高考数学一轮复习专练74正态分布

七十四正态分布(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ≤1)=0.84,则P(1≤ξ≤0)等于()A.0.34 B.0.68 C.0.15 D.0.07【解析】选A.由题意得P(ξ>1)=1P(ξ≤1)=10.84=0.16,所以P(1≤ξ≤0)=12×(10.16×2)=0.342.(5分)(2023·贵州八校联考)设随机变量X~N(2,4),若P(X>a+2)=P(X<2a3),则实数a的值为 ()A.1 B.53 C.5 D.【解析】选B.因为P(X>a+2)=P(X<2a3),所以由正态曲线的对称性知a+2+2a-32=2,3.(5分)若随机变量X服从正态分布N(5,1),则P(6≤X≤7)≈ ()附:若X~N(μ,σ2),则P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.A.0.1359 B.0.3413C.0.4472 D.1【解析】选A.依题设,得P(4≤X≤6)≈0.6827,P(3≤X≤7)≈0.9545,所以P(6≤X≤7)≈12×(0.95450.6827)=0.1359【加练备选】某天文馆开馆后的1个月内每天的游客人数X服从正态分布N(2000,4900),则在此期间的某一天,该馆的游客人数不超过2210的概率为()(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.0.99865 B.0.9973C.0.9772 D.0.00135【解析】选A.因为该天文馆开馆后1个月内每天的游客人数X服从正态分布N(2000,4900),所以P(1790≤X≤2210)=P(20003×70≤X≤2000+3×70)≈0.9973,所以P(X>2210)≈12×(10.9973)=0.00135,所以P(X≤2210)≈10.00135=0.998654.(5分)某校有1000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15,则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为 (A.150 B.200 C.300 D.400【解析】选C.因为P(X<90)=P(X>120)=15P(90≤X≤120)=115×2=35,所以P(90≤X≤105)=所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×310=3005.(5分)(2023·济南模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),若函数f(x)=P(x≤ξ≤x+1)为偶函数,则μ= ()A.12 B.0 C.12 D【解析】选C.因为函数f(x)=P(x≤ξ≤x+1)为偶函数,则f(x)=f(x),所以P(x≤ξ≤x+1)=P(x≤ξ≤x+1),所以μ=-x+x6.(5分)(多选题)(2023·哈尔滨模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件,零件的尺寸分别记为X,Y,已知X,Y均服从正态分布,X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),其正态曲线如图所示,A.甲工厂生产零件尺寸的均值等于乙工厂生产零件尺寸的均值B.甲工厂生产零件尺寸的均值小于乙工厂生产零件尺寸的均值C.甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D.甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性【解析】选AC.X,Y均服从正态分布,X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,结合正态密度函数的图象可知,μ1=μ2,σ1<σ2,故甲工厂生产零件尺寸的均值等于乙工厂生产零件尺寸的均值,故A正确,B错误;甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性,故C正确,D错误.7.(5分)(2023·南京模拟)已知随机变量X服从正态分布N2,σ2,=3PX>5,则P-1≤X【解析】因为X~N2,σ2,P-1≤X≤2=P2≤又因为P-1≤X≤2=3所以PX≥2=P2≤X≤5+PX>5=4P所以PX>5=0.125,所以P2≤X≤5=0.50.所以P-1≤X≤5=0答案:0.758.(5分)某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位:年)服从正态分布,且使用寿命不少于2年的概率为0.8,使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头,则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________.

【解析】由题意知P(ξ≥2)=0.8,P(ξ≥6)=0.2,所以P(ξ<2)=P(ξ≥6)=0.2.所以正态曲线的对称轴为直线x=4,即P(ξ≥4)=12,即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为12,所以两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为12×1答案:19.(10分)已知随机变量X~N(μ,σ2),且正态密度函数在(∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,P(72≤X≤88)≈68.27%.(1)求参数μ,σ的值;(2)求P(64≤X<72).(结果精确到0.0001)参考数据:P(μσ≤X≤μ+σ)≈68.27%,P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈95.45%,P(μ3σ≤X≤μ+3σ)≈99.73%.【解析】(1)由题意得参数μ=80.又P(72≤X≤88)≈68.27%,结合P(μσ≤X≤μ+σ)≈68.27%,可知σ=8.(2)P(μ2σ≤X≤μ+2σ)=P(64≤X≤96)≈95.45%.因为P(X<64)=P(X>96),所以P(X<64)≈12×(195.45%)=2.所以P(X≥64)≈97.725%.又P(X<72)=12×[1P(72≤X12×(168.27%)=15.所以P(X≥72)≈84.135%,所以P(64≤X<72)=P(X≥64)P(X≥72)≈13.59%.【能力提升练】10.(5分)为了解某地区高中男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高中男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(单位:kg)服从正态分布N(μ,22),且正态密度曲线如图所示.若58.5<X≤62.5属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数是 ()A.997 B.954 C.819 D.683【解析】选D.由题意,可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5≤X≤62.5)=P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827,从而属于正常情况的人数是1000×0.6827≈683.11.(5分)在如图所示的正方形中随机投掷40000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布X~N(2,4)的密度曲线)的点的个数的估计值为 ()(若X~N(μ,σ2),则P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545)A.906 B.1359C.2718 D.3413【解析】选B.因为X~N(2,4),所以阴影部分的面积S=P(0≤X≤2)=12[P(6≤XP(4≤X≤0)]≈12×(0.95450.6827)=0.1359,则在正方形中随机投掷一点,该点落在阴影内的概率为P=0.1359412.(5分)(多选题)(2023·泰安模拟)水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,发明了“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系,为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高X(单位:cm)服从正态分布,其正态密度函数为f(x)=1102πe-(x-100)A.该地水稻的平均株高为100cmB.该地水稻株高的方差为10C.随机测量一株水稻,其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大D.随机测量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)之间的概率一样大【解析】选AC.本题考查正态密度函数的特征以及性质的应用.正态密度函数为f(x)=12πσe-(x-μ)22σ2,x∈(∞,+∞),由题意知μ=100,σ2=100,所以该地水稻的平均株高为100cm,方差为100,故A正确,B错误;因为正态密度曲线关于直线x=100对称,所以P(X>120)=P(X<80)>P(X>P(80<X<90),故D错误.13.(5分)某一部件由3个元件按如图方式连接而成,若元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设3个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________.

【解析】由题意得,3个电子元件的使用寿命服从正态分布N(1000,502),则每个元件的使用寿命超过1000小时的概率均为12,则元件1和2的使用寿命至少有一个超过1000小时的概率为112×12=34,故该部件使用寿命超过1000小时的概率为34答案:314.(10分)为应对气候变化,我国计划在2030年前实现碳排放量到达峰值,2060年前实现“碳中和”.某市为了解本市企业碳排放情况,从本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取50家企业进行了调查,得到如下频数分布表,并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超标”企业:碳排放量X[2.5,5.5)[5.5,8.5)[8.5,11.5)[11.5,14.5)[14.5,17.5)[17.5,20.5)[20.5,23.5)频数56912864(1)假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布Nμ,σ2,其中μ近似为样本均值x,σ2近似为样本方差s2,经计算得x≈12.8,s≈5.2.试估计这320家企业中“超标(2)通过研究样本原始数据发现,抽取的50家企业中共有8家“超标”企业,市政府决定对这8家“超标”企业进行跟踪调查,现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查,设Y为抽到的年碳排放量至少为20.5万吨的企业家数,求Y的分布列与数学期望.(参考数据:若X~Nμ,则Pμ-σ≤Pμ-2σPμ-3σ≤X【解析】(1)由已知,得μ≈12.8,σ≈5.2,所以P(X>18)=P(X>μ+σ)≈1-0.68272=0.所以这320家企业中“超标”企业的家数约为51.(2)由题中频数分布表可知,8家“超标”企业中碳排放量至少为20.5万吨的企业有4家,所以Y的可能取值为1,2,3,4,且PY=1=C41PY=2=C42PY=3=C43PY=4=C44所以Y的分布列为Y1234P1331所以EY=1×114+2×37+3×37+4×115.(10分)某市为了传承发展中华优秀传统文化,组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛,竞赛奖励规则如下:得分在70,80内的学生获三等奖,得分在80,90内的学生获二等奖,得分在90,100内的学生获一等奖,其他学生不得奖,为了解学生对相关知识的掌握情况,随机抽取100(1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩,求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率;(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布Nμ,σ2,其中σ≈15,μ为样本平均数的估计值①若该市共有10000名学生参加了竞赛,试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数(结果四舍五入到整数);②若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机取3名学生进行访谈,设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ,求随机变量ξ的分布列和期望.附参考数据,若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则Pμ-σ≤Pμ-2σ≤X≤μ+2σ≈0【解析】(1)由题中样本频率分布直方图得,样本中获一等奖的有6人,获二等奖的有8人,获三等奖的有16人,共有30人获奖,70人没有获奖.从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩,基本事件总数为C1002设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A,则事件A包含的基本事件的个数为C701C所以PA=C701C301C(2)由题中样本频率分布直方图得,样本平均数的估计值μ=35×0.006×10+45×0.012×10+55×0.018×10+65×0.034×10+75×0.016×10+85×0.008×10+95×0.006×10=64,则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N64,①因为μ+σ=79,所以PX>79≈1-0.故参赛学生中成绩超过79分的学生数为0.15865×10000≈1587.②由μ=64,得PX>64=1即从所有参赛学生中随机抽取1名学生,该生竞赛成绩在64分以上的概率为12所以随机变量ξ服从二项分布ξ~B3,所以Pξ=0=C30123=18,Pξ=1=C31Pξ=3=C33所以随机变量ξ的分布列为:ξ0123P1331Eξ=0×18+1×38+2×38+3×1【素养创新练】16(5分)(多选题)(2023·广州模拟)为了解决传统的3D人脸识别方法中存在的问题,科学家提出了一种基于视频分块聚类的格拉斯曼流形自动识别系统.规定:某区域内的m个点Pixi,yi,zi的深度zi的均值为μ=1m,标准偏差为σ=1m,深度zi∉[μ3