（人教A版）2021年新高二数学暑假讲义-第二十讲空间向量的运用

第二十讲空间向量的运用

【知识梳理】

1.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：给定一个定点A和一个向量a,再任给一个实数3以A为起点作向量办

=ta,则此向量方程叫做直线/的参数方程.向量a称为该直线的方向向量.

(2)平面的法向量：直线/_La,取直线/的方向向量a,则向量。叫做平面a的法向量.

2.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

直线1\,11的方向向量分l\//hn\//

别为H2"1-L"2=」1〃2=O

直线/的方向向量为n,I//an_Lm<^n-m=Q

平面a的法向量为ml-Lan//

平面a,B的法向量分别a//pn//m^>n=Xm

为〃，ma工0n-Lm^>nm=O

3.异面直线所成的角

设a,8分别是两异面直线/i,/2的方向向量，则

a与方的夹角尸/l与，2所成的角0

©

范围(0,7t)

C0S

Rab夕=9。5阴=品

求法cos^~\a\\b\

4.求直线与平面所成的角

设直线/的方向向量为a,平面a的法向量为〃，直线/与平面a所成的角为仇则sin。=幽

5.求二面角的大小

(1)如图①，AB,CD是二面角a-1-p的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小3=_

〈油，eb).

W1

（2）如图②③，n\,m分别是二面角a—/一夕的两个半平面a,4的法向量，则二面角的大小。

满足|cos8l=|cos〈〃1,〃2）二面角的平面角大小是向量n\与“2的夹角（或其补角）.

6.点到平面的距离

用向量方法求点8到平面距离基本思路：确定平面法向量，在平面内取一点A,求向量油到

法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面a的法向量为〃，点B到平

面a的距离4=噜菖.

【考点剖析】

考点一利用空间向量证明平行问题

【例1】如图，在四面体ABCO中，AOL平面BCD,BC1CD,AD=2,BD=2巾,M是A。

的中点，尸是8M的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC

证明：P。〃平面BCD

【解析】证明法一如图，取8。的中点。，以。为原点，OD,0P所在射线分别为y,z

轴的正半轴，建立空间直角坐标系。一孙z.

由题意知，A（0,啦，2）,5（0,一啦，0）,0（0,啦，0）.

设点C的坐标为（xo,yo，0）.

因为苑=3无，

所以陪必，乎+5o,9

因为M为AO的中点，故M（0,啦，1）.

又P为8M的中点，故，0,0,乡，

所以的=txo,乎+$o,0）.

又平面8c。的一个法向量为。=（0,0,1）,故用“二。.

又PQ6平面BCD,

所以P。〃平面BCD.

法二在线段CD上取点R使得OF=3FC,连接OR同法一建立空间直角坐标系，写出点

A,B,C的坐标，设点C坐标为（次，"，0）.

VCF=|cb,设点F坐标为（x,y,0）,则

（x—xoty-”，0）=（（一沏,啦一yo,0）.

"=3

j3二科A，孚+私。）

7=4+加，

又由法一知所=生0,乎+5o，0），

：.OF=PQ,：.PQ//OF.

又PQC平面BCD,OFu平面BCD,

.•.P。〃平面BCD.

规律方法（1）恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和

垂直的关键.

(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线

的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向

量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.

考点二利用空间向量证明垂直问题

【例2】如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，ZABC=ZBCD=90°,AB=

BC=PB=PC=2CD,侧面P8C_L底面ABCD证明：

⑵平面平面PAB.

【解析】证明⑴取8c的中点0,连接P0,

•.•平面P8CL底面ABCD,APBC为等边三角形，

底面ABCD

以BC的中点。为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点。与AB平行的直线为y轴，0P

所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

不妨设8=1,则A8=BC=2,P0=p

-2,0),B(l,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,4)

：.BD=(-2,-1,0),"=(1,-2,一小).

•.•丽・成=(-2)Xl+(—l)X(—2)+0X(一小)=0,

：.PALBD,：.PALBD.

⑵取物的中点M,连接DM,则“，-1,

'：DM=\^,0,孚],PB={\,0,一小)，

.•.曲而=]X1+0X0+当'X(一小)=0,

VDMM=1xi+0X(-2)+^X(-^/3)=0,

.•.加，或，即。M_L以.

XVMnPB=P,.•.QM_L平面如8.

•.,QMu平面玄。，平面必平面以B.

规律方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而

将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.

(2)用向量证明垂直的方法

①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.

②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.

③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.

考点三用空间向量解决有关位置关系的探索性问题

角度1与平行有关的探索性问题

【例3—1】如图，棱柱ABCO-AiBGDi的所有棱长都等于2,NABC和NAiAC均为60。，

平面AAiGUL平面ABCD.

⑴求证：BDYAAi；

⑵在直线CG上是否存在点P,使8P〃平面D41C,若存在，求出点P的位置，若不存在,

请说明理由.

【解析】⑴证明设3。与AC交于点。，则连接40,在△AAiO中，A4i=2,

AO=1,/4AO=60°,

£

：.AIO2=AAI+AC)2-2AA\-AOCOS600=3,

：.AO2+A\O2=AAI,

：.A\OLAO.

由于平面441CC平面ABC。,且平面A4iGCn平面A3C£>=AC,Ai0u平面A41clC,.,.40,

平面ABCD.

以OB,OC,04所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,

-1,0),B(小,0,0),C(0,1,0),D(一小,0,0),4(0,0,4)，Ci(0,2,小).

由于防=（一2小，0,0）,筋i=（0,1,小）,

筋1历=0X(—2小)+1*0+小X0=0,

：.BD±AA\,BPBDlAAi.

⑵解假设在直线CG上存在点P，使BP〃平面QAG,

设浮=4芯,P(x,y,z),则(x,y-l,z)=A(0,1,回

从而有P(0,1+九小乃，BP=(~y[3,1+2,小Q.

,I〃3_LA|C1,

设〃3_1_平面DA\C\,则一

[/13-LDAl,

又庆i=(0,2,0),血=电0,小)，

J2y3=0,

设“3=(X3，”，Z3)，

・小X3+小Z3=0,

取“3=(1,0,-1),因为BP〃平面DA\C\,

则“3,济，即“3•而=一小一小2=0,得2=-1,

即点P在GC的延长线上，且GC=CP.

角度2与垂直有关的探索性问题

【例3—2】如图，正方形AOEE所在平面和等腰梯形ABC。所在的平面互相垂直，已知BC

=4,AB=AD=2.

⑴求证：ACLBF-,

⑵在线段BE上是否存在一点P,使得平面平面3CEF?若存在，求出器的值；若不存

在，请说明理由.

【解析】⑴证明•.,平面平面ABCD,平面ADEFA平面ABCO=A£>,AFA.AD,ARu

平面ADEF,

：.AF±^1^ABCD.

「ACu平面ABCD,：.AF±AC.

过A作AHLBC于“，贝Ij8〃=l,AH=®CH=3,

：.AC=2y/3,：.AB2+AC2=BC2,：.AC±AB,

".'ABHAF=A,.'.ACL平面或8,

VBFc^®FAB,：.AC±BF.

(2)解存在.由(1)知，AF,AB,AC两两垂直.

以A为坐标原点，AB,AC,乔的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直

角坐标系A-xyz,

则A(0,0,0),8(2,0,0),C(0,2S，0),£(-1,事,2).

假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点8,E重合，设算=九则2>0,

2T2%)

T+I,i+xT+Ir

设平面出C的法向量为m=(x,y,z).

2-zy/3A11'

由协=]+X7+1,Ac=（o,2小，0）,

fH，2T02A

俎门”=市'+1+产而z—0n，

得v

j/t.AC=2y[^y=0,

y=0,

A—2

即4—2令x=l，贝lJz==-,

Z=^TX9

所以邢=(1,0,牙)为平面外。的一个法向量.

同理，可求得〃=11,坐，1)为平面8cM的一个法向量.

2

当加〃=0,即时，平面平面BC",

故存在满足题意的点P,此时瞿

rtLJ

规律方法解决立体几何中探索性问题的基本方法

(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理.

⑵探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x,y,z);②坐标平面内的点其中一个坐标

为0,如xQy面上的点为(x,y,0);③坐标轴上的点两个坐标为0,如z轴上的点为(0,0,z);

④直线(线段)AB上的点P,可设为办=加，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算.

考点四用空间向量求异面直线所成的角

【例4】(1)已知直三棱柱ABC—4BQ中，ZABC=nO°,AB=2,BC=CCi=l,则异面直

线AB\与BC\所成角的余弦值为()

⑵在三棱锥P—ABC中，△ABC和均为等边三角形，且二面角P—BC—A的大小为120。,

则异面直线PB和AC所成角的余弦值为()

5371

B-C--

A.8-484

【答案】(1)C(2)A

【解析】⑴法一以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.

A,

图⑴

则3(0,0,0),3(0,0,1),Ci(l,0,1).

又在△ABC中，NABC=120。，AB=2,则4(一1,小,0).

所以翁尸(1,一小，1),BCi=(l,0,1),

则cos(瓶，BCD=ABrBC

\ABi\-\BCi\

(1,一小，1)•(1,0,1)2yib

小.啦.小.啦—5，

因此，异面直线与BG所成角的余弦值为手.

法二将直三棱柱ABC—补形成直四棱柱48。。一48|。。］(如图(2)),连接A。，B\D\,

则AD\//BC\.

图⑵

则/BAD为异面直线与8。所成的角(或其补角)，易求得ABi=由,8。=4£>1=啦,8|£)1

=小.

由余弦定理得cos/BADi=邛.

(2)法一取的中点0,连接。尸,。4,因为△A8C和△PBC均为等边三角形，所以A0J_8C,

PO1.BC,所以NPOA就是二面角P-BC—A的平面角，即NPOA=120。，过点8作AC的平

行线交A。的延长线于点。，连接PD,则NPBO或其补角就是异面直线尸8和AC所成的角.

/+。2-

5

设AB=a,则P6=BD=a,PO=PD=^a,所以cosNPBD=

2XaXa=8,

法二如图，取的中点。，连接OP,OA,因为△A8C和△PBC均为等边三角形，所以

AOLBC,POLBC,所以3C,平面PAO,即平面必。，平面A8C且NPOA就是其二面角P

—3C—A的平面角，即NPOA=120。，建立空间直角坐标系如图所示.

1\

!

设A5=2,则A（小,0,0）,C（0,-1,0）,B(O,1/

3

所以危=（一小，-1,0）,丽=惇，1，--

2

cos<AC,PB}=-1,所以异面直线P8与AC所成角的余弦值为卷.

OO

法三如图所示，取8C的中点。，连接。P,OA,

因为△ABC和△P8C是全等的等边三角形，所以AOL8C,POLBC,所以NPOA就是二面角

的平面角，设A8=2,则比=Jt一次，PB^OB-OP,

故充丽=（灰>一次）.而一办=一去

所以cos（Ac,PB）="fPB=—

\AC\-m

即异面直线PB与AC所成角的余弦值为《

o

规律方法1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：（1）选好基底或建立空间直角坐标

系；(2)求出两直线的方向向量。1,。2；(3)代入公式|cos〈初，。2〉|=］：；篇求解.

2.两异面直线所成角的范围是ee(0,两向量的夹角a的范围是［0,兀］,当异面直线的方向

向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，

其补角才是异面直线的夹角.

考点五用空间向量求线面角

【例5】如图，在三棱锥产一ABC中，AB=BC=2y［2,PA=PB=PC=AC=4,。为AC的中点.

P

(1)证明：PO_L平面ABC；

⑵若点M在棱上，且二面角M—孙一C为30。，求PC与平面所成角的正弦值.

【解析】(1)证明因为AP=CP=AC=4,。为AC的中点，所以OPLAC,且OP=2小.

连接OB,因为AB=3C=阴C,

所以A序+BC2=AC2,

所以△ABC为等腰直角三角形，

且OBUC,OB=|AC=2.

由O产+OB2=P82知POLOB.

由OPLOB,OP±ACHOBQAC=O,知平面ABC.

(2)解如图，以。为坐标原点，彷的方向为无轴正方向，建立空间直角坐标系。一X”.

由已知得0(0,0,0),8(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2/)，AP=(0,2,

2仍).取平面R1C的一个法向量份=(2,0,0).

设M(a,2~a,0)(0<aW2),则加=(a,4一m0).

设平面以M的法向量为〃=(x,y,z).

由淳〃=0,能〃=0得

2)，+2a=0,

方丁取般=(小(〃—4),小a,一)，

ax+(4—a)y=0,

____2s(a-4)_____

所以cos(OB,n)

2y3(a—4)2+3/+〃2

由已知可得|cos<OB,n)\=29

小口2小|〃―4|=币

「2寸3(〃—4)2+3/+。22，

44

解得。=—4(舍去)，a=y

所以“=(—卑，华，_知

又无=(0,2,一24),所以cos(PC,«)二拳

所以PC与平面出M所成角的正弦值为

规律方法利用向量法求线面角的方法：

⑴分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补

角)；

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，

取其余角就是斜线和平面所成的角.

考点六用空间向量求二面角

【例6】如图1,在高为6的等腰梯形A3CZ)中，AB//CD,且CO=6,AB=\2,将它沿对称

轴OOi折起，使平面ADOO_L平面8coiO,如图2,点尸为BC的中点，点E在线段上(不

同于A,3两点)，连接0E并延长至点Q,使AQ〃。区

图2

(1)(一题多解)证明：平面必。；

(2)若BE=2AE,求二面角C-BQ-A的余弦值.

【解析】⑴证明法一取。。的中点E,连接A凡PF,如图所示.

•.•P为8C的中点，：.PF//OB,

'：AQ//OB,PF//AQ,

：.P,F,A,。四点共面.

由题图I可知

•.•平面A。。。，平面BCQ。，且平面AOOiOCl平面8C0i0=00”03u平面BCO。

.*.08_1_平面4。0。,

.•m平面

又。Ou平面A。。。，C.PFLOD.

由题意知，AO=OO\,OF=O\D,ZAOF=ZOOiD,

：./\AOF^/\OOiD,

：.^FAO=ADOO\,

：.ZFAO+ZAOD=ZDOOi+NAOD=90。，J.AFLOD.

'：AFHPF=F,且AFu平面B4。，PFu平面B4。，

平面PAQ.

法二由题设知。A,OB,。。两两垂直，.•.以。为坐标原点，。4OB,0。所在直线分别

为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设A。的长为m,则0(0,0,0),A(6,0,0),8(0,6,0),C(0,3,6),0(3,0,6),。(6,

m,0).

：点尸为8c的中点，.••K。，3，3),

：.OD=O,0,6),硕=(0,m,0),PQ=[(),-3).

'：ODAQ=0,而质=0,

：.ODLAQ,dblPQ,又破与所不共线，

,。。，平面PAQ.

⑵解,:BE=2AE,AQ//OB,：.AQ=^OB=3,

则Q(6,3,0),.•.凄=(一6,3,0),BC=(0,-3,6).

设平面C3。的法向量为〃i=(x,y,z),

QB=0,―6x+3y=0,

由'得・

、一

-BC=0,3y+6z=0,

令z=l,则y=2,x—1,2,1).

易得平面A8Q的一个法向量为“2=(0,0,1).

设二面角C-BQ-A的大小为仇由图可知，。为锐角,

即二面角C—8Q—A的余弦值为平.

规律方法利用空间向量计算二面角大小的常用方法：

(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量

的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.

⑵找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两

个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

【过关检测】

1.设平面a与平面£的夹角为氏若平面久，的法向量分别为），晨，则|cos6|=（）

I〃2IDI勺U%I

l«1Il«2II«1III〃1•%I，〃2।

【答案】B

【详解】

—.—.fl.fl

由题意，cos〈勺，％〉=」二.，

■1nliI&I

因平面a与平面夕的夹角。与其法向量晨雇的夹角〈晨成〉相等或互补,

所以|cos81=|cos〈n（,〃°〉|=|32|=也吧.

hiII«2Il«!Il«2I

故选：B

2.在三棱锥P-ABC中，Q4,平面ABC,ZBAC=90°,D,E,F分别是棱AB，BC,CP的中

点，AB=AC=\,24=2,则直线94与平面OE户所成角的正弦值为（）

2石口后n

-----D•---1•----LJ.----------

5555

【答案】B

【详解】

因为NB4C=90°，所以84_LAC，因为B4_L平面ABC,84,ACu平面ABC,

所以PA，AC,P4_LA3,以A为空间直角坐标系的原点，以ABAC,AP所在的直线为无，，*轴，建

生。,0),呜,别,尸(。,用

立如下图所示的空间直角坐标系，A(0,0,0),P(0,0,2),Z)

PA=(0,0,2),方=(0,g,0),DF=rr1J,

设平面DEF的法向量为m=(x,y,z),

—y=0

m±DEmDE=02

所以有〈=>%=(2,0,1),

ml.DFm•DF=01

——x+y+z=0

22

设直线PA与平面DEF所成角为依

所以sin*®s(丽於卜箭

故选：B

X

3.若直线/的方向向量为2=(1,0,2),平面。的法向量为3=(—2,0,T),贝I]()

A.IHaB.ILa

C.luaD./与a斜交

【答案】B

【详解】

由已知可得［=—2公，则自/£，因此，/_La.

故选：B.

4.如果直线/的方向向量是£=（一2,0,1）,且直线/上有一点P不在平面a内，平面a的法向量是石=（2,

0,4）,那么（）

A./_LaB.I//a

C.luaD./与a斜交

【答案】B

【详解】

因为。-B=-2x2+0x0+lx4=0，所以£_L方，

又因为直线/上有一点P不在平面a内，

所以/<ta,所以/〃a.

故选：B

5.若平面a,4的法向量分别为£=仁,一1,3）3=（-1,2,-6）,则（）

A.alipB.a与£相交但不垂直

C.aL/3D.c///?或a与夕重合

【答案】D

【详解】

由题意，向量a=（；,T,3）,B=（-l,2,-6）,可得£=—，，

所以平面名尸的法向量共线，故a//夕或a与£重合.

故选：D.

6.过正方形A3CO的顶点A作线段Q4J_平面ABCD，若A5=B4,则平面ABP与平面COP所成的锐

二面角的余弦值为（）

A.1B.巫C.BD.史

3223

【答案】B

【详解】

解：设AP=A8=1，

以A为原点，AB为x轴，AD为N轴，”为z轴，建立空间直角坐标系,

P(0,0,1),。(0,1,0),C(l,1,0),

PC=(1,1,-1).PD=(0.1,-1).

设平面PCD的法向量玩=(x,y,z),

mPC=x+y—z=0.八

则《—」,取y=l,得加=(o,i,1),

mPD=y-z=0

平面ABP的法向量万=(。，1,0),

设平面A5P与平面COP所成的锐二面角为6,

...八|nuri\15/2

贝ijcos0=-----=—7=—=——,

I问・l万IV2xl2

故选：B.

7.在正方体45CO—agGA中，E是CC的中点，则直线距与平面3/。所成角的正弦值为()

人VioRVior5/15nVis

5555

【答案】B

【详解】

解：以。为坐标原点，以D4为X轴，以OC为y轴，以。2为Z轴，建立如图空间直角坐标系,

设正方体的棱长为2,则。(0,0,0),8(2,2,0),4(2,2,2),£(0,2,1)

.,.丽=(-2,-2,0),瓯=(0,0,2),BE=(-2,0,1)

设平面4BO的法向量为5=(x,y,z),

•/n±fiD>n±BB^

-2x-2y=0一

・・・八'，令y=L则〃=(一1,1,0)，

2z=0

Vio

cos<n,BE>=JBJ.

\n\-\BE\

设直线BE与平面B}BD所成角为。,则sin0=|cos<E,屁>|=半，

故选:B.

8.在正四棱锥P—ABC。中，侧棱PA=4近，底面边长A8=2几，。是P在平面A8CD内的射影，M

是PC的中点，则异面直线OP与所成角为()

A.30B.45C.60D.90'

【答案】C

【详解】

由正四棱锥定义可知：四边形ABC。为正方形，ACP\BD=O.

则AC18。，PO_L平面ABC。，

则以。为原点，丽,而，而正方向为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，

AB=2娓>OA=OB=—,24+24=2+,OP=J32-12-2-\/5,

.•.0（0,0,0）,P（0,0,275）,M（-73,0,75）,5（0,273,0）,

OP=（0,0,275）,丽=卜"-2百,6）,

।_______1\OP-BM\101

•••COS<OP,BM〉|=J-11—=—『----j==-,

11|OP|.|5A/|2V5X2V52

二异面直线OP与BM所成角为60.

故选：C.

21

9.如图所示，正方体ABC。-A4G〃中，点E,尸分别在A。,AC上，\E=-\D,AF=-AC,

则EF与G2所成角的余弦值为（）

A.3B.逅

96

「

6nV6

33

【答案】C

【详解】

以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为3,则

ULUI

E（l,0,l）,F（2,l,0）,EF=（l,l,-l）

G（0,1,1）,R（0,0,1）,丽'=（0,-1,0）,设所与GR所成的角为。,

uinuuum

EF犀班0-1+0

则cos6==2

Gxl一三

故选：c

10.己知通=（2,2,1）,AC=（4,5,3）,则平面ABC的一个单位法向量为（）

,122、,122、

A-（-3，_3，_3）B.

333

,122、122、

仁（一了丁丁D.

【答案】B

【详解】

设平面ABC的法向量为”=（x,y,z）,

2x+2y+z=0,

则有，[4x+5y+3z=0取尤=1则y=-2,z=2.

所以万=（1,一2,2）.因为同=3,

1?2

所以平面A5C的一个单位法向量可以是（__§）.

11.如图，在三棱锥A—6c。中，△BCD与AA6c是全等的等边三角形，且平面A8C，平面。8C.

（1）证明：ADA.BC-,

（2）求AC与平面板）所成角的正弦值

【详解】

解：（1）取6C的中点0,连接A0、B0,因为△8C。与是全等的等边三角形，所以8CLAO,

BC±DO,因为AOc£）O=。，40,。。匚面49£）,所以8cl.面A。。，因为ADu面A8，所

以BC_LA£>

(2)因为平面ABC，平面DBC,平面A8CA平面DBC=3C,AO±BC,所以AOJ_平面。BC,

如图以0为坐标原点，建立空间直角坐标系，令BC=2,则A(0,0,0)，D(V3,0,0),C(0,l,0),

3(0,—1,0),所以9=(0,-1,百)，防=(G,l,0),AD=(73,0,-73),设面曲的法向量为

n-BD=0

n=(x,y,z)，贝人___,所以，i-,令x=l,则y=—G，z=1>所以〃=(1,—6』),

n-AD=0岳-任=0'

-lx(-V3)+lxV3|_岳

CA*n

设AC与平面曲所成的角为。，则sin。=+(可./+(可+12丁

12.如图甲，正方形AA'A'A边长为12,AAJIBBJICC、,AB=3,BC=4,AA；分别交8%C£于点

P,Q,将正方形沿BBt,CC,折叠使得A