2021学年沪教版八年级上册数学- 第13讲：函数的表示法

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主题：函数的表示法

自学五步法

◎兴趣起航

g乐学善思

1、解析法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数

的解析式（或函数关系式）.简单明了，能从解析式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与

研究，但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用解析式表示.

【例1】填空：

（1）正方形的边长X和面积y之间的函数解析式是；

（2）长方形的周长为10厘米，长是厘米），宽是y（厘米），则y关于x的函数解析式是.

【答案】（1）y=f；（2）y=5-x.

【解析】（1）根据正方形面积=边长的平方，即得：y=V；

（2）根据长方形周长=2（长+宽），即得2（x+y）=10,解得:y=5-x.

【总结】考查函数解析式与实际问题的结合应用，用已知量替代即可.

【例2】已知矩形的面积是24平方厘米，其长为y（厘米），宽为x（厘米），则y与x之间的函数关系的图像

大致在象限，y随x的增大而.

【答案】第一，减小.

【解析】根据矩形面积计算公式，可得◎=24,即得y=竺，由x>0,可知函数图像在第

X

象限，根据函数性质，&=24>0,可知y随x的增大而减小.

【总结】考查利用公式解决实际问题与反比例函数的增减性.

【例3】某高速公路全长200公里，汽车以80公里每小时的速度行驶，开了x小时后，剩下的路程y(公里)

关于行驶的时间x(小时)之间的函数关系式为.

【答案】y=200-80x.

【解析】行程=速度X时间，可得汽车行程S=80x,则剩余路程y=200-S=200-80x.

【总结】考查行程问题建立等量关系表示相应的量.

【例4】某人将2万元现金存入银行，存款的年利率为1.5%,存入x年，则到期后取出的本利和y关于期数

x的函数解析式为.

【答案】y=20000+300x.

【解析】根据题意可得每年利率为20000xl.5%=300元，

则存入x期到期的本利和为：y=20000+300x.

【总结】考查利息问题，注意所要求解的是哪个量.

【例5】若点P(x,>)在第一、三象限的角平分线上，则用变量x来表示变量y的函数解析式为

【答案】y=x.

【解析】点P(x,y)在一、三象限角平分线上，则有43=45。，且有凶=刨，点在一、三

象限，则有x、y同号，由此即可得y=x.

【总结】考查象限角平分线上的点横纵坐标的关系.

【例6】从A市向B市打长途电话，收费的方式如下：0~3分钟收费2.4元，3分钟以后每加1分钟加收1

元.

(1)求当时间色3分钟时。是整数)，电话费y(元)和时间r(分钟)之间

的函数关系式；

(2)若某次通话总费用为9.4元，求通话的时间.

【答案】(1)y=r-0.6；(2)10.

【解析】⑴3分钟以内收2.4元，超过3分钟部分为(一3)分钟，

由此可得总费用y=2.4+l(r-3)=/-0.6;

(2)令y=t-0.6=94,解得：f=10.

【总结】考查分段函数的简单应用.

【例7】在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x绕点。顺时针旋转90。得到直线I,直线/与反比例函数y=«

X

的图象的一个交点为A（a,3）,试确定反比例函数的解析式.

【答案】y=~.

X

【解析】直线y=-x绕点。旋转90。得到直线解析式即为y=x,直线/与反比例函数交于点

A（a,3）,即可得交点坐标为（3,3）,（3,3）在反比例函数y=&上，则有4=3,

x3

解得：k=9,即反比例函数解析式为y=2.

X

【总结】考查特殊正比例函数的旋转，正反比例函数交点的结合应用.

【例8】将长为38厘米，宽为5厘米的长方形白纸，按如图所示的方式粘合在一起，粘合部分白纸为2厘米

（1）求10张白纸粘合后的长度？

（2）设x（张）白纸粘合后的总长为y（厘米），写出y和x的函数关系式.

【难度】★★

【答案】（1）362cm;（2）y=36x+2.

【解析】（1）粘合处的重叠部分长度为2加，10张白纸粘合在一起，共有9处重叠,

则粘合后的长度为38x10-2x9=362cm；

（2）粘合处的重叠部分长度为2即，x张白纸粘合在一起，共有（x-1）处重叠，

则粘合后的长度y=38x-2（%-1）=36%+2.

【总结】考查找规律的应用，注意叠合部分的长度.

【例9】某市城建部门经过长期市场调查发现，该市年新建商品房面积尸（万平方米）与市场新房均价x（千元/

平方米）之间存在函数关系P=25x；年新房销售面积。（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）之间的函

数关系为。=坨120-10.

x

（1）如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等，求市场新房均价和年新房销售总额；

（2）在（1）的基础上，如果市场新房均价上涨1千元，那么该市年新房销售总额是增加还是减少?变化了

多少？

【答案】（1）单价2千元，销售总额10亿元；（2）减少1亿元.

【解析】（1）令25x=0-10,整理得：5X2+2X-24=0,解得：=-2.4,x,=2,

X

即得新房销售均价为2千元/平方米，销售总额为0.2x（120+2-10）=10亿元；

（2）依题意新房均价为2+1=3千元/平方米，年销售面积为120+3-10=30万平方米，

则销售总额为0.3x30=9亿元，即销售总额减少，减少10-9=1亿元.

【总结】考查根据函数解析式解决函数问题，根据题目要求进行计算即可.

【例10】小强利用星期日参加了一次社会实践活动，他从果农处以每千克3元的价格购进若干千克草莓

到市场上销售，在销售了10千克时，销售收入是50元，余下的他每千克降价1元出售，全部售完，两

次共销售收入70元，已知在降价前销售收入y（元）与销售重量x（千克）之间成正比例关系.请你根据

以上的信息解答下列问题：

（1）求降价前销售收入y（元）与售出草莓重量x（千克）之间的函数关系式；

（2）小强共批发购进多少千克的草莓；

（3）小强决定将这次卖草莓赚的钱全部捐给汶川地震灾区，那么小强共捐款多少元？

【答案】（1）y=5x;（2）15千克；（3）25元.

【解析】（1）售出草莓重量x与销售收入>成正比，可设y=依，依题意可得10%=50,

解得：k-5,即得y=5x;

（2）由（1）可知降价前草莓销售单价为5元/千克，则降价后单价为5-1=4,

由此可得购进草莓总量为10+（70-50）4-4=15千克；

（3）小强销售总利润为70-15X3=25元，即捐款总额为25元.

【总结】考查函数的分段，对销售问题的理解应用.

【例11]如图，奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后，沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递.动

点7（%,〃）表示火炬位置，火炬从离北京路10米处的M点开始传递，到离北京路1000米的N点时传递

活动结束.迎圣火临时指挥部设在坐标原点。（北京路与奥运路的十字路口），Q47B为少先队员鲜花方

阵，方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000平方米（路线宽度均不计）.

（1）求图中反比例函数的关系式（不需写出自变量的取值范围）；

（2）当鲜花方阵的周长为500米时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）；

（3）设1=机-〃，用含f的代数式表示火炬到指挥部的距离；当火炬离指挥部最近时，确定此时火炬的

位置（用坐标表示）.

V0~~奥林匹克广场

（火炬）

【答案】(1)y=^--,(2)(50,200)或(200,50);

(3)«+20000,(100,100).

【解析】(1)方阵面积恒为10000平方米，

即得孙=10000,

所以反比例函数解析式为y=

X

(2)鲜花方阵周长为500,即得2(〃?+“)=500,又加=10000,

解得::即得火炬位置对应坐标为(50,200)或⑵)0,50);

(3)由f=tnn=10000,可得：m2+n'=—n)'+2mn=t2+20000,

即得火炬到指挥部距离为=G+20000,火炬离指挥部距离最近时，则有f=0,即

得,则火炬位置对应坐标为(100,100).

【总结】考查反比例函数的综合应用，转化为解方程题型即可.

【例12]如图所示：长方形4BCD中，A8=5,4。=3,点P从4点出发，沿长方形

ABC。的边逆时针运动，再次回到A点时停止运动，设点尸运动的距离是x,AAPC的面积是y,求y和

x的函数关系式及定义域.

^x（0<x<5）

--x+20（5<x<8）

【答案】y='2

-x-12（8<x<13）

-yx+40（13<x<16）

【解析】由点P的运动轨迹可知，

当0<xW5时，此时点P在边上,

13

AP=x,y=-APBC=-x；

22

当5<xW8时，此时点P在8C边上，CP=S-x,。|--------------N|C

y=；CPA3=；(8_x)x5=_|x+2();

当8<xV13时，此时点P在C。边上，CP=x-8,

ii3

y=-CPAD=-(x-8)x3=-x-l2；

当13Vx<16时，AP=l6-x,

^=|AP-CD=1(16-X)X5=-|X+40.

【总结】考查函数的分段解析式，用题目条件分别对应表示线段长度再进行代值计算，注意分

类讨论.

二、列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接

找到自变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难以看出规律.

【例13】函数y=G的部分对应值如下表:

X••・-1012...

y...202h

根据表格回答问题：

(1)函数的解析式为，定义域为，b=

(2)请再举一些对应值，猜想该函数的图像关于对称.

【答案】(1)y=2f,全体实数，8；(2)y轴.

【解析】(1)函数y=s2过点(],2),即得：a=2,则函数解析式为y=2x,,对应定义域为全

体实数，令x=2,即得。=y=2x2)=8;

(2)x互为相反数，对应y值相等，可知函数图像关于y轴对称.

【总结】考查根据函数图像上一点确定相应函数解析式并适当猜想应用.

(2)若出售10支铅笔，售价应为元；

(3)根据你的预测，付款20元，可买支铅笔;

（4）请写出售价y与所售铅笔数量无的函数关系式.

【答案】（1）铅笔的数量，售价，铅笔的数量，售价，铅笔的数量，售价，铅笔的数量;

（2）5；（3）40；（4）y=0.5x.

【解析】（1）略（函数相关基本概念）；

（2）根据表格可知，售价与所售铅笔支数成正比，即可得每支铅笔单价为0.5元，

出售10支铅笔，售价为10X0.5=5元；

（3）可买铅笔支数为20・0.5=40支；

（4）根据总价=单价X数量，即得y=0.5x.

【总结】考查函数的基本定义和判定，总价=单价X数量的关系应用.

【例15】如果函数y=ar+b的部分对应值如下表:

X-2-10123

y6420-2-4

根据表格回答：

（1）求方程ajc+t>=0的解？

（2）不等式ax+XO的解集又是多少?

【答案】（1）x=l；（2）x>1.

【解析】（1）根据表格可知，x=l时，y=0,即得方程奴+b=0的解为x=l;

（2）由表格可知，y随着x的增大而减小，x=l时，y=0,y<0,即y值从。开始逐渐

减小，对应的x值从1开始逐渐增大，即可得"+6<0的解集为x>l.

【总结】考查根据表格确定相应自变量取值范围，注意相应函数的增减性即可，不需要求解代

值计算.

【例16]在下图中，每个正方形由边长为1的小正方形组成:

观察图形，填写下列表格:

■■H

/?=1M=2〃=3M=4，=5n=6

正方形边长1357n（奇数）

黑色小正方形个

数

正方形边长2468n（偶数）

黑色小正方形个

数

【答案】1,5,9,13,2/?-1；4,8,12,16,In.

【解析】观察相应图形可知，分别从〃为奇数和偶数观察，边长每增加2,黑色小正方形个数

增加4个，”为奇数，小正方形个数从1开始增长，即得黑色小正方形个数为

1+4（〃-1）+2=2〃-1;〃为偶数，小正方形个数从4开始增长，即得黑色小正方形个数为

4+4（〃-2）+2=2〃，即可得到对应表格中的数字.

【总结】考查找规律方法的应用，注意数字之间的变化.

【例17】某市全面推行农村合作医疗，农民每年每人只拿出10元就可以享受合作医疗:

住院费（元）报销费（％）

不超过3000元部分15

3000-400025

4000-500030

5000-1000035

100000-2000040

超过2000045

设报销的费用是y元

（I）求住院费不超过3000元时，报销费y与住院费x元之间的关系;

（2）求住院费不超过4000时，报销费y与住院费x之间的关系；

（3）某人住院费报销了805元，求花费的总费用.

15%x(0<x<3000)

【答案】(1)y=15°/ox；(2)y='(3)43507G.

25%x-300(3000<x<4000)

【解析】(1)住院费不超过3000元，报销费用y与住院费x成正比，则有y=15%x；

(2)住院费不超过4000元，需根据费用是否超过3000元进行分类讨论，即：

当04x43000时，y=\5%x;

当3000cXW4000时，y=3000x15%+25%(x-3000)=25%》-300;

(3)由(2)可知费用不超过4000元时，最高报销费用为25%x4000-300=700元，

由表格知费用不超过5000元时，最高报销费用为700+(5000-4000)x30%=1000元，现报

销费用为805元，在700与1000之间，可知住院费用在4000与5000之间，

令y=700+30%(x-4(XX))=805,解得：x=4350,即住院费用为4350元.

【总结】考查分段函数的应用，注意是整体讨论还是分段进行讨论，是否进行分段计算.

三、图像法

1、图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的

对应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对应值一般只

能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体.

2、三种表示法的相互联系与转化：由函数的解析式画函数的图像，一般分为“列表、描点、

连线”三个步骤，通常称作描点作图法；同样，函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值，也

是函数解析式所表示的方程的一个解.

【例18】一辆客车从上海出发开往北京，设客车发f小时后与北京的距离为S千米，下列图像能大致反

应S和f的函数关系的是()

【答案】A

【解析】客车发车时，与北京距离最远，即对应y值最大；客车到达北京时，与北京距离最近

为0,符合条件的图像为A选项.

【总结】考查图像法表达函数关系，注意相应函数图像上的点的意义.

【例19]图中是某水池有水Q(万吨)与排水时间，小时的函数图像.试根据图像，回答下列问题:

(1)水池内有水万吨；

(2)向水池内注水小时；每小时

注水万吨：

【答案】(1)100；(2)3,—：(3)5,60.

3

【解析】(1)f=0时，2=100,

可知水池内原有水100万吨；

(2)f=3时，水池内水量达到最多Q=300,

可知注水时间为36,

注水速度为迎二更=迎万吨；

33

(3)/=8时，水池内水排空，可知排水时间为8-3=53排水速度为乎=60万吨.

【总结】考查函数图像的应用，注意函数上相应特殊点的意义和相应的状态.

【例20】已知，在矩形ABCD中，AB=3,8c=4,点P在边上运动，连结。P,过点A作AE_L£>P,

垂足为E,设。P=x,AE=y,则能反映y与x之间函数关系的大致图像是().

ABCD

【答案】C

【解析】根据题意可得“9即得：孙=12,图像为反比例函数的一

段，同时易得X的取值范围为3Vx45,故选C.

【总结】考查与平行四边形相关的图形面积的综合应用，两个变量之积不变成反比例.

【例21]如图是一位同学骑自行车出行时，所行路程S（k"）和时间f（m山）的函数关系图像，从中得到

正确的信息是（）

A.整个行程的平均速度是,切?/〃

60

B.前20分钟的速度比后半个小时的速度慢

C.前20分钟的速度比后半个小时的速度快

D.从起点到达终点，该同学共用了50分钟

【答案】C

【解析】根据函数图像，可知这位同学行程为76，行车时间为60min=l/z,得平均速度为

7kmih,故A、D错误，同时根据图像的倾斜程度，即可确定相应的平均速度快慢，直

线越陡峭，速度越快，可知前20分钟比后半个小时速度快，B错误，C正确.

【总结】考查对函数图像上点的意义的理解应用.

【例22】折线表示一辆电瓶车的行程图，骑车者7:30离开家，14时回到家，根据图像中提供的有关信息,

解答下列问题：

（1）离家最远的地方离家千米；

（2）在目的地游玩并午餐用了分钟；

（3）回家所用的时间是；

（4）回家的平均速度.

【答案】（1）10；（2）192；（3）0.8/2；

（4）\2.5km/h.

【解析】（1）根据图像y的最大值为10,即离家最远距离为10千米；

（2）10一一13.2期间图像y值保持不变，在此期间即为游玩并午餐时间，

共用时（13.2-10）x60=192分钟；

（3）回家时间为14-13.2=0.8/1；

（4）回家平均速度为10+0.8=12.5也?/〃.

【总结】考查对函数图像上点的意义的理解应用.

【例23】小华、爸爸、爷爷同时从家中出发，到达同一目的地后立即返回，小华去时骑自行车，返回时步

行，爷爷去时步行，返回时骑自行车，爸爸往返都步行，三人步行速度不等，小华与爷爷骑车的速度相

等，每个人的行走路程与时间的关系可用下面三个图象分别表示，根据图象回答下列问题：

(2)小华家距离目的地多远？

(3)小华和爷爷骑车的速度是多少?三人的步行速度分别是多少？

【答案】(1)第一个图像对应爷爷，第二个图像对应爸爸，第三个图像对应小华；

(2)1200m；(3)小华和爷爷骑车速度为200〃?/min,爷爷步行速度为60,〃/min,

爸爸步行速度为lOOw/min,小华步行速度为80m/inin.

【解析】(1)根据图像的倾斜程度，即可确定相应的平均速度快慢，直线越陡峭，速度越

快，可知第一个图为先步行后骑车，表示爷爷，第二个图为来回都步行，表示爸爸，第三

个图为先骑车后步行，表示小华；

(2)根据图像可知小华到达的最远距离为1200”，即小华家与目的地距离为120(加；

(3)根据图像，小华与爷爷骑车6min到达目的地，骑车速度为1200+6=200〃?/min；

图像一，爷爷步行20min到达目的地，步行速度为1200+20=60m/min；爸爸步行12min到

达目的地，步行速度为1200+12=100〃?/min；小华步行21-6=15min到家，步行速度为

1200+15=80，〃/min.

【总结】考查对函数图像法的观察分析，根据直线的倾斜程度即可判断相应的速度大小解决问

题.

【例24】某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图(甲)所示，

出水口出水量与时间的关系如图(乙)所示.已知某天0点到6点，进行机组试运行，试机时至少打开一个

水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示，根据图像说明：

(1)进水口单位时间内进水量是多少?出水口单位时间内出水量是多少?

(2)求0点到3点这段时间水池内水量y与时间x的函数解析式及定义域;

(3)试说明3到4点和4点到6点这个时间段内进出水口的开放情况.

【答案】（1）1万立方米/时，2万立方米/时；（2）y=2x（O4x43）;（3）3点到4点开

放1个进水口，1个出水口；4点到6点开放2个进水口，1个出水口.

【解析】（1）根据（甲）图像可知，1小时进水1万立方米，即单位时间进水量为1万立方米

/时；根据（乙）图像可知，1小时出水2万立方米，即单位时间出水量为2万立方米/时；

（2）根据图像可知，0点到3点函数为正比例函数，设函数解析式为、="，函数过点（3,6）,则

有3%=6,解得：k=2,即相应函数解析式为y=2x（0V3）;

（3）根据图像可知3点到4点之间1小时减少1立方米，至少开放1个进水口，则为开放1

个进水口，1个出水口；4点到6点之间2小时内水量保持不变，至少开放1个进水口，则为

开放2个进水口，1个出水口.

【总结】考查进出口问题，注意观察函数图像体现的单位时间内水量变化情况，确定相应的进

水口和出水口的开放情况.

【例25】小刚从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A,再走上坡路到达最后走下坡路到达单位,

所用的时间和路程的关系如图所示，下班后，如果他按照原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分

别保持和上班的时候一致，求他从单位到家的时间.

【答案】15分.

【解析】根据图像可知，小刚走上坡路骑车

速度为切?/min,小刚走卜坡路

8-35

骑车速度为~^--km/mm,从单位

12-82

到家的过程中，先走上坡路，

再走下坡路，最后走平路，

则到家所需时间为（4-2）4+（2-1）,+3=15分钟.

【总结】考查函数图像倾斜程度的意义，根据一定时间内的行程即可确定相应行车速度.

4

【例26]函数％=x（xW0）,y2=M（x>。）的图像如图所示，则结论：①两函数图像的交点A的坐标为（2,

x

2）；②当x>2时,y>y；③当x=l时,8C=3；④当x逐渐增大时，弘随着x的增大而增大，力随着工

的增大而减小.其中正确的结论的序号是

【答案】①③④

【解析】令x=±,解得：x=±2,由x>0,则有x=2,此时y=x=2,

x

即得交点坐标（2,2）,①正确；对同一x值而言，函数图像在上方即相应函数值越大，

x>2时y在上方，即乂>必，②错误；令x=l，得8（1,1）,C（l,4）,则有BC=3,③正

确；根据正比例函数和反比例函数的增减性，x>0时，4=1>0,正比例函数％随x增大而

增大，％=4>0,反比例函数%随%增大而减小，可知④正确；

综上，①③④正确.

【总结】考查正反比例函数性质和交点的结合应用.

【例27】在四边形48C。中，动点尸从4开始沿A-8-C-。的路径匀速运动到。为止，在这个过程中，设

△APO的面积是S,运动的时间为f,则S关于，的函数图像为

（）.

【答案】D

【解析】根据题意，点P在移动过程中，S先从0增大，然后保持不变，最后减小为0,由此

排除A、C选项，同时，由可知点P在CD上运动时间长于在4?上运动时间，即

图形面积变化相对慢，排除B,故选D.

【总结】考查动点问题，根据点的移动确定相应的图形面积表示，同时注意相应线段的倾斜程

度表示面积变化的快慢.

【例28]如图，表示玲玲骑自行车离家的距离与时间的关系，她9点钟离开家，15点回到家，请根据图

像回答下列的问题：

(1)玲玲到达离家最远的地方是什么时间，离家多催离

(2)她何时开始第一次休息?休息了多长时间？!

(3)第一次休息时，离家多远？30

(4)11：00~12:00她骑了多远？

(5)她在9:00-10:00和10:00-10:30的平均

速度是多少？17

(6)她在何时至何时停止休息用午餐？

(7)她在停止前进后返回，骑了多少千米？

15----

(8)返回时的平均速度是多少？/

【答案】略

【解析】(1)根据图像可知玲玲到达离家最远的地行时间是12：00,离家30km;

(2)10:30开始休息，休息时间为30分钟；

(3)第一次休息时离家17版；

(4)11:00~12:00行程为30-17=13初I；

(5)9:00~10:00平均速度15+1=15痴/〃，10:00~10:30平均速度(17-15)+0.5=4妨?//7；

(6)12:00~13:00停止休息用午餐；

(7)停止前进后返回骑了30珈；

(8)返回时平均速度为30+(15-13)=15h〃//z.

【总结】考查对函数图像的观察，注意函数上各个节点的意义.

【例29】在平面直角坐标系中，一动点P(x,y)从M(1,0)出发，沿由A(-1,1),B(-1,-1),C

(1,-1),D(1,1)四点组成的正方形边线(如图1)按一定方向运动.图2是P点运动的路程s(个单

位)与运动时间，(秒)之间的函数图象，图3是尸点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的

一部分.

(1)s与f之间的函数关系式是；

(2)与图③相对应的P点的运动路径是:P点出发秒首次到达点B；

(3)补全图3中函数图象.

【解析】(1)图像为正比例函数的一部分，过点(2,1),即得：s=$(CO)；

(2)根据纵坐标的变化，可知运动路线为。-A-N,令s=[=5,得：f=10;

2

(3)如图.

【总结】考查动点问题的应用，主要运动过程中的量的变化.

三，，能力实践

【习题1】与函数y=-3x的图像关于x轴对称的图像的函数解析式为.

【答案】y=3x.

【解析】函数图像关于轴对称，即对同一个x值而言，y值互为相反数，任取函数图像上一点

即可确定对称的函数解析式为y=3x.

【总结】根据题目条件在原函数上找一些相应的特殊点进行解题计算.

【习题2】某水库在汛期当水库内贮满水时，泄洪闸会自动打开，到水库内剩下一半水量时停止排水，当

水库再次注满水后，又一次自动将水量排剩一半，假设水库的进水量和排水量都是匀速的，这一过程中

水库的存水量v与时间f之间函数关系的大致图像是

()

【答案】D

【解析】依题意可得水库水量最低位为原水量一半，从全满到排到一半到全满，没有排空的过

程，即可排除A、B、C选项，D正确.

【总结】考查根据描述的情境题目确定相应的大致函数图像.

【习题3】小张第一次离家到县城上学，假期回家写了一首小诗：“首次离家今日返，父亲早早到车站，父

子见面细端详，双双高兴把家还若用y表示小张和父亲行进中离开家的距离，用x表示父亲离家的时

间，则与诗意大致吻合的图像是（）

【答案】B

【解析】依小诗所表达的题意可知父亲比小张早到车站，小张再经过一段时间后才到达车站与

父亲碰面，两人在车站聊了一会才回家的，在函数图像上的反馈即为B选项.

【总结】考查根据描述的情境题目确定相应的大致函数图像.

【习题4】某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费，若每月用水不超过7/,则

按1元加？收费；若每月用水超过7加，则超过部分按2元加3收费.如果某居民户今年5月缴纳了17元

水费，那么这户居民今年5月的用水量为多少立方米？

【答案】12.

【解析】设居民用水量为尤立方米，用水量不超过7加时，最高收费为7元，现收费17元，可

知X27,则用费应该分段计算，依题意则有7+2（x-7）=17,解得：x=12,

即这户居民5月用水量为12立方米.

【总结】考查函数的分段问题.

【习题5】某市的空调公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）5公里以内（含5公里），票价2元.（不足5公里的，按5公里计算）

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元.已知相邻的两个公共汽车站之间相距1公里，如果沿

途（包括起点和终点）共有21个站点，请根据题意，写出票价y与里程x之间的函数解析式，并画出函

数图象.

2（0<x<5）

3（5<X<10）gm

【答案】y=\\，、，图像略.

4（10<x<15）

5（15<x<20）

【解析】全程共有21个站点，每两个站点相距1公里，可知全程为20公里，每5公里票价增

加1元，可将函数分为4段，每段为5公里，由此即得：当0<x45时，y=2；

当5<x410时，y=3;当10<x415时，y=4;当15<x420时，y=5,图像略.

【总结】考查分段函数的应用，根据题意确定好分段标准即可.

【习题6】夏日的一个星期六，小红全家上午8时自驾车从家出发，到距她家180b"的一旅游景点去玩，

若小红离家的距离s（初?）与时间/（/?）的关系可以用下图中的折线表示，根据图象提供的信息，解答下

列问题：

（1）小红全家是几点钟到达目的地?游玩了多少小时？

（2）求出返程途中，距离s（km）与时间f（力）的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）：

（3）小红全家是什么时间到家的?返回时小汽车的平均速度是多少？

点钟到达目的地，10-14时期间在旅游景点，可知全家游玩时间为14-10=4力；

（2）设函数解析式为5=公+人，函数过点

ly解得：…M440,即得相应函数关系式为

(14,180),(15,90),则有

s=-90/+1440；

(3)令s=-90r+1440=0,解得：r=16,即小红全家16点到家,

返回时小汽车平均速度为180+（16-14）=90加/〃.

【总结】考查根据函数图像确定相应的运动情况，根据横纵坐标轴表示的量确定相应的函数关

系.

【习题7】用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系，寄宿生

小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小

敏每次用半盆水（约5升），如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还

有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克.

（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式；（2）当洗衣粉的

残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为

什么？

【答案】（1）小红：y=』，小敏：%=2；（2）小敏.

2xx

【解析】（1）根据题意可分别设小红、小敏洗衣粉残留量与漂洗次数解析式为y=&和

X

%=%，函数分别过（1,1.5）和（1,2）,即可得：仁=1.5,占=2,即得相应函数解析式分别

X

为y=-和必=2；

2xx

（2）令x=2=（）.5,解得x=3,小红漂洗干净至少用水3xl0=30L;令%=2=0.5,

2xx

解得：x=4,小敏漂洗干净至少用水4x5=20L；20<30,从节约用水来说，

可知小敏的漂洗方法值得提倡.

【总结】考查反比例函数的实际应用问题，根据题目条件解决问题.

【习题8】依法纳税是每个公民应尽的义务.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月收入不超过

3500元，不需交税；超过3500元的部分为全月应纳税所得额，都应纳税，且根据超过部分的多少按不同

的税率纳税，详细的税率如下表：

级别全月应纳税所得额税率（％）

1不超过1500元的3

2超过1500元至4500元的部分10

3超过4500元至9000元的部分20

4超过9000元至35000元的部分25

.•.

(1)某工厂一名工人2016年5月的收入为4000元，问他应交税款多少元？

(2)设x表示公民每月收入(单位：元)，y表示应交税款(单位：元)，当6000WxW8000时，请写出

y关于x的函数关系式；

(3)某公司一名职员2016年8月应交税款600元，问该月他的收入是多少元？

【答案】(1)15；(2)y=10%x-455；(3)9275元.

【解析】(1)月收入4000元，则全月应纳所得税额为4000-3500=500元，根据税率表，则

应交税款为500x3%=15元；

(2)6000WxW8000时，全月应纳所得税额25004X-350044500,由此可得应交税款分为两

部分，则有y=15(X)x3%+(x-35(X)-15(X))-10%=10%x-455;

(3)若工资在8000元以下，最高税款为10%x8000-455=345元，工资在12500元以下，最

高税款为20%x4500+10%x3000+3%xl500=1245元，可知该职工收入在

8000-12500之间，依题意有345+20%(彳-8000)=600,解得：x=9275,

即这名职工该月收入为9275元.

【总结】考查分段函数的实际应用，纳税问题，注意先判断所处范围再进行计算.

【习题9】如图，在甲、乙两同学进行400米跑步比赛中，路程s(米)与时间，(秒)之间的函数关系的

图像分别为折线OA8和线段OC,请根据图上信息回答下列问题：

(1)先到达终点；

(2)第秒时，追上；

(3)比赛全程中，的速度始终保持不变；

(4)写出优胜者在比赛过程中所跑的路程6(米)与时间/(秒)之间的函数关系式

(4/1、

【答案】（1）乙；