2021届人教a版（文科数学）古典概型 单元测试

2021届人教A版（文科数学）古典概型单元测试

1、黄冈市的天气预报显示，大别山区在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为

4。％,现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率：先利用计算

器产生0-9之间整数值的随机数，并用0,1,2,3,4,5表示没有强浓雾，用6,

7,8,9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生

了如下20组随机数：

779537113730588506027394357231

683569479812842273925191978520

则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（）

1231

A.4B.5C.10D.5

2、把12个人平均分成两组，每组任意指定正、副组长各1人,则甲被指定为正组长

的概率为（）

1111

A.12B.6c.4D.3

3、已知袋中装白球和黑球各3个,从中任取2个,则至多有一个黑球的概率是（）

1411

A.5B.5C.3D.2

4、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个

小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）

1123

(A)3(B)2(C)3(D)4

5、现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本,取出的是理科

书的概率为（）

£2

A.B.

55

34

C.D.

5

6、在所有的两位数（10-99）中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是

)

A.

3

2

B.

3

]_

C.

2

5

D.

6

7、若从2个海滨城市和2个内陆城市中随机选2个去旅游，那么恰好选1个海滨

城市的概率是（)

1211

A.]B.C.WD.2

8、从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是

（）

9、为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣

小组，小明要选报其中的2个，则基本事件有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

10、从1、2、3、4这4个数字中，不放回地任取两个数，两数不都是偶数的概率

是（）

11、一个袋中有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5的五个球，从中有放

回地每次取一个球，共取3次，取得三个球的编号之和不小于13的概率为（）

4724

A.——B.——C.—D.—

1251252525

12、下课以后，教室里还剩下2位男同学和1位女同学，若他们依次走出教室，则

第2位走出的是女同学的概率是（）

1111

A.2B.3c.4D.5

13、袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球,从中任取一球，摸出红球、白球

的概率各是0.40和0.35,那么黑球共有个.

14、若掷一颗质地均匀的骰子，则出现向上的点数大于4的概率是

15、从长度分别为2,3,4,5的线段中任取三条，则以这三条线段为边可以构成

三角形的概率是.

16、将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是

.（结果用数值表示）

17、2018年9月，某校高一年级新入学有360名学生，其中200名女生，160名男

生.学校计划为家远的高一新生提供10间女生宿舍和8间男生宿舍，每间宿舍可

住2名同学.该校“数学与统计”社团的同学为了解全体高一学生家庭居住地与学

校的距离情况，按照性别进行分层抽样，其中共抽取20名女生家庭居住地与学校

的距离数据（单位：km）如下：

5677.588.443.54.54.3

5432.541.666.55.55.7

（I）根据以上样本数据推断，若女生甲家庭居住地与学校距离为8.3km,她是否

能住宿？说明理由；

（II）通过计算得到女生家庭居住地与学校距离的样本平均值为5.1km,男生家庭

居住地与学校距离的样本平均值为4.875km,则所有样本数据的平均值为多少？

（ID）已知某班有4名女生安排在两间宿舍中，其中有一对双胞胎，如果随机分配

宿舍，求双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率.

18、某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按

成绩分组，得到的频率分布表如表所示.

组号分组频数频率

第1组[160,165)50.050

第2组[165,170)a0.350

第3组[170,175)30b

第4组[175,180)200.200

第5组[180,185]100.100

合计1001.00

（I）求出频率分布表中a,b的值，再在答题纸上完成频率分布直方图；

（II）根据样本频率分布直方图估计样本成绩的中位数；

（皿）高校决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二

轮面试，再从6名学生中随机抽取2名学生由A考官进行面试，求第4组至少有一

名学生被考官A面试的概率.

19、如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数，乙组记录中

有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示.

甲组乙组

970X89

1110

35

（I）如果乙组同学投篮命中次数的平均数为4,求x及乙组同学投篮命中次数的方

差；

（H）在（I）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各

随机选取一名，记事件A：“两名同学的投篮命中次数之和为17”，求事件A发生的

概率.

20、在一次抽奖活动中，有a、b、c、d、e、f共6人获得抽奖的机会。抽奖规则

如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获一等奖，再从余下的4人中随机抽取1

人获二等奖，最后还从这4人中随机抽取1人获三等奖。

（I）求a能获一等奖的概率；

（II）若a、方已获一等奖，求c能获奖的概率。

21、某学校共有高一、高二、高三学生2000名，各年级男、女生人数如下图：

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.

（1）求X的值；

（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？

(3)已知y2245,z2245,求高三年级中女生比男生多的概率.

22、某学校就一问题进行内部问卷调查.已知该学校有男学生90人，女学生108人,

教师36人，用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查.问卷调查的问题设置

为“同意”、“不同意”两种，且每人都做一种选择.下面表格中提供了被调查人答

卷情况的部分信息.

同意不同意合计

教师1*

女学生4

男学生2

(1)请完成此统计表；

(2)根据此次调查，估计全校对这一问题持“同意”意见的人数；

(3)从被调查的女学生中选取2人进行访谈，求选到两名学生中恰有一人“同意”、

一人“不同意”的概率.

参考答案

1、答案C

由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机

数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到6组随机数,

根据概率公式，得到结果.

详解

解：由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组

随机数，

在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有，

可以通过列举得到共6组随机数：779,588、683、569,479,978,

63

所求概率为2。-1。,

故选：C.

名师点评

本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的

应用.

2、答案B

12个人被平均分成两组，每组6个人,则甲必被分到其中一组,则只需研究该组即可.该

1

组6个人中，甲被选为正组长的概率为同

3、答案B

从袋中任取2个球,有15种等可能取法(不妨将黑球编号为黑1、黑2、黑3,将白球编号

为白1、白2、白3).取出的两个球都是白球有3种等可能取法，取出的两个球一白一黑

有9种等可能取法,则事件A=｛取出的两个球至多有一个黑球｝,共有9+3=12(种)取法,故

124

P(A)=15~5.

4、答案A

每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情

3_]_

形只有3种，所求的概率为p=3§选A

5、答案C

记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E,则A、B、C、

D、E是彼此互斥的，取到理科书的概率为事件以D、E的概率的并.

1113

：.P(BUDUE)=P(B)+P(D)+P(E)=-+-+

6、答案B

7、答案B

设2个海滨城市分别为A,B,2个内陆城市分别为a,b,从4个城市中选择2个去旅游

有(A,B),(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(a,b),共6种不同的选法，其中满足恰

好有1个海滨城市的有(A，a),(A,b),(B,a),(B,b),共4种不同的选法，则所求概

率为3=1，故选B.

8、答案D

法一：对于符合条件“个位数与十位数之和为奇数的两位数”分成两种类型：一是十位

数是奇数，个位数是偶数，共有5x5=25个，其中个位数为0的有10,30,50,70,90共

5个；二是十位数是偶数，个位数是奇数，共有4x5=20,所以「==一=」.故

25+209

选D.

法二：设个位数与十位数分别为x,y,则x+y=2Z-l,Z=l,2,3,4,5,6,7,8,9,所以

分别为一奇一偶，第一类x为奇数，y为偶数共有C；xC；=25个数；第二类x为

偶数，y为奇数共有C；xC=20个数。两类共有45个数，其中个位是0,十位数是奇

数的两位有10,30,50,70,90这5个数，所以其中个位数是0的概率是』=」，选D。

459

9、答案C

10、答案D

11、答案C

解：有放回地每次取一个球，共取3次的取法有：53=125种取法，

其中满足题意的取法有10种，具体如下：

（5,5,5）,（5,5,4）,（5,4,5）,（4,5,5）,（5,5,3）,

（5,3,5,）,（3,5,5）,（5,4,4）,（4,5,4）,（4,4,5）,

102

由古典概型公式可得，取得三个球的编号之和不小于13的概率为〃=」上=已.

12525

本题选择C选项.

12、答案B

先由题意确定试验所包含的基本事件总数，再确定满足条件的基本事件数，即可求出结

果.

详解

由题意教室里还剩下2位男同学和1位女同学，他们依次走出教室，共包含3个基本事

件，

1

第2为时女同学只有一个基本事件，所以第2位走出的是女同学的概率是3.

名师点评

本题主要考查古典概型，属于基础题型.

13、答案25

1

14、答案3

基本事件总数n=6,则出现向上的点数大于4包含的基本事件个数m=2,进而求出出现

向上的点数大于4的概率。

详解

掷一颗质地均匀的骰子，

基本事件总数n=6,

则出现向上的点数大于4包含的基本事件个数m=2,

m21

所以出现向上点数大于4的概率为「n63

1

所以答案为3

名师点评

本题考查概率求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题。

15、答案士

4

5

16、答案*

P=C；㈠③­（-）2=一.

一枚硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率2216

5

故答案为16.

1

17、答案（I）女生甲能住宿.理由见，（II）5,（III）3

试题分析：（I）根据抽取的20名女生中，家庭居住地与学校距离超过8km只有一人，

即可判断出结果；

（II）根据分层抽样的特征，可得抽取的男生样本数，再根据女生样本数，即可求出平

均值；

（III）用列举法列举出总的事件个数，以及满足条件的事件数，即可根据古典概型的概

率计算公式求出概率.

详解

解：（I）女生甲能住宿.

理由如下：

学校计划为家远的高一新生提供10间女生宿舍和8间男生宿舍，每间宿舍可住2名同

学.

女生甲家庭居住地与学校距离为8.3km,

抽取的20名女生中，家庭居住地与学校距离超过8km只有一人，

二估计200名女生中家庭居住地与学校距离超过8km的有10人，

故女生甲能住宿.

（II）根据分层抽样的原则，抽取男生样本数为16人.故，

20x5.1+16x4.875

-----------------=5

所有样本数据平均值为20+16

（III）解法一：记住宿的双胞胎为A”A”其他住宿女生为R,Bz

考虑Ai的室友，共有42,Bi,B2三种情况，

1

所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为3.

解法二：记住宿的双胞胎为％,A2,其他住宿女生为%,B2.

随机分配宿舍，共有"ArA?），（B「B?）］,［（A］,BJ,（A2，B?）］,［（A］,B2）,（A2，BJ］三种

情况，

满足题意得有1％AJ，包,B?）］一种情况,

1

所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为3.

名师点评

本题主要考查分层抽样，以及古典概型的问题，常用列举法处理古典概型的问题，属于

基础题型.

5153

18、答案（1）见；（2）号（3）5

试题分析：（I）由频率分布表，能求出a,b,由此能作出频率分布直方图；（II）求出

［160,170）的频率，［170,175）的频率为0.3,由此能求出样本成绩的中位数;（皿）第3、4、

5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，第3、4、5组分

别抽取3人、2人、1人•设第3组的3位同学为名，A2,公，第4组的2位同学为名,

场,第5组的1位同学为Q,由此列举法能求出第4组至少有一名学生被考官A面试的

概率.

详解

（I）由频率分布表，得：

a=100X0.35=35,

频率分布直方图为:

频率

组距

0.007----------|_

0.006----------------------

0.004---------------------------

0.002---------------------------------

0.001…।—

—一160165170175180185成绩

(H[160,170)的频率为0.05+0.35=0.4,[170,175)有频率为0.3,

——x5=——

二样本成绩的中位数为:

QUA第3、4、5组共有60名学生,

二利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:

—x6=1

第3组：60人，第4组：60人，第5组：60人，

二第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.

设第3组的3位同学为A2,43,第4组的2位同学为名,B2,第5组的1位同学为

则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：

（“2）,（甸甸,（公同），（&2），“1£）,如小），（4/1）,6/2）,（饮1）,

（公乌），（&，的）,⑶心），⑸々），（%0）,（BQ,

第4组至少有一位同学入选的有9种可能，

V=--=—

二第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为155.

名师点评

本题频率分布表、频率分布直方图的应用，考查中位数、概率的求法，考查数据处理能

力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题.对于古典概型，

要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的

事件个数即可.

19、答案（I）x=8,$16；（II）3.

试题分析：（I）利用平均数公式即可求得X,利用方差的计算公式即可求得方差

（II）列出这两名同学的投篮命中次数之和为17的所以时间利用古典概型即可求出概

率

x+8+9+1035

=-=>x=8

试题（I）由题可得4

1357353511

s9=-[2x（8——）+（9——7）+（10——）9]=一

方差444416

（II）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为人1人2,他们的投篮命中次数分别为9,7

记乙组投篮命中次数低于10次的同学％上2上3,他们的投篮命中次数分别为8,8,9,由

题意

不同的选取方法有供1凡）"1乃2）,伊1乃3）,伊2,81）,伊2耳）,伊2鸟）共6种，

设“这两名同学的投篮命中次数之和为17”为事件J则C中含有（Al，Bl），（Al，B2）共2种基

本事件

21

P（C）=-=-

故63

考查目的：平均数，方差，古典概型

20、答案（I）设“a能获一等奖”为事件A,事件A等价于事件“从6人中随机取抽两

人，能抽到a”.从6人中随机抽取两人的基本事件有（a、b）、（a、c）、（a、d）、（a,e）、

（a、f）、（b、c）、（b、d）、（b、e）、（b、f）、（c、d）、（c、e）、（c、f）、（d、e）、（d、

f）、（e、f）15个，包含a的有5个，所以，P（A）

153

答：a能获一等奖的概率为1.

3

（II）设“若a、b已获一等奖，c能获奖”为事件B,

a、b已获一等奖，余下的四个人中，获奖的基本事件有（c,c）、（c、d）、（c、e）、

（c、f）、（d,c）、（d、d）、（d>e）、（d、f）、（e,c）、（e、d）、（e、e）、（e、f）、（f,

c）、（f、d）、（f、e）、（f、f）16个，

7

其中含有c的有7种，所以，P（B）=—,

16

7

答：若a、b已获一等奖，c能获奖的概率为

16

」X一=0.19,=380

21、答案⑴由已知有2000；

（2）由（1）知高二男女生一起750人,又高一学生750人,所以高三男女生一起500人，

按分层抽样，高三年级应抽取人；

⑶因为、-245,N>245,所以基本事件有：

y=245,z=255;y=246,z=254;y=247,z=253;y=248,z=252;y=249,z=251

y=250,z=250;y=251,z=249,y=252,z=248;y=253,z=247;y=254,z=246

y=255,z=245,一共0个基本事件.

其中女生比男生多，即y〉z的基本事件有：

y=251,z=249,y=252,z=248;y=253,z=247;