专题165二次根式的乘除（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题16.5二次根式的乘除（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即a·b=ab（a≥0，b≥0）特别提醒ab·cd=abbd（b≥0，d≥0）；2.a·b·c=abc（a≥0，b≥0，c≥0）；【知识点二】二次根式的除法二次根式的除法法则是ab特别提醒只有当a≥0，b≥时，a·b=ab；ab=a只有当a≥0，b＞0时，ab=ab、ab格法则中a、b既可以是数，也可以是代数式.如果被开方数是带分数，应先将带分数化为假分数，再化简最后结果中被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且不含分母.【知识点三】积的算术平方根积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的乘积，即ab=a·b（a≥0，b≥0）特别解读积的算术平方根可以推广，即ab·······c=a·【知识点四】商的算术平方根商的算数平方根等于被除式的算数平方根，即ab=a特别解读ma【知识点五】最简二次根式定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如22，3010特别解读二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式或整式.【考点目录】【考点1】最简二次根式的判断；【考点2】化简为最简二次根式；【考点3】由最简二次根式➼求参数；【考点4】二次根式乘法运算；【考点5】二次根式除法运算；【考点6】二次根式混合运算.【考点1】最简二次根式的判断；【例1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式：（1）； （2）； （3）．【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是【分析】根据最简二次根式定义：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，先利用二次根式性质化简，再结合最简二次根式定义判断即可得到答案．（1）解：，不是最简二次根式；（2）解：，不是最简二次根式；（3）解：，不是最简二次根式．【点拨】本题考查二次根式性质及最简二次根式的概念，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键．【变式1】（2023上·上海奉贤·八年级校考期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式“被开方数是整式且不含有能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式”进行判断即可．解：A.，不是最简二次根式，不合题意；B.，不是最简二次根式，不合题意；C.，不是最简二次根式，不合题意；D.，是最简二次根式，符合题意；故选：D．【变式2】（2020上·上海浦东新·八年级校考阶段练习）在二次根式中，最简二次根式是．【答案】【分析】根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可．解：，因此不是最简二次根式；由于时，所以是最简二次根式；，因此不是最简二次根式；，因此不是最简二次根式，故答案为：．【点拨】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的关键．【考点2】化简为最简二次根式；【例2】（2022上·宁夏银川·八年级校考阶段练习）化简：（1） （2） （3）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）（2）（3）利用二次根式的性质化简即可．解：（1）；（2）；（3）．【点拨】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．【变式1】（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法与除法运算，本题根据二次根式的乘法与除法运算，结合化为最简二次根式的知识逐一分析即可．解：，运算正确，故A不符合题意；当，时，不成立，故B符合题意，，运算正确，故C不符合题意；，运算正确，故D不符合题意；故选B【变式2】（2023上·上海杨浦·八年级统考期中）已知，化简：．【答案】【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值．先根据二次根式的被开方数为非负数确定m，n的取值范围，然后化简二次根式是解题关键．解：∵，∴，∴，故答案为：．【考点3】由最简二次根式➼求参数；【例3】（2018上·九年级单元测试）已知和是相等的最简二次根式．求，的值；求的值．【答案】的值是，的值是；（2）．【分析】（1）根据题意，它们的被开方数相同，列出方程组求出a，b的值；（2）根据算术平方根的概念解答即可．解：∵和是相等的最简二次根式，∴．解得，，∴的值是，的值是；（2）．【点拨】考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义列出关于a，b的方程组是解题的关键.【变式1】（2023下·山东泰安·八年级校考阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（

）A．0， B．，0 C．1， D．0，0【答案】A【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可．解：∵是最简二次根式，∴，∴，故选A．【点拨】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．．【变式2】（2023下·山东临沂·八年级统考期中）若两个最简二次根式与能合并，则．【答案】1【分析】由最简二次根式与能合并可得，计算即可.解：最简二次根式与能合并，∴，解得,故答案为：1．【点拨】本题主要考查了同类二次根式及最简二次根式，熟记定义并能灵活运用是解决本题的关键.【考点4】二次根式乘法运算；【例4】（2022下·八年级课时练习）计算：（1）． （2）．· （3）． （4）．【答案】（1）12；（2）；（3）；（4）6000【分析】（1）根据，开方计算即可．（2）根据，开方计算即可．（3）根据，开方计算即可．（4）根据，开方计算即可．（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）．【点拨】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．【变式1】（2016上·四川资阳·八年级统考期中）把根号外的因式移入根号内的结果是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据被开放数不为负数可得出，首先将的负号移出，再将移入根号内进行计算即可．解：，，，，故选：B．【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的有意义的条件：被开方数不为负数，是解题的关键．【变式2】（2022下·福建龙岩·八年级校考阶段练习）当时，化简的结果是．【答案】【分析】根据二次根式乘法公式得到，再根据二次根式的性质化简即可得到结论．解：，，故答案为：．【点拨】本题考查二次根式的乘法及利用二次根式性质化简代数式，熟练掌握相关性质及公式是解决问题的关键．【考点5】二次根式除法运算；【例5】（2021上·八年级课时练习）计算：（1）；

（2）；

（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】利用二次根式乘除法法则计算即可；解：（1）；（2）；（3）．【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除法，属于基础计算题，熟记相关计算法则即可解题．【变式1】（2023下·山东菏泽·八年级统考期末）能使等式成立的条件是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】利用二次根式的性质得出，，进而求出即可．解：成立，，，解得：．故选：C．【点拨】此题主要考查了二次根式的性质，正确利用二次根式的性质求出是解题关键．【变式2】（2022上·上海·八年级统考期中）计算：．【答案】【分析】根据二次根式的除法运算法则进行计算即可．解：，故答案为：．【点拨】本题考查了二次根式的除法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．【考点6】二次根式混合运算.【例6】（2022上·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期中）计算：（1） （2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先利用乘法公式进行二次根式的计算，然后合并即可；（2）先进行平方差公式的运算，然后合并．（1）解：；（2）解：．【点拨】此题考查乘法公式、立方根以及二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则．【变式1】（2022下·四川成都·八年级四川师范大学附属中学校考期末）下列各式正确的是（

）A．×＝9 B．（4）2＝8 C．÷ D．＝7－4【答案】D【分析】根据二次根式的运算法则分别对各项进行计算然后判断即可．解：A．×＝3，故该选项错误；B．（4）2＝32，故该选项错误；C．÷＝=3，故该选项错误；D．∵4＝，7＝，<，即4<7，∴＝7－4，故选：D【点拨】本题考查了二次根式的运算和求算术平方根