2022学年高二数学上学期期末高频考点专题06 导数（知识串讲解析版）

2022学年高二数学上学期期末高频考点

专题06导数

【知识梳理】

一、导数的概念及运算

i.导数的概念

一般地，函数产於）在x=xo处的瞬时变化率lim包=lim，四.3）二为函数产危）在x=xo

ADAx右7°Ar

处的导数，记作，（X。）或y'|x=x°即/'（x0）=lim竺=lim,禺十一）一’禺）.

称函数，（x）=lim/（玉）+.）-75）为/（，的导函数.

Ar1°A%

2.导数的几何意义

函数/（X）在点xo处的导数/'（xo）的几何意义是在曲线y=Ax）上点P（xo,1xo））处的切线的斜率.相应地,

切线方程为y—/Uo）=为（x（＞）（x—xo）.

3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

f（x）=c（c为常数）f'(x)=0

/(x)=sinxf(x)=cos_x

八x)=e*/'(X尸e'

Ax)=lnxf(x)=-

X

/X)=W(QGQ*)f(.r)=«xa~l

/(x)=cosXf(x)=—sin_x

xr

f(x)=a(a>()9aHl)f(x)=aln_g

1Ax)=logaX(a>0,aWl)f(x)=—--

xInx

4.导数的运算法贝!一

⑴[而±四丁=f'(x)±g,(x)；

⑵4M以削'=H(x)jg(x)+[x)g'(x)；

八/'(x)g(x)—g(x)g。)

1g(x)」[g(x)广

5.常用结论

L/(xo)代表函数/U)在x=xo处的导数值；(Axo))'是函数值A*。)的导数，且(Axo))'=O.

2[1]，—/'a)

l/(X)J[/(x)]2'

3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.

4.函数y=7(x)的导数/(x)反映了函数4x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映

了变化的快慢，，⑴I越大，曲线在这点处的切线越“陡”.

二、利用导数研究函数的单调性

L函数的单调性与导数的关系

函数y=/U)在区间伍，m内可导，

⑴若/'(x)>0,则|x)在区间(a,b)内是单调递增函数；

(2)若/'(幻<0，则/U)在区间(a，b)内是单调递减函数；

⑶若恒有r(x)=0,则/(x)在区间(a,。)内是常数函数.

讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.

2.常用结论汇总——规律多一点

(1)在某区间内/'(x)>O(f(x)<0)是函数大幻在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.

⑵可导函数/(X)在S，m上是增(减)函数的充要条件是对VxG(a,b),都有/'(x)'。/(x)WO)且/'(x)

在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零.

三、利用导数解决函数的极值最值

1.函数的极值

⑴函数的极小值：

函数y=_Ax)在点X=a的函数值八a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f(a)=0；而且在点x=a

附近的左侧/'(x)V0,右侧/'(x)>0,则点a叫做函数y=Ax)的极小值点，/(a)叫做函数y=/U)的极小

心

(2)函数的极大值：

函数y=/(x)在点x=b的函数值式仍比它在点x=b附近其他点的函数值都大，/'(6)=0；而且在点x=b

附近的左侧/'(x)>0,右侧，(x)<0,则点》叫做函数y=_Ax)的极大值点，/(加叫做函数y=/(x)的极大

心

极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.

①函数八%)在xo处有极值的必要不充分条件是/'(xo)=O,极值点是/'(x)=0的根，但/'(x)=0的

根不都是极值点(例如大此=好，f(0)=0,但x=0不是极值点).

②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的

点，不会是端点.

2.函数的最值

(1)在闭区间［4,包上连续的函数/U)在［a,加上必有最大值与最小值.

(2)若函数,/U)在［4,句上单调递增，则/~(a)为函数的最小值,他)为函数的最大值;若函数人x)在［〃，例

上单调递减，则危/)为函数的最大值,血>)为函数的最小值.

3常用结论

1.对于可导函数加)，"5))=0"是“函数./W在x=xo处有极值”的必要不充分条件.

2.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是

最值.

3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.

【典型例题】

考点一：导数的概念

例1、函数y=/(x)=2x2-1在区间(1,1+4x)上的平均变化率祟等于()

A.4B.4+2/久C.4+2(4X)2D.4Ax

【答案】B

【解答】解：:=/(I+Ax)-f⑴=[2(1+4x)2_1]_(2-1)=2⑷>+44c,

丝=24x+4.

Ax

故选艮

训练1、一物体的运动方程是s=3+t2,则t在[2,2.1]内的平均速度为()

A.0.41B.4.1C.0.3D.3

【答案】B

解：根据题意可得=-=廿岁"廿2.2)=41

△t0.1

例2、设f(%)为可导函数，且满足F端⑵蓝2f)=_1,则曲线y=f(%)在点(2,/(2))处的切线的斜率是()

A.2B.-2C.--D.-

22

【答案】B

解：由导数的基本概念可知Him叫母=：f'(2)=-1,

h-*02/i2

即/'(2)=-2,所以曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线斜率为一2,

故选股

训练1、已知函数f(x)=ax2+Znx满足二0f⑴力一的=入则曲线y=/"(x)在点(j/g))处的切线斜

3AxN2

率为.

【答案】3

解：函数/(x)=ax2+Inx,可得/''(;<)=2ax+；,

晨&二也=2,可得为%吧08)-"】一如)=2,

3Ax32Ax

即|/'(1)=2,所以r(1)=3,

可得3=2。+1,解得a=1,

所以尸⑺=2x+±r(!)=2x|+2=3.

故答案为：3.

训练2、如果说某物体作直线运动的时间与距离满足s(t)=2(1-t)2,则其在t=1.2时的瞬时速度为()

A.4B.-4C.4.8D.0.8

【答案】0

解：方法一：

根据导数的定义可得，在t=1.2时的瞬时速度为s'")=3,JL2+《；-S(L2)

„2(1-1.2-Af)2-2(1-1.2)2

=lini------------r-------------

A/-o△£

2"+o.8Af

=lini-------=0.8，

Z-0Af

故选。.

方法二:s(t)=2t2-4t+2,

s(t)=4t-4>

s(1.2)=0.8,

故选D.

例3、已知曲线y=/在点P处的切线的斜率k=3,则点P的坐标是()

A.(1,1)B.(-1,1)

C.(1,1)或D.(2,8)或(—2,—8)

【答案】C

解：因为y=/,

所以y'=3x2.

由题意，知切线斜率k=3,

令3x2=3,

得X=1或X=-1.

当x=1时，y=1；

当％=-1时，y=-1.

故点P的坐标是(1,1)或(一1,一1).

故选：C.

训练1、设曲线y=X2+x-2在点M处的切线斜率为3,则点M的坐标为()

A.(0,-2)B.(1,0)C.(0,0)D.(1,1)

【答案】B

解：设点M(x(),yo)，V="+%-2,

.(Xo+4X)2+(X0+4X)-2(就+*0-2)=2x4-1

"Ax->00'

令2X()+1=3)x0=1,则y()=0.

故选B.

例4、曲线y=久1-1在点(1,1)处的切线方程为()

A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=x+2D.y=x-2

【答案】B

解：因为函数丫=4婚-1的导数为y'=(1+乃蜡-，

可得曲线丫=xe*T在点(Li)处的切线斜率为2,

所以曲线丫=xe'T在点(L1)处的切线方程为y-1=2(x-1),

即为y=2x-L

故选B.

训练1、曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.

【答案】y=2x

解：丫y=2ln(x+1).

当％=0时，y'=2,

・•・曲线y=2/n(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,

故答案是y=2x.

例5、已知/(%)为偶函数，当》<。时，/(%)=则曲线y=/(%)在点(L2)处的切线方程是

【答案】y=2x

解：已知f(%)为偶函数，当x40时，/(%)=e-x-1-x,设％>0,则一工<0,

:./(x)=/(—%)=e*T+x,则/'(x)=ex-1+1,

・•・/(I)=e1-1+1=2/(1)=e°+l=2.

・・.曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=2(x-1),即y=2%.

故答案为y=2x.

训练1、已知函数/(%)=(1+%)lnx+；.

(1)求曲线y=/Q)在点(1,7(1))处的切线方程；

(2)求证：/(%)>%.

【答案】解：(1)依题意，/(%)=Inx+：+1—点，

故/(1)=1,有=

故所求切线方程为y-1=x-1,即y=x.

(2)由/(%)>x得(1+x)\nx+：2%整理得(％+l)lnx+>0,

化简得In%+—>0,

X

令g(%)=liu+：-1,则"。)=：一点=妥,

当0<%<1时，gf(x)<0,g(x)单调递减，当x>l时，gf(x)>0,g(%)单调递增，

所以g(%)min=g(D=0,即g(%)N0恒成立，

所以/'(%)>X恒成立.

例6、已知函数y=f(x)的图象如图所示，f'(x)是函数“X)的导函数，则下列数值排序正确的是()

A.2/(2)</(4)-/(2)<2/(4)B.2/(4)<2/(2)</(4)-/(2)

C.21⑵<21(4)</⑷-f(2)D./(4)-f(2)<2/(4)<21⑵

【答案】A

解：由函数/(x)的图像可知：当》22时，“X)单调递增，

•••f'(2)>0,f'(4)>0,/(4)-/(2)>0,

而/"'(2),1(4)分别代表在x=2,x=4处的切线的斜率，然等可以看成割线的斜率，

4—2

由图可知0<f(2)<£咒®<f(4).

即21(2)</(4)—/(2)<2/(4).

故选A.

例7、德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认

识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值,

这也正是导数的几何意义.设f'(x)是函数的导函数，若f'(x)>0,对\//,刀26(且看不打，总有

友坦膂</(审)，则下列选项正确的是()

A./⑺</(e)</(2)B.f(7T)>r(e)>1(2)

C.<(2)<f(2)—f⑴<1⑴D.[(1)<7(2)-/(I)<1(2)

【答案】C

解：・.,/'(%)>0,则函数/(%)在R上单调递增,且7T>e>2,

.-./(TT)>/(e)>/(2),A错误;

―)；"X2)

•.•对X2ER,且看于小，总有</(空),则/(x)是凸函数,

不妨假设f(x)的图像如图所示：

且((%)反映/函数/(x)图象上各点处的切线斜率，

由图可知，[(兀)<f'(e)<1(2),8错误；

•••/(2)-"1)=等等，表示点(14(1))和点(2)(2))的连线的斜率，

由图可知，.尸(2)Vf(2)-f(l)Vf'(l),C正确，D错误.

故选C.

例8、若直线y=々％+b是曲线y=1+仇工的切线，也是曲线y=ln(%+2)的切线，则b=

【答案】ln2

解:设y=kx+b与y=Inx+1和y=ln(x+2)的切点分别为(%力仇%1+1)、(x2,ln(x2+2))；

y=Inx+1,y=ln(x4-2)

,ifi

7=7y=*,

:・k=工=—,

%]-%2=2,

1Y

切线方程分别为y-(Inx.+l)=i(x-x1),即为y=-+lnX1,

XiXi

或y—ln(x+2)=a(X-x),即为y=F+子+lnx,

2*2十/X2it

...B=o,

Xi

解得=2,

・••b=仇2,

故答案为：ln2.

训练、若曲线y=ln(x+a)的一条切线为y=ex+b,其中a,b为正实数，则a+总的取值范围是

【答案】［2,+8)

解：由题意知，

y'=士，设切点为(m,n)，

贝ij［m+a-e,得到b=ae-2,

(ln(m+Q)=me+b

a>0,b>0,

、2

a>-,

e

••・。+岛=。+^》2(当且仅当£1=1时取等号)，

故a+系的取值范围是［2,+8)

故答案为：［2,+8).

例9、曲线/(x)=ln(2x—l)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是()

A.1B.2C.V5D.3

【答案】C

解：设曲线上过点P(&,yo)的切线平行于直线2x-y+3=0,此切点到直线2x-y+3=0的距离最短，

.•"'。)=白

2

/'(%0)=2,得&=1,

2x0—1

曲线/(x)=ln(2x-1)上的点P(l,0)到直线2x-y+3=0的距离最短,

为d=|2-0+3|=V5.

02+(-1)2

故选C.

训练1、点尸是曲线。上任意一点，则点P到直线4%+4丫+1=0的最小距离是()

A.^^(1—In2)B.-^^(1+ln2)C.■^(；+hi2)D.-(1+ln2)

【答案】B

解：工2_y_21iiv/x=()1即y=x2-21nVx,

又4x+4y+1=0即为y=-x-

令2x-：=-1得x=3(负值舍去)，

与直线4x+4y+1=0平行的切线的切点为(1；+ln2),

4xi+4x[-+li>2|+1/-，,、

•••点P到直线4x+4y+1=0的最小距离是“214/、阳1+h⑵.

庶—2~

故选B.

考点二：导数的运算

例1、下列各式正确的是()

A.sin—=cos—B.(cosx)'=sinx

、8J8

C.(ax)'=axlnaD.(%~5)/=—1x-6

【答案】C

解：根据导数公式有(sing)'=0,4错误；

(cosx)<=-sinx,3错误；

xx

{ay=a\nafC正确；

(x-5)'=—5x-6,O错误；

故选C.

训1、函数/(x)=暇的导函数/'(x)=.

2sin2x+cos2x

【答案】-

解：由/(%)=

2sin2x+cos2x

所以ro)=-

故答案为：—2sin2x+cos2x

例2、己知f(x)=ln(5x+2),/'(x)是/。)的导数.则［(|)=

【答案】1

解：函数的导数/'(%)=热

555«

则/‘(|)=-3—=----=-=1,

5x1+23+25'

故答案为：L

训练1、已知函数在R上可导，F(x)=/(x3-1)+/(1-X3),则F'(l)=

【答案】0

解：根据题意,F(x)=/(x3-l)+f(l-x3),

则/'(%)=3X2/Z(X3—1)—3x2f(l—x3),

则/⑴=3/z(0)-3r(0)=0.

故答案为：0.

例3、设函数/(%)满足/(%)=x2+3f(l)x-/(I),则f(4)=.

【答案】5

解：•・,/(%)=%2+3f(i)x-y(i),

"(%)=2x4-3f(l),

令x=l,则/(1)=2+3/(1),即1(1)=一1,则/(%)=%2一3%—/(1),

令x=1,则f(l)=1-3-/(I),则f(1)=-1,即/(%)=%2—3x+1,

则/(4)=42-3x4+1=16-12+1=5,

故答案为5.

训练1、已知定义在(0,+8)上的函数f(%)的导函数为升(%),/(%)=//(I)%3+(%+/(I))-Inx,则f(1)+

(⑴=•

【答案】-|

解：由题意，得/''(X)=3/(1)万2+Inx+1+32

则尸⑴=3尸⑴+l+f(l),

即21⑴+f⑴=-1,①

在，(%)=/口)无3+。+/(1)).1nx中,令x=1得f(l)=尸(1),(2)

由①②，得f(D=/⑴=心.

所以久1)+/'(1)=-|・

故答案为-1.

例4、设函数/(%)=QX+1,若((1)=2,则Q=()

A.2B.—2C.3D.—3

【答案】A

【解答】解：••"'(1)=lima,⑴=iim。⑷+D：i-(a+i)=0且/。)=2>a=2

Ax-04XAr-0IXJ

故选A.

例5、定义方程又x)=/'(%)的实数根X。叫做函数/(的的“新驻点”.⑴设f(x)=sinx,则f(x)在(0㈤上

的“新驻点”为.

(2)如果函数g(x)=ln(x+l)与九(x)=x+e*的“新驻点”分别为a、0、那么a和子的大小关系是

【答案】(1)至；(2)a〈尸.

4

解：(l)・「/(x)=sinx,/r(x)=cosx,

令/(x)=/'(x),即sinx=cosx,得tanx=l,

vxe(0,^-),解得x=5，

所以，函数y=/(x)在(0,万)上的“新驻点”为:；

(2)vg(x)=ln(x+l),〃(x)=x+e*,

则g[x)=—J，”(x)=l+，,

=+

令/(x)=ln(x+l)-----则“⑴~j-z+1x2>°对任意的xe(-l,E)恒成立,

所以，函数9(x)=ln(x+l)-----在定义域(-1,内)上为增函数,

,:力⑼=一[<0,

由零点存在可得ae(0,1),

令〃(x)=〃'(x),可得x=l,即8=1,所以，a</3.

TT

故答案为:⑴一；⑵a(尸.

4

考点三：单调性

例1、下列函数中，在(0,+8)上为增函数的是()

A./(x)=sirtZxB./(x)=xex

C.f(x)=x3—xD./(x)=—x+Inx

【答案】B

【解答】

解：对于A,f(久)=sin2x是周期函数，在(0,+8)上无单调性，二不满足题意；

对于B,,；/(无)=xe3;.1(%)=(1+x)e*,,,.当x€(0,+8)时，［(x)>0,/(x)在(0,+8)上是增函数;

对于C,/(x)=/一x,"(x)=3x2-1,.,.当xG(0,吊时，/'(x)<0,/1(X)是减函数;xG谭,+8)时，

【答案】D

解：由题意，由y=/(x)的图象可知,

(一8,0)上,/(乃单调递增,则y=广(0在(―8,0)上恒有尸⑺>0,由此排除4C;

又y=f(x)在(0,+8)上,先增，再减,再增,

则y=f'(x)在(0,+8)上，先正，再负，再正，排除B；

故选D.

训练1、已知函数f(x)的导函数((x)的图象如图所示，则“为的图象可能为(

【答案】B

解:%>0时，/'(X)>0,则/(x)单增；一2<x<0时，/'(X)<0,则/(x)单减;

乂<一2时，则<乃单增.

则符合上述条件的只有选项艮

故选B.

例4、已知函数/(x)=久+二在(-x.-1)上单调递增，则实数a的取值范围是()

A.[1,+8)B.(-oo,O)U(0,1]

C.(0,1]D.(-8,0)u[1,+8)

【答案】D

解：:/(X)=%+*,.•.r(x)=1-焉,

・函数/'(X)=%+2在(-8,-1)上单调递增，

f'M=1一为20在(一8,-1)恒成立，

即:工产在恒成立，

当x€(—8,—1),x2>1.则(41,

解得Q>1或a<0,

故选

例5、已知函数/(%)=%3—3%4-1.

(1)求曲线y=f(x)在点(0,7(0))处的切线方程；

(2)求函数〃%)的单调区间.

【答案】解：(1)/(%)=/一3%+1,所以f(0)=l,

又/'(%)=3/-3,

所以k=r(0)=-3,

故切线方程为3%+y-1=0.

(2)/'(%)=3x2—3>0,则％>1或工<—1,

f(x)=3/-3<0,则一1Vx<1.

故函数在(一8,-1)和(1,+8)上单调递增，在(—1,1)上单调递减.

训练1、已知函数/(%)=2)%+1.

(1)若/(无)W2x+c,求c的取值范围;

(2)设a>0,讨论函数9(刈=管詈的单调性.

【答案】解：(1)/0)W2%+c等价于2)%-2%Wc-1在(0,+8)上恒成立.

设/i(x)=2bix-2x,"(X)=：-2=^^(K>0).

当xe(0,1)时,h'M>0,九(x)单调递增，

当%G(1,+8)时，hz(x)<0,九(%)单调递减,

・•・九。)在％=1时取得极大值也就是最大值为h(1)=-2,

c—12—2f即cN—1

则C的取值范围为［-1,+8);

(2)gQ)==2(y&>o.》h《a>0).

.-(x-a)-2lnx+2lna---2lnx+2lna+2

令w(x)=-三—2lnx+2lna+2(x>0),

则"。)=要一合写2

令w'(x)>0,解得0VXVQ,令w'(x)<0,解得%>Q,

・•・w(%)在(0,a)上单调递增，在(a,+8)上单调递减.

Aw(x)<W(Q)=0,即g'(%)<0,

•••g(x)在(0,a)和(a,+8)上单调递减.

训练/2、已知函数f(%)=x2-2a\nx-1,其中/WR,a工0.

(1)当Q=2时，求曲线y=/(%)在点(l,f(1))处的切线方程;

(2)求函数的单调区间.

【答案】解：(1)当a=2B寸，f(x)=x2-41nx-1,

所以/'(x)=2%一：,

所以f(l)=0,f(l)=-2,

所以切线方程为：y—0=-2(%—1),即：y——2x+2.

(2)函数定义域为(0,+8),r(x)=2x-y,

因为aeR,aM0,

当a<0时,f(x)>0在(0,+8)上恒成立,

所以函数f(x)的增区间为(0,+8),无减区间.

当a>0时，由［'(2>°得X>疝

由C。得0<x<a

所以函数的增区间为(6,+8),减区间为(0,病.

考点四：极值点

例1、设函数/(x)=2/nx-则()

A.x=e为极大值点B.x=|为极大值点

C.x=l为极小值点D.无极值点

【答案】B

解：：函数/'(x)=2lnx-*2,定义域为(0,+8),

二(。)=：-2x,令尸(x)<0,解得：x>1,%<—1(舍)，

二函数/(%)的单调递减区间为：(1,+8),

同理令((外>0,解得:0<x<l,所以f(x)的单调递增区间为:(0,1),

则x=1为极大值点，

故选尻

例2、已知函数/(%)=/++历:在％=1处有极值10,则f(2)等于()

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】D

解：v/(%)=%34-ax2+bx,

:.=3x2+2ax+b,

;函数/(%)=x3+ax2+bx在％=1处有极值为10,

.[3+2Q+b=0

'71+Q+b=l(r

解得Q=-12,b=21,

••・/(%)=%3—12x2+21%,

・•・f⑵=23-12x22+21x2=2.

故选O.

训练1、已知Q是函数f(x)=/一12%的极大值点，则a=()

A.-4B.-2C.4D.2

【答案】B

解：f'tx)=3x2-12,

:.x<—2时，/'(x)>0,

-2<x<2时，f(x)<0,

x>2时,f'(x)>0；

•••x=-2是/(x)的极大值点；

又a为f(x)的极大值点，

:.a=-2.

故选B.

例3、已知函数/'(x)=/+3a/+bx+a2(a,b6R)在x=—1处取得极值0,则a+b=()

A.4B.11C.4或11D.3或10

【答案】B

解：=3x2+6ax+b,

二((-l)=3-6a+b=0,①，

/(—1)=-1+3a—b+a?=0,(2),

由①②得：

当｛；二；时，/'(%)=3/+6ax+b=3(%+l)2>0,

在x=-1处不存在极值，不合题意；

当R时，符合题意，

3=9

因此Q+b=11.

故选B.

例4、已知/(x)=等，下列说法正确的是()

A./(%)在％=1处的切线方程为y=x—1

B.单调递增区间为(-8,?)

C./(X)的极大值为:

D./(x)的极小值点为x=e

【答案】AC

解：函数/(x)的定义域(0,+oo),

尸(x)=手，所以/'(1)=1，/(I)=0,

/'(X)的图象在点(1,0)处的切线方程为y-0=f(l)(x-1),

即y=l-(x-l)=x-l,故选项A正确；

在(0,e)上，f(x)>0,/(x)单调递增，在(e,+8)上,f(%)<0,/(x)单调递减，故3错

f(x)的极大值也是最大值为/"(e)=等=%故选项C正确；

因为在(0,e)上，/(x)单调递增，在(e,+8)上，/(x)单调递减，所以函数没有极小值点，故。错

故选AC

例5、已知函数/'(%)=21nx-x2.

(1)求函数/(x)在x=1处的切线方程；

(2)求函数/■(>)的单调区间和极值.

【答案】解：(1)•."'(X)=-2x+：=-丝上管》

••.f(l)=0,所求的切线斜率为0,又切点为(1,一1)

故所求切线方程为y=-1.

(2)/'(x)=-2(y(XT)且X>0

令((%)>0得0<x<1,令尸Q)<0得x>1.

从而函数/(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+8)

显然函数只有极大值，且极大值为f(l)=-1.

例6、若函数/(x)=9-]M+x+i在区间6,3)上有极值点，则实数a的取值范围是()

A(点)B.[2,()C.(2谭)D.得

【答案】C

解：((%)=%2—ax4-1,

根据二次函数性质可知，函数/(x)在区间G,3)上有极值点，

等价于r(x)=0有2个不相等的实根且在G，3)内有根，

由/'(%)=x2-ax4-1=。有2个不相等的实根，得a<—2或a>2,

由1(x)=0在C，3)内有根，得a="+：在弓,3)内有解，

乂x+]w[2,/),所以2Wa</,

综匕a的取值范围是(2,弓)，

故选C.

训练1、函数/(%)=13+。%2—2乂+1在在(1,2)内存在极值点，则()

A.-]<a<!B.

C.a<-1或a>：D.a<或a>|

【答案】4

解：•・•/'(%)=%2+2ax—2,

函数/"(x)=|x3+ax2-2x+1在X6(1,2)内存在极值点，

即/+2ax-2=0在(1,2)内有解，2a=|—x有解，

因为y==一%在(L2)为减函数，所以:一xe(—1,1),

即a€(-甜).

故选4.

训练2、设函数“切二个一乂吊刀+%+3恰有两个极值点，则实数t的取值范围是()

A.(—8,刍B.C，+8)

C(?f)U&+8)D,(-00,1]Ug,+oo)

【答案】c

解：由题意知函数f(x)的定义域为(0,+8),

且小)=中-€+1-白

_-1(%+2)]_a-i)a+2)(昌-t).

一/-X2

因为函数f(x)恰有两个极值点，

所以方程-(X)=0在(0,+8)恰有两个不同的解，

显然x=l是它的一个解，而另一个解由方程e-t=0确定，且这个解不等于L

x+2

令g(x)=>°)，则g'(x)=岩器>°，

因此函数g(x)在(0,+8)上单调递增，

从而g(x)>g(0)=p且g(l)=|.

所以，当t>阻t吒时,

即函数f(x)=y-t(lnx+x+习恰有两个极值点，

因此实数t的取值范围是3ug,+oo).

故选C.

考点五：最值

例1、函数/'(x)=Inx-x在区间(0,e］上的最大值为()

A.1—eB.-1C.-6D.0

【答案】B

解:八x)=：l=乎

当x6(0,1)时，f'(x}>0,当xe(l,e)时，/'(%)<0,

所以/(x)在(0,1)上递增，在(l,e)上递减，

故当x=1时f(x)取得极大值，也为最大值，/(I)=-1.

故选:B.

训练1、函数/'(X)=蜻-2x的最小值为.

【答案】2-21n2

解：/(x)=ex-2%求导为f'(x)=ex-2,

则((x)=靖-2在R上显然为单调递增函数，

令/'(X)=ex-2=0,解出x=2n2,

所以/"(x)在(一8,ln2)上单调递减；在(ln2,+8)上单调递增，

故最小值为f(ln2)=2-21n2.

故答案为2-21n2.

训练2、函数y=等的最大值为()

A.-B.eC.e2D.v

e3

【答案】4

解：因为y=咛(％>0)且<=等(％>0),

当无W(e,+8),yf<0,函数单调递减；

当0<%Ve,y>0,函数单调递增，

故当x=e时，ymax=

故选A.

例2、已知函数f(x)=Lnx-p

(1)若a>0,证明/(x)在定义域内是增函数;

(2)若f(x)在［l,e］上的最小值为|,求a的值.

【答案】解：(l)f(x)的定义域是(0,+8),

由a>0,得f'(x)>0,

故/(x)在(0,+8)递增；

(2)/(x)=lnx-p

二小)="

由r(x)=o，得%=-Q.

令/'(X)<0得％<一令/'(%)>。，得％>一Q，

(T)-a<1,即QN—1时，/(%)在口㈤上单增,

f(x)最小值=/⑴=-Q=|,a=-|<-1,不符题意，舍；

②一Q?e,即aW-e时，/(X)在［l,e］上单减，

/(%)最小值=/(e)=1-/=|,a=-^>-e,不符题意，舍；

(3)1<-a<e,即一eVQV-l时，/(%)在［1,一@］上单减，在［-a,e］上单增,

/(%)最小值=f(—ci)=ln(—a)4-l=|,a=—五满足；

综上a=­Ve.

训练1、已知函数/(%)=。/-b/+无+i,且/(l)=1,f(-l)=-3.

(1)求a,b的值；

(2)若xe［-2,2］,求函数f(%)的最大值和最小值.

【答案】解：(1)因为/'(%)=ax3—bx24-x4-1,

.丽—r”(f(l)=a—b+2=l

则nil由题可知：%:八,展

(./(-I)=-a-b=-3

解得：£=［,故a=l,6=2.

3=2

(2)由(1)知:

/(%)=x3—2x2+%+1,xE［—2,2］,

所以1(%)=3x2-4%4-1=(3x-l)(x-1),

令f'(x)=O,Xi=1,x2=1,

由((x)>0,得一24工<；或1<NW2,

«5

由((%)<0,得[<x<1,

所以/(乃在(-2,》上单调递增，在《,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，

又f(—2)=-17J(2)=3,/(i)=|i,/(l)=1,

所以/(X)max=f(2)=3,/(X)min=/(-2)=-17,

故函数/'(x)的最大值为3,最小值为-17.

例3、若函数f(x)=x3-3x由(a,6-。2)上有最小值，则实数a的取值范围为().

A.(―V5,1)B.[―V5,1)C.[—2,1)D.(―V5,-2]

【答案】C

解：由/'(x)=炉-3x,得/'(x)=342—3.

令/''(%)=3x2-3=0,可得x=±1.

xe(—8,—1)时，f(x)>0；xe(-1,1)时，f'(x)<0；

久6(1,+℃>)时，/'(X)>0,

二f(x)的增区间是(一8,—1),(1,+oo),减区间是(-1,1),

X=1为函数的极小值点，X=-1为函数的极大值点.

,•・函数/■(%)在区间9,6-a?)上有最小值，

所以函数/(x)的极小值点必在区间(a,6-a?)内，则忧⑴=_2«

解得：一24a<1,

・•・实数a的取值范围是[一2,1),

故选：C.

例4、已知函数/(x)=ex-x,g(x)=x2-2mx,若对任意％eR,存在&e[1,2],满足/(x])>g(%2)，

则实数加的取值范围为.

【答案】[0,+8)

解：若对任意与€/?,存在小€口,2],满足f(Xi)Ng(X2)，则fCOminNg。)7nH，

f'(x)=ex-1,当x<0时，f'(x)<0,函数/'(x)单调递减，当x>0时，f'(x)>0,函数/'(x)单调递增,

所以/(X)min=f(0)=e°-0=1;

当1WXW2时，因为g(x)是二次函数，对称轴为％=小，下面对m进行分类讨论,

①当m<1时,g(