《机械控制工程基础 第2版》 课件 第7章-控制系统的稳定性

1第7章控制系统的稳定性线性系统的稳定性几何稳定性判据3系统稳定性的基本概念及稳定条件1代数稳定性判据24系统的相对稳定性7.1系统稳定性的基本概念及稳定条件系统稳定性定义：系统稳定性是指系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，当扰动取消后，系统又能逐渐恢复到原来的状态或趋于一个新的平衡状态，则称系统是稳定的，或具有稳定性；否则，称系统是不稳定的，或不具有稳定性。稳定性是系统固有的特性，只取决于系统结构参数，而与初始条件及外界作用无关。系统稳定性的条件当系统输入为单位脉冲函数

(t)，如果输出xo(t)随着时间的推移

趋于零，即设线性定常系统：闭环传递函数为：系统稳定的充分必要条件：系统的传递函数特征方程：此方程的根称为系统特征根，特征方程的解可表示为：

若所有特征根si的实部

j均为负值，则零输入响应最终将衰减到零即，这样的系统是稳定的；若特征根中有一个或多个根具有正实部，则零输入响应随时间的推移而发散，即,系统不稳定。系统稳定的充分必要条件：充要条件：系统特征方程根全部具有负实部；即：如果一个系统的特征根全部落在[s]平面的左半部分，则该系统是稳定的；否则系统是不稳定。（当特征根具有负实部，则此特征根在复平面左侧。）系统的闭环极点中，若有极点实部为零，而其余极点全部位于[s]平面左半部时，称系统为临界稳定状态。当系统处于临界稳定状态时，系统输出信号将出现等幅振荡；在工程中这样的系统通常不能被采用，因为这样的系统参数微小的变化就会导致系统的不稳定。为了判断系统的稳定性，除了直接求出系统特征根外，还有许多其他判断系统稳定性的方法，用这些方法不必解出特征根就能确定系统的稳定性。7.2代数稳定性判据5.2.1劳斯判据其中，所有的系数均为实数。这个方程的根没有正实部的必要(但并非充分)条件为:Routh判据的必要条件：

(1)方程各项系数的符号一致。(2)方程各项系数非0。7.2.1劳斯判据特征方程：首先列出下面的劳斯表其中，前两行中不存在的系数可以填“0”元素b1、b2…c1、c2…e1、e2…f1、g1根据下式计算7.2.1劳斯判据计算bi时，所用二阶行列式是由劳斯表右侧前两行组成的二行阵的第1列与第i+1列构成的。系数b的计算一直进行到其余值为零时止。7.2.1劳斯判据计算ci时所用的二阶行列式是由劳斯表右侧第二、三行组成的二行阵的第1列与第i+1列构成的;同样，系数c的计算一直进行到其余值为零为止。7.2.1劳斯判据——判定标准劳斯判据判定系统稳定的充分必要条件：若劳斯表中第1列元素的符号没有变化，则系统稳定；若第1列元素有变化，其变化的次数等于该特征方程的根在[s]平面右半部的个数，则系统不稳定。7.2.1劳斯判据例7.1系统的特征方程为用劳斯判据判断系统是否稳定。解：因为方程各项系数非零且符号一致，满足方程的根在复平面左半平面的必要条件，但仍然需要检验它是否满足充分条件。计算其劳斯表中各个参数如下7.2.1劳斯判据第一列元素符号改变，因而系统不稳定。符号改变两次，有两个根在复平面右半部分7.2.1劳斯判据—特例1（1）劳斯表某一行的第一列元素为零，其他项元素均为非零。判定方法：将等于零的那一行第一项元素替换为任意小的正数

；继续计算劳斯表后续行元素如果劳斯表第一列元素符号有变化，其变化次数等于[s]右半平面上特征根个数，表明该系统不稳定。7.2.1劳斯判据—特例1例7.2已知线性系统的特征方程，用劳斯判据判断系统稳定性。解：可以将0元素替换为一小的正数

，继续计算劳斯表。各项系数非零且同号，因此可以进一步用劳斯判据。计算劳斯表为第一列元素中有两次符号改变，系统不稳定7.2.1劳斯判据—特例2（2）劳斯表某一行元素全为零判定方法：第一步，采用0元素行的上一行元素作为系数建立辅助方程计算辅助方程对s的导数用各项系数来代替0元素行用替换后新得到的元素行继续计算劳斯表根据劳斯表中第一列各元素的符号改变情况判断系统的稳定性7.2.1劳斯判据—特例1例7.3已知线性系统的特征方程，用劳斯判据判断系统稳定性。解计算劳斯表为用系数8和0替换原表中

行中的0元素的劳斯表为第一列元素符号没有改变，说明特征方程没有根在[s]右半平面，系统稳定Routh判据的应用——分析系统参数对稳定性的影响引申例题：某机械系统的系统方框图如下图所示，试确定保证系统稳定时，系统参数K1的取值范围-解：系统闭环传递函数为：建立劳斯表：特征方程为：结果：7.2.2赫尔维茨判据系统的传递函数系统的特征方程式7.2.2赫尔维茨判据7.2.2赫尔维茨判据5.2.2赫尔维茨判据例7.6单位负反馈系统的开环传递函数为7.2.2赫尔维茨判据7.3几何稳定性判据劳斯判据建立在已知闭环系统的特征方程为基础，而有些实际系统的特征方程是无法列写的，通过劳斯表仅可以推断出系统是否稳定却无法判断系统稳定的程度。奈奎斯特提出一种用闭环系统的开环传递函数G(s)H(s)的频域曲线（即奈奎斯特图），不但可以判断稳定性，而且还能够指出稳定的程度。设系统的开环传递函数7.3.1幅角原理奈奎斯特稳定判据需要用到复变函数中的辐角原理，对于复变函数，若在[s]平面上任意选择一条封闭曲线Ls，只要曲线Ls不经过F(s)的极点和零点，则在像平面[F(s)]上的像也为一条封闭曲线，记为LF。若LF绕原点按顺时针转N周，则:N=Z-P其中,Z和P分别为包含在Ls内F(s)的零点和极点的个数。关于幅角原理的说明LFRe

Lsj

7.3.1幅角原理根据复数性质可知，两个复数积的幅角等于它们幅角的和。F(s)的幅角为设F(s)的零点、极点、分布如图7.2(a)所示。7.3.2奈奎斯特稳定性判据1.奈奎斯特路径在[s]的复平面上，以虚轴由-

到+

的直线为左边界，做一个顺时针包围右半面的封闭曲线，以+

为半径从虚轴的正向顺时针转

角到虚轴的负向的半径为无穷大的半圆。称封闭曲线为复平面[s]上的奈奎斯特图。L1和L2两段线包围了复平面[s]的右半面。7.3.2奈奎斯特稳定性判据2.用系统闭环传递函数表示的奈奎斯特判据

当已知系统有Z个零点时，系统的传递函数可以表示为

绘制出Ls的由GB(s)映象的曲线绕原点按顺时针转的周数N来判断系统的稳定性，当N=Z时，系统是稳定的；当N<Z时，系统是不稳定的。7.3.2奈奎斯特稳定性判据3.用系统的开环传递函数表示的奈奎斯特判据+-在通常情况下，并不能容易地得到系统闭环传递函数，只能得到闭环系统的开环传递函数，形式为对于上图中的闭环控制系统，其传递函数为系统的特征方程由闭环系统传递函数的分母等于零得出，即系统的特征方程为7.3.2奈奎斯特稳定性判据系统的特征方程：+-设：则：可见，闭环系统的开环传递函数G(s)H(s)的极点就是GB(s)的零点，而D(s)的零点就是闭环系统GB(s)的极点。因此，可以用D(s)来判别闭环系统的稳定性所以系统稳定的充要条件是：D(s)函数在Ls内有P个极点时，其像曲线绕D(s)像平面原点逆时针转P圈。7.3.2奈奎斯特稳定性判据因此，奈奎斯特稳定判据可表述为：当开环传递函数G(s)H(s)在复平面[s]的右半面内没有极点时，闭环系统的稳定性的充要条件是：G(s)H(s)平面上的映射围线

L不包围（-1，j0）点。

[D(s)]平面和[GH)]平面的奈奎斯特图关系[D]D(s)平面与[GH]平面间的关系是：G(s)H(s)=D(s)-17.3.2奈奎斯特稳定性判据如果G(s)H(s)在[s]的右边面有极点，闭环控制系统稳定的充分必要条件为：当

由-

向+

变化时，开环频率特性G(s)H(s)的奈奎斯特周线Ls的映射围线

L沿逆时针方向包围（-1，j0）点的周数等于G(s)H(s)在复平面[s]的右半面内极点的个数p。因此又可叙述如下：闭环系统稳定的充要条件是，当

由0向+变化时，开环奈奎斯特图应当按逆时针包围（-1，j0）点的p/2周，p是开环传递函数右半平面内极点的个数。7.3.2奈奎斯特稳定性判据例7.7三个闭环系统的开环传递函数为Gk(s)=k/(1+T1s)、Gk(s)=k/(1+T1s)(1+T2s)、Gk(s)=k/(1+T1s)(1+T2s)(1+T3s)，系统时间常数T1、T2、T3均大于零，系统的奈奎斯特图分别如图7.8所示，根据奈奎斯特稳定判据判定闭环系统的稳定性。解：（1）系统时间常数均大于零，故开环系统在[s]的右半面内没有极点，p=0。（这三个系统均是开环稳定的）（2）当

由0变到+

时，开环奈奎斯特曲线不包围（-1，j0）点，（3）根据奈奎斯特稳定判据，无论k取何正值，系统都是稳定的。7.3.2奈奎斯特稳定性判据例7.8系统的开环传递函数分别为Gk(s)=k/s(1+T1s)、Gk(s)=k/s(1+T1s)(1+T2s)，系统时间常数T1、T2均大于零，所对应的系统的奈奎斯特图分别如图7.9所示，根据奈奎斯特稳定判据判定闭环系统的稳定性。解：1）开环传递函数包含积分环节，奈奎斯特曲线不封闭，不能说明开环传递函数的奈奎斯特曲线是否包围（-1，j0）点。2）在奈奎斯特曲线上需画出辅助曲线来判定闭环系统的稳定性。方法是：以原点为圆心，以无穷大为半径作圆，从奈奎斯特曲线的起始端（

=0）沿逆时针方向转过

90°（

是积分环节个数），并与实轴相交，该交点即为奈奎斯特曲线的新起点，使曲线封闭，再进行稳定性判断。7.3.2奈奎斯特稳定性判据原图补充后的图由已知条件得，开环传递函数无正实部极点，即p=0；当

由0→+

变化时，图（a）中开环极坐标图在（-1，j0）点左侧没有穿越负实轴，所以系统闭环稳定。而图（b）中开环极坐标图在（-1，j0）点左侧对负实轴有一次负穿越，所以系统闭环不稳定。7.3.2奈奎斯特稳定性判据关于奈奎斯特判据的几点说明：（1）奈奎斯特判据的证明虽然较复杂，但应用简单。一般系统开环传递函数多为最小相位传递函数，p=0，故只看开环奈奎斯特轨迹是否包围（-1，j0）点，若不包围，系统就稳定。（2）当开环传递函数为非最小相位传递函数，即p0时，先求p，再看开环奈奎斯特图包围点（-1，j0）圈数，若逆时针包围点（-1，j0）p圈，则系统稳定。（3）在p=0，即Gk(s)在[s]平面的右半平面无极点时，称开环稳定；在p0，即开环传递函数在[s]平面的右半面有极点时，称开环不稳定。(4)开环不稳定，闭环仍可能稳定；开环稳定，闭环也可能不稳定。(5)开环不稳定而其闭环却能稳定的系统，在实用上有时是不太可靠的。7.3.2奈奎斯特稳定性判据例：7.3.2奈奎斯特稳定性判据方法二：利用穿越的方法注意到，-∞到+∞的像是对称的，故可只画出ω由0到+∞所对应的像轨迹;特别是当包围(-1,j0)点转动的周数比较多时，可引入“穿越”的概念。对于复杂的开环极坐标图，还可以采用开环系统奈奎斯特图中正、负穿越的概念来判别系统稳定性。穿越的概念正穿越：如果开环极坐标图按逆时针方向（从上向下）穿过负实轴，称为正穿越，正穿越时相位增加；负穿越：按顺时针方向（从下向上）穿过负实轴，称为负穿越，负穿越时相位减小。7.3.2奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定判据又可以叙述如下：闭环系统稳定的充要条件是：·当

由0向+

变化时，开环频率特性极坐标图在点（-1，j0）左侧正、负穿越负实轴次数之差应为p/2，p是开环传递函数正实部极点的个数。·G(s)H(s)起始于负实轴上，或终止于负实轴时，穿越次数定义为1/2次。·若开环极坐标图在点（-1，j0）左侧负穿越负实轴次数大于正穿越的次数。则闭环系统一定不稳定。7.3.2奈奎斯特稳定性判据（a）图：开环传递函数在复平面的右半面有一个极点，即P=1，因而开环是不稳定的；而开环传递函数的奈奎斯特曲线穿越次数为1/2，闭环系统是稳定的。（b）图：，同样是开环传递函数的奈奎斯特曲线穿越次数为1/2，虽然开环在复平面的右半面没有极点，是稳定的，但闭环系统不稳定。奈奎斯特曲线穿越次数为1/2的情况a）P=1b）P=07.3.2奈奎斯特稳定性判据解：p=2，

由0向变化，奈奎斯特图在点（-1，j0）左侧正负穿越负实轴次数之差是2-1=1=p/2，所以闭环系统稳定。闭环系统的稳定性与系统典型传递环节的参数有关，参数的变化往往会导致系统由稳定转向了不稳定。例7.9已知系统开环传递函数有2个正实部极点，开环极坐标图如图7.14所示，试分析闭环系统是否稳定。开环伯德图判定闭环系统的稳定性通常，要想得到系统的精确极坐标图是比较困难的，而系统的对数坐标图相对容易画出。因此，希望能够利用系统开环伯德图来判别闭环系统的稳定性。由此带来了一个关键的问题：极坐标图中（-1，j0）点左侧正、负穿越负实轴是如何和对数坐标图相对应的？它们之间有什么样的内在关系？开环伯德图判定闭环系统的稳定性根据奈奎斯特稳定性判据，若一个控制系统，其开环是稳定的，闭环系统稳定的充分必要条件是开环奈奎斯特特性图不包围(-1,j0)点。1、伯德图与奈奎斯特图的关系

图中的特性曲线1对应的闭环系统是稳定的，而特性曲线2对应的闭环系统是不稳定的。开环伯德图判定闭环系统的稳定性所以，对应下图特性曲线1(闭环系统是稳定的)在ωc点处：而在ωg点处：开环伯德图判定闭环系统的稳定性由此可知：开环奈奎斯特图上的单位圆与伯德图对数幅频特性的0dB线相对应；单位圆与负实轴的交点与伯德图对数相频特性的-π轴对应。奈奎斯特图Bode图开环伯德图判定闭环系统的稳定性因此：开环奈奎斯特曲线与(-1,j0)点以左实轴的穿越就相当于L(ω)≥0的所有频率范围内的对数相频特性曲线与-180o的穿越点。当ω增加时相角增大为正穿越。所以：在对数相频特性图中，L(ω)≥0范围内开环对数相频特性曲线，由下而上穿过-180o线时为正穿越；由上自下，为负穿越。奈奎斯特图Bode图开环伯德图判定闭环系统的稳定性例7.11已知系统开环特征方程的右根数P，以及开环伯德图如图(a)，(b)、(c)所示，试判断闭环系统的稳定性。稳定稳定不稳定7.4系统的相对稳定性用奈奎斯特稳定判据只能判断系统是否稳定，但不能知道稳定的程度。如图，即使是同样结构的系统，由于比例环节的取值不同，系统就可由稳定状态变成不稳定的。因此，希望实际的控制系统不但是一个稳定的系统，而且要求它具有足够的稳定程度或稳定裕度。如果一个系统的稳定裕度大，那么即使系统受到一定的干扰，系统也完全可以工作在稳定的状态。7.4系统的相对稳定性1.相位稳定裕度

在[L(s)]平面上，系统开环传递函数的奈奎斯特轨迹与复平面上以原点为中心的单位圆相交的频率称为幅值穿越频率，用

c表示。定义交点的矢量与负实轴的夹角为相位稳定裕度，即

在第二象限为负，在第三象限为正。

>0时，系统稳定；

<0

时，系统不稳定。

越大，系统的稳定裕度越大。7.4系统的相对稳定性L[s]平面上的单位