辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线始终平分圆的周长，则（

）A． B． C． D．2．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（

）

A． B． C． D．3．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则A． B． C． D．4．直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．5．在2023亚运会中，中国女子篮球队表现突出，卫冕亚运会冠军，该队某球员被称为3分球投手，在比赛中，她3分球投中的概率为，非3分球投中的概率为，且她每次投球投3分球的概率为，则该球员投一次球得分的概率为（

）A． B． C． D．6．学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色､米白色､橄榄绿､薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有（

）种不同的涂色方法.A．78 B．66 C．56 D．487．已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点A，B，，抛物线的准线l与x轴交于点C，于点M，则四边形AMCF的面积为A． B． C． D．8．已知圆：和两点，，若圆上存在点，满足，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．给出下列命题正确的是（

）A．直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平行B．直线恒过定点C．已知直线与直线垂直，则实数的值是D．已知三点不共线，对于空间任意一点，若，则四点共面10．下列结论正确的是（

）A．若随机变量服从两点分布，，则B．若随机变量的方差，则C．随机变量服从正态分布，则D．一枚硬币掷两次，事件为“第一次为正面”，事件为“两次抛掷的结果相同”，则事件为相互独立事件11．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题)，不放回地依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．12．双曲线具有如下光学性质：如图是双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点.若双曲线的方程为，则（

）A．双曲线的焦点到渐近线的距离为B．若，则C．当过点时，光线由所经过的路程为8D．反射光线所在直线的斜率为，则三、填空题13．若，则.14．已知点，且F是椭圆的左焦点，P是椭圆上任意一点，则的最小值是.15．如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点在四边形内运动所形成轨迹的长度为.16．近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有种选择方式．四、解答题17．安排6名教师到甲､乙､丙三个场馆做志愿者.(1)有14个相同的口罩全部发给这6名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？(2)六名教师站一排照相，求不相邻，且在的左边（可以不相邻）的概率？18．已知在的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是.（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求的值.19．如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上.(1)证明：平面平面；(2)当时，求二面角的余弦值.20．已知抛物线上有一点．(1)求抛物线的标准方程；(2)已知直线与抛物线交于两点，F是抛物线的焦点，且，求的面积．21．2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段记作区间，记作，记作，记作，对通过该收费点的车辆数进行初步处理，已知，时间段内的车辆数的频数如下表：时间段频数100300mn(1)现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中在9：00~9：40通过的车辆数为，求的分布列与期望；(2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻，其中可用（1）中这1000辆车在之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知某天共有800辆车通过该收费点，估计在之间通过的车辆数（结果四舍五入保留到整数）.参考数据：若，则①；②；③.22．已知曲线上任意一点满足，且.(1)求的方程；(2)设，若过的直线与交于两点，且直线与交于点.证明：点在定直线上.答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A 2．D 3．D 4．C 5．C 6．B 7．A 8．C9．BD 10．AD 11．ABC 12．ABD13． 14．3 15． 16．34817．【详解】（1）因口罩全部相同，且每名教师至少发两个口罩，分两步完成：第一步，每人先发一个口罩，只有1种发法，第二步，将剩余的8个口罩发给6人，每人一个，共有种不同的发放方法，所以共有种不同的发放方法.（2）当不相邻，且在的左边时，有种排法，又六名教师站一排时，有种排法，记“不相邻，且在的左边（可以不相邻）”为事件，所以.18．【详解】（1）由，得，通项，令，解得，展开式中的系数为.（2）设第项系数的绝对值最大，则，所以，系数绝对值最大的项为.（3）原式.19．【详解】（1）因为底面，平面，所以.四边形是直角梯形，，，因为，所以.所以，所以.又因为，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解法一：以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.设点的坐标为，因为，所以，即，所以.所以.设平面的一个法向量为，则，取，则，得.又因为平面，所以平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则.所以，二面角的余弦值为.解法二：取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.设点的坐标为，因为，所以，即，所以.所以.设平面的一个法向量为，则.取，则，则.又因为平面，所以平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则.所以二面角的余弦值为20．【详解】（1）∵点在抛物线上，，，∴抛物线的标准方程为．（2）设点．联立消去x并整理得．由得，，，．又，，，即，解得或(舍)，．点到直线的距离，．21．【详解】（1）因为，，所以，.由分层随机抽样可知，抽取的10辆车中，在9：00~9：40通过的车辆数位于时间段，这两个区间内的车辆数为，车辆数的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，所以X的分布列为所以.（2）这1000辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值，即9：04，，所以.估计在这一时间段内通过的车辆数，也就是通过的车辆数，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻，，所以估计在这一时间