＝2×1+1＝3．21．已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0，其中k是整数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，若x1，x2是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值；（1）证明：根据题意得k≠0，∵Δ＝（4k+1）2﹣4k（3k+3）＝4k2﹣4k+1＝（2k﹣1）2，而k为整数，∴2k﹣1≠0，∴（2k﹣1）2＞0，即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0的两个实数根分别为x1，x2，∵x1+x2＝，x1•x2＝，∵k直角三角形的两直角边，∴+＝，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝，∴（）2﹣2×＝，∴k＝2或k＝﹣（不合题意舍去），∴k＝2．22．“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．解：（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意得：700（1+x）2＝1008，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：亩产量的平均增长率为20%．（2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．∵1209.6＞1200，∴他们的目标能实现．23．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且＝，连接CD，交AB于点E，连接BC，BD．（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度数；（2）∠ABD的平分线交CD于点F，求证：BC＝CF．解：（1）连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵＝，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵∠AOD＝130°，∴∠ACD＝65°，∵∠BEC是△ACE的外角，∴∠BEC＝∠A+∠ACD＝110°．（2）证明：∵BF平分∠ABD，∴∠EBF＝∠DBF，∵，∴∠ABC＝∠CDB，又∵∠CFB＝∠FBD+∠FDB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，∴∠CBF＝∠CFB，∴CF＝BC．24．【观察思考】：某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH＝8分米，PQ＝6分米，OP＝4分米．​【解决问题】：（1）点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是12分米；（2）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？（3）：①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是6分米；②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积的最大值．解：（1）当O、P、Q在同一条直线上时，点Q与点O的距离最大，此时，OQ＝OP+PQ＝4+6＝10（分米），点Q滑动到最左端时，在Rt△OHQ中，由勾股定理得HQ＝＝＝6（分米），同理可得：点Q滑动到最右端时，HQ＝6分米，∴点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是2HQ＝2×6＝12（分米）；故答案为：12；（2）不对，理由如下：当点Q滑动到点H的位置时，OP＝4分米，PQ＝6分米，OQ＝8分米，∵OP2+PQ2＝42+62＝52，OQ2＝82＝64，∴OQ2≠OP2+PQ2，即△OPQ不是直角三角形，则OP不与PQ垂直，∴PQ与⊙O不相切；（3）①∵PQ的长度固定，为6分米，∴当PQ⊥l时，点P到到l的距离最大，为6分米；故答案为：6；②由①知，在⊙O上存在点P的l的最大距离为6分米，此时，OP将不再向下转动，设点P在右侧的最远位置为P，在左侧的最远位置为P′，如图，连接P′P交OH于点D，∴OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是POP′，∵P′Q′⊥l，PQ⊥l，P′Q′＝PQ＝6分米，∴四边形PQQ′P′为矩形，∴QQ′∥PP′，∵OH⊥QQ′，∴OD⊥PP′，∴PD＝P′D，∵OD＝OH﹣DH＝8﹣6＝2（分米），在Rt△POD中，cos∠DOP＝＝＝，∴∠DOP＝60°，∴∠POP′＝120°，∴S扇形POP′＝＝（平方分米），即扇形面积的最大值平方分米．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，交AC边于点E．过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE．（1）求证：BD＝CD；（2）若∠G＝40°，求∠AED的度数．（3）若BG＝6，CF＝2，求⊙O的半径．（1）证明：连接AD，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD；（2）解：连接OD，∵GF是切线，OD是半径，∴OD⊥GF，∴∠ODG＝90°，∵∠G＝40°，∴∠GOD＝50°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝65°，∵点A、B、D、E都在⊙O上，∴∠ABD+∠AED＝180°，∴∠AED＝115°；（3）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴△GOD∽△GAF，∴＝，∴设⊙O的半径是r，则AB＝AC＝2r，∴AF＝2r﹣2，∴＝，∴r＝3，即⊙O的半径是3．26．阅读材料：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式；求解二元一次方程组，把它转化为元一次方程来解；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，遇到实际问题，还要考虑是否符合题意．以上解决新问题时，都用到了一个基本数学思想——转化，即把未学过的知识转化为已经学过的知识，从而找到解决问题的办法，也是同学们要掌握的数学素养．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）问题：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝﹣3，x3＝；（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝21m，宽AB＝8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．解：（1）方程6x3+14x2﹣12x＝0的左边因式分解，得：2x（3x2+7x﹣6）＝0，∴2x＝0或3x2+7x﹣6＝0，∴x1＝0，x2＝﹣3，；故答案为：﹣3；；（2）方程的两边平方，得：2x+3＝x2，即x2﹣2x﹣3＝0，∴x1＝3，x2＝﹣1，经检验，当x＝﹣1时，，因此﹣1不是原方程的解，∴方程的解是：x＝3；（3）设AP＝xm，则PD＝（21﹣x）m，∵BP+CP＝27，，，∴，∴，两边平方，得：．整理，得：，两边平方并整理，得：x2﹣21x+90＝0，解得x1＝15，x2＝6，经检验，x1＝15，x2＝6都是方程的解，∵AP＞PD，∴x＝6不合题意，舍去．答：AP的长为15m．27．定义：在等腰三角形中，若有一条边是另一条边的2倍，则称这个三角形为倍腰三角形．理解定义：若有一个倍腰三角形有一条边为2，求这个倍腰三角形的周长；性质探究：判断下列关于倍腰三角形的说法是否正确，正确的打“√”；错误的打“×”；（1）所有的倍腰三角形都是相似三角形√（2）若倍腰三角形的底角为α，则tanα＝√（3）如图1，依次连接倍腰三角形ABC各边的中点，则图1中共有4个倍腰三角形×性质应用：如图2，倍腰三角形△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC，若⊙O的半径为1，求倍腰三角形△ABC的面积；拓展应用：如图3，⊙O是倍腰三角形△ABC的外接圆，直径BH⊥AF于点D，AF与BC相交于点E，AC与BH相交于点G，△ABE是倍腰三角形，其中AB＝AE，BE＝2．请直接写出CG的长．解：理解定义，当2是倍腰三角形的腰时，它的底为1，周长为5；当2是倍腰三角形的底时，它的腰为4，周长为10；