2024-2025学年高中数学第二章概率5第1课时离散型随机变量的均值课后作业含解析北师大版选修2-3

PAGE离散型随机变量的均值[A组基础巩固]1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(1,4)，k＝1,2,3,4，则EX的值为()A.eq\f(5,2) B．3.5C．0.25 D．2解析：EX＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)×10＝eq\f(5,2).答案：A2．已知ξ～B(n，eq\f(1,2))，η～B(n，eq\f(1,3))，且Eξ＝15，则Eη等于()A．5 B．10C．15 D．20解析：因为ξ～B(n，eq\f(1,2))，所以Eξ＝eq\f(n,2)，又Eξ＝15，则n＝30，所以η～B(30，eq\f(1,3))，故Eη＝30×eq\f(1,3)＝10.故正确选项为B.答案：B3．篮球运动员在竞赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球的命中率是0.7，则他罚球6次的总得分的均值是()A．0.70 B．6C．4.2 D．0.42解析：设得分X即罚中X次，故X～B(6,0.7)．∴EX＝6×0.7＝4.2.答案：C4．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发觉飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发觉目标的雷达台数为X，则EX等于()A．0.765 B．1.75C．1.765 D．0.22解析：P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.∴EX＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.答案：B5．口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形态相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C．2 D.eq\f(8,3)解析：X＝2,3.P(X＝2)＝eq\f(1,C\o\al(2,3))＝eq\f(1,3)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(2,3))＝eq\f(2,3).故EX＝2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).答案：D6．随机变量ξ的概率分布列由下表给出：X78910P(ξ＝X)0.30.350.20.15则随机变量ξ的均值是________．解析：Eξ＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.答案：8.27．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75,80，则这次考试该年级学生平均分数为________．解析：平均分数为eq\f(40,100)×75＋eq\f(60,100)×80＝78.答案：788．一离散型随机变量ξ的概率分布列为：ξ0123P0.1ab0.1且其数学期望Eξ＝1.5，则a－b＝________.解析：由分布列性质知0.1＋a＋b＋0.1＝1，所以a＋b＝0.8，又Eξ＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.5，即a＋2b＝1.2，由以上两式可求得a＝b＝0.4.所以a－b＝0.答案：09．李教授现有100万元，打算采纳两种投资方案：方案一：购买股票(形势好，可获利40万元，形势中等，可获利10万元，形势不好，损失20万元)；方案二：存入银行(年利率8%)．假设经济形势好、中、差的概率分别为0.3,0.5,0.2，李教授应选择哪种方案，可使投资效益较大？解析：设购买股票收益为X，则X的分布列为：X400000100000－200000P0.30.50.2所以EX＝400000×0.3＋100000×0.5－200000×0.2＝130000＞80000，所以购买股票的投资效益较大．10．某商场实行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中随意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中随意摸出1个球，依据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余状况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与数学期望EX.解析：设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i＝0,1,2,3)与Bj(j＝0,1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(18,35).(2)X的全部可能值为0,10,50,200，且P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))·eq\f(1,3)＝eq\f(1,105)，P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))·eq\f(2,3)＝eq\f(2,105)，P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,4),C\o\al(3,7))·eq\f(1,3)＝eq\f(12,105)＝eq\f(4,35)，P(X＝0)＝1－eq\f(1,105)－eq\f(2,105)－eq\f(4,35)＝eq\f(6,7).综上知，X的分布列为X01050200Peq\f(6,7)eq\f(4,35)eq\f(2,105)eq\f(1,105)从而有EX＝0×eq\f(6,7)＋10×eq\f(4,35)＋50×eq\f(2,105)＋200×eq\f(1,105)＝4(元)．[B组实力提升]1．甲、乙两台自动机床生产同种标准零件，ξ表示甲机床生产1000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别如下，据此可以推断()ξ0123P0.70.10.10.1η012P0.50.30.2A．乙比甲质量好 B．甲比乙质量好C．甲与乙质量相同 D．无法推断解析：因为Eξ＝1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，Eη＝1×0.3＋2×0.2＝0.7.又因为Eξ<Eη，所以甲比乙质量好．答案：B2．某人进行一项试验，若试验胜利，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验胜利的概率为eq\f(2,3)，则此人试验次数ξ的均值是()A.eq\f(4,3) B.eq\f(13,9)C.eq\f(5,3) D.eq\f(13,7)解析：试验次数ξ的可能取值为1,2,3，则P(ξ＝1)＝eq\f(2,3)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\f(1,3)))＝eq\f(1,9).所以ξ的分布列为ξ123Peq\f(2,3)eq\f(2,9)eq\f(1,9)∴Eξ＝1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,9)＝eq\f(13,9).答案：B3．袋中装有标有数字1的小球6个，标有数字2的小球4个，从袋中任取一个球，用X表示“取到的标有数字1的小球的个数”，即X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，当取到标有数字1的小球时；,0，当取到标有数字2的小球时.))则随机变量X的均值EX＝________.解析：依题意，P(X＝0)＝eq\f(4,6＋4)＝eq\f(2,5)，P(X＝1)＝eq\f(6,6＋4)＝eq\f(3,5)，因为随机变量X听从两点分布，所以EX＝P(X＝1)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)4．马老师从课本上抄录一个随机变量X的分布列如下表：X123P？！？请小牛同学计算X的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案EX等于________．解：设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则EX＝x＋2(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.答案：25．一出租车司机从饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事务是相互独立的，并且概率都是eq\f(1