专题四　动态平衡问题、平衡中的临界和极值问题

专题四动态平衡问题、平衡中的临界和极值问题动态平衡问题1.如图所示,用竖直木板挡住放在光滑斜面上的小球A,A受到的重力为G.整个装置静止在水平面上.设斜面和木板对小球A的弹力大小分别为F1和F2.保持木板竖直,在斜面的倾角θ缓慢减小的过程中,A受力的变化情况是 (C)A.F1增大,G不变,F2减小B.F1减小,G不变,F2增大C.F1减小,G不变,F2减小D.F1不变,G增大,F2增大[解析]小球A受到重力、斜面对小球A的弹力F1和木板对小球的弹力F2,在斜面的倾角θ缓慢减小的过程中,A的重力G不变,F2方向不变,由图解法知,F1、F2均减小,故C正确.2.如图所示,半径为R的光滑圆环竖直固定,轻弹簧一端固定在圆环的最高点A,另一端与套在圆环上的小球相连.小球的质量为m,静止在B点时弹簧与竖直方向的夹角θ=30°,重力加速度为g.若换用原长相同,劲度系数更大的某轻质弹簧,小球能静止于圆环上的C点(图中未画出,但不在圆环最低点).下列说法正确的是 (B)A.小球静止在B点时,弹簧的弹力大小为2mgB.小球静止在B点时,圆环对小球的作用力背离圆环的圆心C.换用劲度系数更大的轻弹簧后,弹簧的弹力将变大D.换用劲度系数更大的轻弹簧后,圆环对小球的作用力将变大[解析]以小球为研究对象,由于重力作用,弹簧一定被拉伸,弹簧弹力F沿弹簧斜向上,由平衡条件,可得弹簧弹力F与圆环对球的弹力FN的合力跟重力等大反向,画出受力分析如图所示,所以圆环对球的弹力方向一定背离圆心,故B正确;由图可知,△AOB与△DBE相似,有mgR=FAB=FNR,弹簧的弹力大小F=ABRmg,由几何关系得AB=2Rcos30°=3R,解得F=3mg,故A错误;换用劲度系数更大的某轻质弹簧,小球沿圆环上移,最终受力平衡后,上述三角形相似仍成立,根据mgR=FAB=FNR,可知当B点上移时,由于重力mg与半径R不变,AB长度减小,故弹簧弹力F减小,F3.(多选)如图所示,柔软轻绳ON的一端O固定,其中间某点M拴一重物,用手拉住绳的另一端N,初始时,OM竖直且MN被拉直,OM与MN之间的夹角为α(α>π2).现将重物向右上方缓慢拉起,并保持夹角α不变,在OM由竖直被拉到水平的过程中 (ADA.MN上的张力逐渐增大B.MN上的张力先增大后减小C.OM上的张力逐渐增大D.OM上的张力先增大后减小[解析]解法一:设重物的质量为m,绳OM中的张力为FTOM,绳MN中的张力为FTMN.开始时,FTOM=mg,FTMN=0.由于缓慢拉起,则重物一直处于平衡状态,两绳张力的合力与重物的重力mg等大、反向.如图所示,已知角α不变,在绳MN缓慢拉起的过程中,角β逐渐增大,则角(α-β)逐渐减小,但角θ不变,在三角形中,利用正弦定理得FTOMsin(α-β)=mgsinθ,(α-β)由钝角变为锐角,则FTOM先增大后减小,选项C错误,D正确;同理知FTMNsinβ=mgsinθ,在β由解法二:重物受到重力mg、OM绳的拉力FOM、MN绳的拉力FMN共三个力的作用.缓慢拉起过程中任一时刻可认为是平衡状态,三力的合力恒为0.如图所示,由三角形定则得一首尾相接的闭合三角形,由于α>π2且不变,则三角形中FMN与FOM的交点在一个圆弧上移动,由图可以看出,在OM由竖直被拉到水平的过程中,绳MN中拉力一直增大且恰好达到最大值,绳OM中拉力先增大后减小,故A、D正确,B、C错误平衡中的临界和极值问题4.如图所示,一个倾角为30°、底面粗糙、斜面光滑的斜面体放在粗糙的水平面上,斜面体的质量为2m.轻绳的一端固定在天花板上,另一端系住质量为m的小球,整个系统处于静止状态,轻绳与竖直方向的夹角也为30°.若滑动摩擦力等于最大静摩擦力,则斜面体与水平面间的动摩擦因数至少为(C)A.16B.C.315D.[解析]由题意对小球受力分析,沿斜面方向由平衡条件得mgsin30°=FTcos30°,解得FT=mgtan30°=33mg,对小球和斜面构成的整体受力分析,由