《计算机辅助几何设计》

CAGD出

icfcwlofmothematicalsci<nct.xvnu

计算机辅助几何设计

厦门大学曾晓明教授

助教杨军

1.课程简介

计

算

计算机辅助几何设计(ComputerAidedGeometric

机Design,简称CAGD)这一术语1974年由巴恩希尔

辅(Barnhill)与里森费尔德(Riesenfeld)在美国犹他(Utah

助大学的一次国际会议上提出，以描述计算机辅助设

几计(CAD)的更多的数学方面，为此加上“几何”的

何修饰词，在当时，其含义包括曲线、曲面和实体的

表示，及其在实时显示条件下的设计，也扩展到其

设

他方面，例如四维曲面的表示与显示。自此以后，

计

◎计算机辅助几何设计开始以一门独立的学科出现。

碎

计

算

机

1971年英国的福里斯特(Forrest)曾给出了含

辅义与CAGD大致相同的另一名称——计算几何

助(ComputationalGeometry),定义为形状信息的计

几算机表示、分析与综合。但是由于“计算几何”

何同时也用于另外一门介绍关于几何搜索、凸包、

设近似、相交等算法的学科，因此为避免“计算几

计何”这一名称的二义性，这里沿用计算机辅助几

何设计这一学科名称。

◎

碎

1.1CAGD的研究对象与核心问题

计

算本学科是随着航空、汽车等现代工业的发展与

机计算机的出现而产生与发展起来的一门新兴学科。

辅其主要研究对象是工业产品的几何形状。一类仅在

初等解析曲面（例如平面、圆柱面、圆锥面、森面、

助

几圆环面等）组成，大多数机械零件属于这一类；第

何二类由以复杂方式自由变化的曲线曲面即所谓自由

型曲线曲面组成，例如飞机、汽车、船舶的外形零

设

件，而这一类形状单纯用画法几何与机械制图是不

计

◎能表达清楚的。

碎

图例：工业产品中的解析曲面和自由型曲面

计

算

机

辅

助

几

何

设

计

◎滑动轴承座及轴承盖等汽车车身由若干自由型

机械零件，由若干解析曲面拼接而成，无法用

碎曲面拼接而成。解析曲面表示。

计

算

机

辅在工业上，人们一直在寻求用数学方法惟一

地定义自由型曲线曲面的形状以便由计算机来完

助成大量的工作。形状的几何定义为所有的后置处

几理（如数控加工、物性计算、有限元分析等）提供

何了必要的先决条件。在形状信息的计算机表示、

设分析与综合中，々心内向红］计算机表示，即要

计找到既适合计算机处理且有效地满足形状表示与

几何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据

交换的形状描述的数学方法。

1.2形状数学描述的发展主线(历史回顾)

计

算自由型曲线曲面因不能由画法几何与机械制图

机方法表达清楚，成为工程师们首先要解决的问题。

辅1963年，美国波音(Boeing)飞机公司的弗格森

助(Ferguson)首先提出将曲线曲面用参数方程表示。

几他最早引入参数三次曲线，构造了组合曲线和由四

何角点的位置矢量及两个方向的切矢定义的弗格森双

设三次曲面片。弗格森所采用的曲线曲面的参数形式

计从此成为形状数学描述的标准形式。

争

碎

计

算1964年，美国麻省理工学院(Massachusetts

机InstituteOfTechnology,简称MIT)的孔斯(Coons)发

辅表了一个具有一般性的曲面描述方法。但它与

助弗格森曲面片一样都存在形状控制与连接问题。

几同年，舍恩伯格(schoenberg)提出的样条函

何数提供了解决连接问题的一种技术，样条方法用

设于解决插值问题，在构造整体上达到某种参数连

计续阶(指可微性)的插值曲线、曲面时是很方便的

,但不存在局部形状调整的自由度，而且样条曲

线和曲面的形状难以预测。

◎

碎

计

算法国雷诺(Renault)汽车公司的贝齐尔(Bezier)于

机1971年发表了一种由控制多边形定义曲线的方法。

辅设计员只要移动控制顶点就可方便地修改曲线的形

助状，而且形状的变化完全在预料之中，贝齐尔方法

几简单易用，又出色地解决了整体形状控制问题。为

何CAGD的进一步发展奠定了坚实基础。贝齐尔方

法仍存在连接问题，还有局部修改问题。稍早于贝

设齐尔，在法国雪铁龙(Citroen)汽车公司工作的德卡

计斯特里奥(deCasteljau)也曾独立地研究发展了同样

的方法，但结果从未公开发表。

@

山

计

算

机德布尔(deBoor)于1972年给出了关于B样条

辅的一套标准算法。美国通用汽车公司的戈登

助(Gordon)和里森费尔德(Riesenfeld)于1974年将

B样条理论应用于形状描述.提出了B样条曲线

几曲面。它几乎继承了贝齐尔方法的一切优点，克

何服了贝齐尔方法存在的缺点，较成功地解决了局

设部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上

计解决了连接问题。

◎

碎

计

算B样条方法较成功地解决了自由型曲线曲面形状

机的描述问题。然而，将其应用于圆锥截线及初等解

辅析曲面却是不成功的，都只能给出近似表示。为此

助,1975年美国锡拉丘兹(Syracuse)大学的弗斯普里

几尔(Versprille)在他的博士论文中首先提出了有理B样

何条方法。以后，主要由于皮格尔(Piegl)、蒂勒

设(Tiller)和法林(Farin)等人的功绩，至20世纪80年代

计后期，非均匀有理B样条(NonUniformRationalB

spline,简称NURBS)方法成为用于曲线曲面描述的

最广为流行的数学方法。

◎

碎

1.3其他一些重要进展与趋向

计

算

机当今大部分CAD系统中的曲面都定义在矩形

辅上。其主要原因要追溯到曲面设计方法的最初应用

助上。当初设计的汽车与飞机机身等物体的外形曲面

几均具有内在的矩形结构。这导致早期系统都围绕矩

何形曲面片建立。后来，在一些更复杂的零件造型中

9

设矩形曲面片与矩形拓扑的局限性就暴露出来。N

边曲面片特别是三边曲面片成为一个广泛