2021年高中数学人教B版选择性必修第三册分课时全册同步练习

【新教材】2021年高中数学人教B版选择性必修第三册分

课时全册教学案

同步练习（一）数列的概念

一、选择题

1.下面有四个结论，其中叙述正确的有（）

①数列的通项公式是唯一的：②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的

函数；③数列若用图像表示，它是一群孤立的点；④每个数列都有通项公式.

A.①②B.②③

C.③④D.@@

[3〃+1,〃为奇数，

2.数列的通项公式为.汨.给则6“3等于（）

[zn—2,〃为偶数，

A.70B.28

C.20D.8

〃—1

3.已知数列｛%｝的通项公式是册=布，那么这个数列是（）

A.递增数列B.递减数列

C.常数列D.摆动数列

4.观察数列2,5,10,17,x,37,…的特点，则x等于（）

A.24B.25

C.26D.27

二、填空题

_5.观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1,小,小，,3,

y/n,….

6.数列11,103,1005,10007,…的一个通项公式是.

7.己知数列的通项公式为斯=/—8〃+15,则3为此数列的第项.

三、解答题

8.写出下面各数列的一个通项公式.

1371531

（z%不116,亚…；

(3)6,66,666,6666,….

9.已知数列｛“〃｝的通项公式为斯=30+〃一标.

(1)-60是否为这个数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由;

(2)当“分别为何值时,〃”=().〃“＞供

(3)当〃为何值时，4取得最大值？并求出最大值.

[尖子生题库]

10.已知数列｛斯｝中，%=/一桁(〃£N+),且｛为｝单调递增，则力的取值范围是()

A.(一8,2]B.(一8,3)

C.(一8,2)D.(-8,3]

同步练习(一)数列的概念

1.解析：①数列的通项公式不唯一，错误，②正确，③正

确，④数列不一定有通项公式.

答案：B

2.解析：由通项公式得42=2X2—2=2,43=3X3+1=

10,所以包俏=20.

答案：C

.„n-12

3.解析：=.+]=]—.+],

2/2、22

当〃22时，。〃一飙-尸1_1_[1_1=[_币=

2

疝大＞0,所以｛飙｝是递增数列.

答案：A

4.解析：将数列变形为12+1,22+1,32+14+1,…,于是

可得已知数列的一个通项公式为斯=/+l(〃£N+),当n=5时,

O5=52+1=26,故x=26.

答案：C

5.解析：由于数列的前几项的根号下的数是由小到大的奇

数，所以需要填空的数为6.

答案：s

6.解析：0=10+1=101+1,

42=100+3=102+(2X2—1),

的=1000+5=103+(2X3-1),

•••

所以④=10〃+2〃-1.

=

答案：an10"+2〃-1.

7.解析：令扇=〃2—8/2+15—3,即n2—8〃+12=0,解得

〃=2或6.

答案：2或6

8.解析：(1)这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1,

2”-1

h2,3,45

且分母依次为22222,所以它的一个通项公式为an=yi.

(2)这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值

可看作分母依次为1,234,5,6,分子依次为131,3,1,3,所以它

r1

〃=2%—1(止N+),

的一个通项公式为a〃=<

n=2k(kGN+).

(3)这个数列的前4项可写为|(102-1),|(103-1),

!(104—1),所以它的一个通项公式为飙=3(10〃-1).

9.解析：(1)令30+〃一层=—60,即〃2—〃—90=0,

解得麓=10.〃=—9(舍去),

，一60是这个数列的第10项,即0()=-60.

(2)令30+H—n2=0,即n2—n—30=0,

解得n=6或〃=一5(舍去)，

即当九=6时,斯=0.

令30+〃一层>0,即/一〃一30V0,

解得一5<〃<6.

又〃£N+,

，当_=1,2,3,4,5时,的>0.

(3)。〃=30+〃_〃2=_77-,

♦・・〃£N+,・•・当〃=1时，。〃取得最大值，最大值为30.

10.解析：a,i+\一斯=(〃+1)2—k[n+1)—/+初=2〃+1—k,

又｛〃〃｝单调递增，故应有4〃土]—4〃>0,即2〃+1—后>0恒成立，

分离变量得M2〃+l,故只需左<3即可.

答案：B

同步练习(二)数列中的递推

一、选择题

1.已知数列｛斯｝满足：«1=-7»斯=1一」—(〃22),则44等于()

30/1-1

41

A--

5B.4

2.已知数列｛如｝中，。尸1,淤=1,则数列｛4〃｝的通项公式是()

=B.呢=石

A.an2n

C.。”=2"-1D.

3.符合递推关系式时=小%7的数列是()

A.1,2,3,4,…B.1,蜴2,2①…

C.柩2,巾,2,…D.0,、伉，2,2啦，…

4.已知数列｛〃”｝中，3=2,斯=一」一(〃22),则。2019=()

念一1

A.一］

C.2D.-2

二、填空题

5.已知数列｛斯｝满足内=1,斯=2斯-1+1(〃22),则。5=.

6.设Sf为数列｛斯｝的前〃项和，若2S”=3斯一3,则。4=.

7.已知数列｛〃“｝中，。1=1,敢=2,且％•a”+2=a“+i(〃£N)则。2019的值为

三、解答题

8.已知数列｛斯｝的第1项是2,以后的各项由公式%=7^口一(/:=2,3,4,…)给出，写

14”I

出这个数列的前5项，并归纳出数列｛斯｝的通项公式.

9.已知“1=1,a,,+］—a„=2,求数列｛斯｝的一个通项公式.

［尖子生题库I

10.已知数列｛斯｝满足s

同步练习(二)数列中的递推

一1141

1.解析：由题知a=l——=5,a=\——=7,a4=\——

2Cl\3。23的

1

~~4'

答案：C

2.解析：til—1,。2=1，。3=不〃4=g,观察得=

答案：C

3.解析：由递推公式可知符合该递推公式的数列，每一项

的碑倍为后一项，所以只有B符合.

答案：B

4.解析：法一：曰已知可得，。1=2,。2=—的=2,a4

=-2，・'・｛〃〃｝是周期为2的数列，则。2019=0009X2+1=〃1=2.

法二：***Cln~-("22),Cln+2=—=々〃，，｛4〃｝是

斯-1斯+1

周期为2的数列，则02019=0009x2+1=0=2.

答案：C

5.解析：因为41=1,4”=2。”一1+所以。2=3,。3

=7,。4=15,所以〃5=2加+1=31.

答案：31

6.解析：根据2S〃=3a〃-3,可得2s〃+i=3斯+】-3,两式相

减得2Q〃+I=3Q〃+I—3Q〃，即。〃+1=3。〃，当〃=1时，2s1=3。1—

3,解得0=3,所以。2=9；6=27；处=81；故答案为81.

答案：81

7.解析：因为Q〃•斯+2=a〃+i(〃£N*),由0=1,。2=2,得

。3=2；

由。2=2,(73-2,得。4=1；

由的=2,。4=1,得。5=］；

由〃4=1,。5=］，得。6=］；

由的=］,〃6=/,得〃7=1；

由。6=］，。7=1,得々8=2

由此推理可得数列｛Z｝是一个周期为6的周期数列，所以02

019=。3=2・

答案：2

8.解析：可依次代入项数进行求值.

-22

〃1=2,6?2=|_2—-2,a3=1-(-2)

2

-3_2

3J'］一亍

1{V

2

-5_2

的-72;\=-

1十多

即数列｛0｝的前5项为2,-2,一右222

—2—2—2—2—

也可写为二T丁，~9~9~7

即分子都是一2,分母依次加2,且都是奇数，所以Q〃=一

/(〃”).

=

9.解析：法一：(叠加法)=an+\—an29Aai-a\

=2,的一念=2,图一的=2,…,斯—%-1=2(〃22),将这些式

子的两边分别相加得(。2—。1)+(的一。2)+(。4—Q3)H-----\-(an—an-\)

=2(〃-1),即Q〃一〃1=2(〃-1),又。］=1,/.an—2n—1(〃22),

当〃=16，©=1也满足上式，故数列｛念｝的一个通项公式为。〃

法二：(迭代法)a〃=a〃—i+lX2=a〃—2+2X2=…=al+(〃一

l)X2=2"—1(〃22),当n=\时，0=1也满足④=2〃-1,故

破列｛〃〃｝的一个通项公式为a„=2n-1.

1。.解析：由条件知攀=M,分别令-123,

—1,代入上式得n~\个等式,喘嗝…念=91蒋

n—12._2

X・・・X---.又•・•©

na\n3,・・白〃一3犷

2

答案：而

同步练习（三）等差数列的定义

一、选择题

1.已知等差数列｛为｝的前三项依次为a+1,2a+3,则此数列的通项公式为（）

A.an=2n—5B.3

=

C.an2n~1D.。“=2〃+1

2.在等差数列｛%｝中，若。2=4,04=2,则。6=（）

A.-1B.0

C.1D.6

3.若数列｛斯｝满足3〃“+|=3&+1,则数列是（）

A.公差为1的等差数列

B.公差为1的等差数列

C.公差为一上的等差数列

D.不是等差数列

4.等差数列20,17,14,11,…中第一个负数项是（）

A.第7项B.第8项

C.第9项D.第10项

二、填空题

5.已知等差数列一8,—3,2,7,…，则该数列的第100项为.

6.已知数列｛%｝中，内=3,斯=斯-1+3（〃22）,则斯=.

7.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是

三、解答题

8.若｛%｝是等差数列,015=8,460=20,求475的值.

9.在数列｛斯｝中，«1=1,即“=2%+2".设儿=黄，证明:数列仍〃｝是等差数列.

［尖子生题库I

10.已知数列｛斯｝满足s=2,即+|=坐不

(1)数列｛5｝是否为等差数列？说明理由；

(2)求an.

同步练习(三)等差数列的定义

1.解析：•・•〃-1,a+l,2a+3是等差数列｛〃〃｝的前三项,

A2(a+l)=(a-l)+(2a+3),解得a=0,

1=-2=3=

・・。19。1，。3,

=

：.d=2,/.an—1+2(〃-1)=2〃-3.故选B.

答案：B

2.解析：方法一：设｛源｝的首项为ai,公差为d,则有

U\+d=4,m=5,

得占T,所以恁/+5d=0.

ci\+3d=2,

方法二：在等差数列｛〃”｝中，因为。2,。4,46成等差数列，

即44是。2与。6的等差中项.所以。6=2。4一々2=2X2—4=0.

答案:B

3.解析：由3a〃+i=3a〃+1,得3z+i—3a〃=l,即a〃+|—a〃

=；.所以数列｛z｝是公差为g的等差数列.

答案：B

4.解析：0=20,d=-3,・・・Q〃=20+(〃-1)X(—3)=23

—3/7,Aa7=2>0,as=-1<0.

答案：B

5.解析：依题意得，该数列的首项为-8,公差为5,所以

moo=-8+99X5=487.

答案：487

6.解析：因为九22时，at—an-\=39

所以｛。〃｝是以m=3为首项，公差d=3的等差数列.

所以瓢=。1+(〃-l)d=3+3(〃-1)=3〃.

答案：3〃

7.解析：设〃〃=-24+(〃一l)d,

。9=-24+8/W0,8

由'.0=-24+9^0,解得内

(-

答案：忤Q3

8.解析：法一：因为｛〃〃｝是等差数列，设公差为d,

m+14d=8,

由05=8,。60=20,得

m+59d=20,

_64

3=1?

解得q

644

所以。75=〃1+74d=]q+74X],=24.

法二：因为缶〃｝为等差数列，

所以415,。30,。45,。60,。75也为等差数列.

设这个等差数列的公差为乩则05为首项，。60为第4项,

所以。60=05+34即20=8+3",解得d=4,

所以075=46()+1=20+4=24.

法三：因为｛Z｝是等差数列，设其公差为d.

因为。60=05+(60-15)",所以

oO—1313

4

所以。75=。6。+(75—60)d=20+15义百=24.

a\2a+2H

9.证明：由已知a[+]=2a〃+2"得b〃+i=n+nCLn

2〃—2n~2,l~l

+1=6”+1.

又b\—1,

因此｛儿｝是首项为1,公差为1的等差数列.

10.解析：（1）数列是等差数列.理由如下：

因为QI=2,Q〃+I=.+2'

的___服+211

所以z+i-2a〃一2+a”，

6111

所以----广=石

Un+\a〃/

即旧4是首项为2=；，公差为的等差数列・

[Un）Cl\ZZ

11YI

⑵由⑴可知,丁=7+（〃-Dd=5，

UnU|乙

2

所以。〃=7

同步练习（四）等差数列的性质

一、选择题

1.若｛。“｝是等差数列，且。|+。4+。7=45,。2+。$+。8=39,则°3+。6+。9=（）

A.39B.20

C.19.5D.33

2.等差数列｛为｝中，m+的=10,以=7,则数列｛为｝的公差为（）

A.1B.2

C.3D.4

3.已知等差数列M”｝满足。1+。2+的+…+。101=0，则有（）

A.4i+aioi>0B.。2+。1。1<0

C.。3+。99=0D.fl5|=51

4.已知｛a“｝、｛瓦｝是两个等差数列，其中ai=3,瓦=—3,且a/—比0=6,那么研一

加）的值为（）

A.-6B.6

C.0D.10

二、填空题

5.等差数列｛。〃｝中，ai+3a8+。15=120,则2a9—mo的值是.

6.若5,x,y,n,21成等差数列，则x+p+z=.

7.17+小，13一小的等差中项为.

三、解答题

8.四个数成递增等差数列，中间两数的和为2,首末两项的积为一8,求这四个数.

9.(1)已知等差数列｛。”｝中，〃2+。6+。10=1，求。4+。8的值;

(2)设｛〃”｝是公差为正数的等差数列，若。1+。2+。3=15,4心2。3=80,求。||+。12+。13

的值.

［尖子生题库I

10.若方程(/一入+机)(f—2x+〃)=o的四个根组成一个首项为:的等差数列，则加一

川=()

A.1B.q

C2Dl

同步练习（四）等差数列的性质

1.解析：由题意知，〃1+。4+〃7,/+的+恁，俏+劭+的

成等差数列，所以43+。6+49=2（42+45+。8）—（。1+〃4+。7）=33.

答案：D

2.解析：由题知+45=2。3=10，所以。3=5,又〃4=7,

所以公差d=〃4一的=2.

答案：B

3.解析：根据性质得：。1+001=。2+。100=…=。5。+。52=

2a51，由于2T-----1-^101=0,所以。51=0，又因为。3+。99=

2^1=0,故选C.

答案：C

4.解析：由于｛念｝、｛4｝都是等差数歹（I,所以｛a〃一①｝也是

等差数列，而小一仇=6,。20—^20=6,所以｛〃"一儿｝是常数列，

故So—%10=6.故选B.

答案：B

5.解析：因为。1+3。8+。15=5恁=120,所以恁=24,所以

2如-aio=So+。8-Qio=a8=24.

答案：24

6.解析：方，x,y,z,21成等差数列，・•・〉，是5和21的等

差中项也是x和Z的等差中项，・・・5+21=2y,.\y=13,x+z=

2y=26,.•.x+y+z=39.

答案：39

7.解析：设工为其等差中项，则.=17+遮;13—小二当

=15.

答案：15

8.解析：设这四个数为a—3d,a—d,a+d9a+3d（公差

为2d）,

依题意，2a=2,且（a—3团（。+3<7）=—8,

即。=1,9/=-8,

C.d—1或d=-l.

又四个数成递增等差数列，所以办0,

・"=1,故所求的四个数为一2,0,2,个

9.解析：（1）法一：根据等差数列的性质念+00=。4+恁=

2a6,

由。2+。6+。10=1,

得3a6=1,解得。6=§,

2

・・。4+。8=2。6=1

法二：设公差为力根据等差数列的通项公式，

得。2+46+。10=(。1+d)+(〃l+5J)+(ai+96?)=34］+15d,由

题意知，3m+l5d=1,即ai+5d=/

2

・・处+。8=2。1+10d=2(a1+5tZ)=1.

(2)设公差为d,・・71+6=2。2,

・・0+偿+。3=15=3。29

・・。2=5.

又0〃2的=80,｛。〃｝是公差为正数的等差数列，

tz1=(5—d)(5+d)=\6^d=3或d=—3(舍去)，

•・。12=〃2+1Orf—35,|+02+。］3=3。［2=105.

10.解析：设方程的四个根。1,。2,。3,。4依次成等差数列,

则。］+。4=。2+。3=2,

再设此等差数列的公差为乩则2©+3"=2,

・・-1・,一1

•ci\—4，・-2，

・1,131,15

••。2=4+爹-不的=彳+1=4，

1.37

。4=/5=不

A\m1—n7\=\a\a4—a2a3\

_

X-35_j_

444X4=2,

答案：C

同步练习(五)等差数列的前〃项和

一、选择题

1.在等差数列｛%｝中，。2=1，6/4=5,则｛%｝的前5项和£=()

A.7B.15

C.20D.25

2.等差数列｛〃“｝的前〃项和S“=/+5%则公差d等干()

A.1B.2

C.5D.10

3.设S〃是等差数列｛斯｝的前〃项和，若41+03+05=3,则Ss=()

A.5B.7

C.9D.11

4.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为

()

A.5B.4

C.3D.2

二、填空题

5.记等差数列｛诙｝的前〃项和为S”，若改=-3,S5=-10,则。5=，S”的最

小值为.

6.记等差数列前〃项和为S”若S2=4,S4=20,则该数列的公差"=.

7.若等差数列｛为｝满足。7+方+。9>0,田+。10<0,则当〃=时，数列｛d｝的前

n项和最大.

三、解答题

8.等差数列｛斯｝中,一=30,420=50.

(1)求数列的通项公式；

(2)若S〃=242,求〃.

9.记£为等差数列｛«“｝的前〃项和，若°4=1,S5=10,则当&取得最大值时，求〃

的值.

［尖子生题库I

10.数列｛外,｝中，41=8,。4=2,且满足为+2—2a”+i+a“=0(〃WN*).

(1)求数列｛〃”｝的通项公式；

(2)设工=同+㈤+…+㈤,求S”.

同步练习(五)等差数列的前〃项和

1.解析：设｛为｝的首项为Q"公差为"，则有

U\~\~d=19U\=-19

..,,所以L—r

ci\।3u—59[d—29

5X4

所以S5=5m+-"=15.

答案：B

2.解析：Vt/i=S，i=6,ai+a2=S2=14,/•（72=8t/=ci2

一U\=2.

答案：B

3.解析：法一：•.•0+。5=243,

・'・Q]+的+。5=3的=3,

的=1，

5（。1+。5）,,S1L

^•Ss=5=5Q3=5,故选A.

法二：•••〃1+43+。5=。1+（。1+267）+（〃1+4^/）=3。]+6d=3,

・'•0+2d=19

5X4

.\Ss=5a\+2d=5(a\+2cT)=59故选A.

答案：A

4.解析：由题意得S偶一S奇=5"=15,

:.d=3.

5m+20d=15,

或由解方程组

5ai+25d=30,

求得d=3,故选C.

答案：C

5.解析：等差数列｛。〃｝中，55=5a3=—10,得的=-2,

又做=—3,所以公差〃=的一。2=1，。5=〃3+2/=0,由等差数

列｛为｝的性质得篦<5时,④W0,时，a〃大于0,所以S”的

最小值为§4或Ss,即为一10.

答案：0—10

S2=2a1+d=4,

6.解析：法一：由，

5*4=4cii+6d=20.

解得d—3.

法二：由SA—52=的+。4=。1+2d+a2+2d=S2+4d,

，20—4=4+4d,

解得d=3.

答案：3

7.解析：Vay+a^+ag=3as>0,。7+。1。=。8+的<0,

.•・。8>0,49Vo.

・••当〃=8时，数列｛4｝的前〃项和最大.

答案：8

8.解析：（1）设数列｛如｝的首项为的,公差为d.

aio=ai+9d=30,m=12,

则Q2o=m+19d=5O,解得

d=2,

=

**.anci\~\~(n—l)d=12+(〃-1)X2=10+2〃.

(2)由S〃=〃m+吗以及0=12,d=2,S〃=242,

乙

得方程242=12〃+吟6x2,即〃2+11〃—242=0,解得

〃=11或〃=—22(舍去).故”=11.

〃4=。1+3d=1

9m=4,

9.解析：由,5X4解得

Ss=5ci\+-2~d=10,

••・。5=〃1+43=0,，S4=S5同时最大.

.•.〃=4或5.

10.解析：(1)*.*6Z,7+2-2an+1+。〃=0.Qn+2-。什1=1-

=・・・=〃2一

I.｛。〃｝是等差数列且671=8,44=2,・"=-2,-1+(〃

—l)d=10—2n.

(2)・.・Q〃=10—2〃，令z=0,得〃=5.

当〃>5时，。〃<0；

当〃=5时，a〃=0；当〃<5时，。〃>0.

・••当n>5时，£=|。1|+咫|+…+|〃〃|=。1+@2+…+〃5—(〃6

+。7H-----1-4〃)

=S5一(S〃-S5)=2S5—S〃=2X(9X5—25)—9〃+/=/-9〃

+40,

当时，S〃=|m|+|a21T-----卜I*

=ai+a2H----Fa〃=9〃­/.

9〃一〃2,〃W5,

s—<

”[〃2—9及+40,n>5.

同步练习（六）等比数列的定义

一、选择题

1.在等比数列｛如｝中，42018=802017,则公比4的值为（）

A.2B.3

C.4D.8

2.在等比数列｛〃”｝中，a,i>0,且。1+。2=1,。3+。4=9,则。4+〃5的值为（）

A.16B.27

C.36D.81

3.等比数列｛“”｝的各项均为正数，公比为g,若『=4,则篇^的值为（）

A.1B.

C.2D.±2

4.在等比数列｛〃”｝中，m+s=10,。4+期=/则数列｛斯｝的通项公式为()

4nn4

A.an=2~B.a„=2

n3

C.an=2~D.。“=23一”

二、填空题

5.已知等比数列｛%｝中，aj=3,.0=384,则该数列的通项为=.

6.已知等比数列｛«〃｝中，41=2,且。4%=4司，则03=.

7.等比数列｛斯｝中，内=2,a5=4,则数列｛怆为｝的通项公式为.

三、解答题

8.已知等比数列｛为｝,若〃1+。2+。3=7,。1。2。3=8,求知.

9.已知数列｛小｝满足1,%“+1=25+1)4”，设6“=请.

(1)求bi，b2,也；

(2)判断数列｛儿｝是否为等比数列，并说明理由；

(3)求｛“〃｝的通项公式.

［尖子生题库|

10.已知数列｛。“｝满足m=l.即+i=2a〃+l.

(1)证明数列｛。”+1｝是等比数列；

(2)求数列｛%｝的通项公式.

同步练习（六）等比数列的定义

1.解析:由等比数列的定义知HZ=8.

答案：D

2.解析:已知m+。2=1,©+々4=9,

*,•炉=9,・・・q=3或一3（舍去），

・・。4+。5=（。3+。4）9=27.

答案：B

3.解析：由［2=4得q=±2,因为数列｛。〃｝各项均为正数，

所以4=2.

又因为々4=〃39，〃5=。㈣，所以。4+。5=43q+。妈=（的+。4切,

讦“s+s11

所以…一夕一2,

答案：A

5

四十四411

4.解析：设公比为q,则=^3=TO=8,所以夕=2，

。1+的

又4］+。3=。1+。1，2=10,所以。1=8,所以=8，2"1=2，

答案：A

9

解析：由已知得皆，，故

5.Qiq128=24=2.

nx2n3n3n3

所以an=a\q~=a\q*q~=ayq~=3X2~.

答案：3X2〃-3

6.解析：设等比数列｛为｝的公比为q,由等比数列的性质

并结合已知条件得a=4a朗4.

,4121

♦•夕=不［

43=41才=2*义=1.

答案：1

7・解析：•.■以5=。40,•*•<7=2,*'01=3=不

；・斯=/2〃।=2〃-3,1g斯=(〃-3)lg2.

答案：lgaw=(n—3)lg2

8.解析：法一：因为〃1〃3=星，

4142a3=应=8,所以々2=2.

。1+。3=5,

从而

0。3=4,

解得0=1,的=4或。1=4,6/3=1.

当0=1时，q=2・,当0=4时，q=g.

故功=2"f或功=23?

法二：由等比数列的定义，知。2=。1］，。3=。/.

a\+a\q+a\q2=l

代入已知，得「。9

0「。夕。1夕-=8,

ai(l+q+/)=7,

即

aiq3~89

,1(1+夕+,2)=7,①

即

Sciiq=2.②

21

将0=7代入①，得2q2—5q+2=0,所以0=2或

=1,尸4,

由②得(।，或，1

Z=2哼

3n

故斯=2〃-1或an=2~.

9.解析：(1)由条件可得。〃+1=(〃~Cln.

将〃=1代入得，的=441,而m=l,所以做=4.

将〃=2代入得，。3=3。2,所以。3=12.

从而8=1,岳=2,左=4.

⑵｛儿｝是首项为1,公比为2的等比数列.

由条件可得篙=等，(构造法)即bn+1=2b〃,又从=1,

所以｛儿｝是首项为1,公比为2的等比数列.

⑶由(2)可得詈=2〃j所以劣=〃2门.

10.解析：（1）法一：因为④+1=2%+1,

所以a〃+i+1=2（。〃+1）.

由0=1,知41+170,从而④+1知0.

a〃+i+1

所以=2（〃EN+）.

an+1

所以数歹此。〃+1｝是等比数列.

法一：由=1,

知。1+1W0,从而〃〃+1W0.

E、L〃〃+I+1〜、

因为工TF=2aFn-\H-1+-1=2£(ahfJ+=1)2(〃eN+)'

所以数列m〃+i｝是等比数列.

(2)由(1)知｛如+1｝是以m+l=2为首项，2为公比的等比数

所以。〃+1=2X2〃—1=2〃，即④=2〃一1.

同步练习(七)等比数列的性质

一、选择题

1.等比数列｛斯｝的公比q=一/ai=y/2,则数列｛。“｝是()

A.递增数列B.递减数列

C.常数数列D.摆动数列

2.对任意等比数列｛为｝,下列说法一定正确的是()

A.a\＞。3,。9成等比薮列

B.a29由成等比数列

C.(72＞。4，成等比数列

D.。3,%，。9成等比数列

3.若1,8，取4成等差数列；1,历,岳，以4成等比数列，则石产的值等于()

A.-gB.1

C.D4

4.已知数列｛“〃｝满足10g3G“+1=10g30H1（〃£N+）,且42+44+。6=9,则10或。5+。7+

。9）的值是（）

A.-5B.

C.5D.1

二、填空题

5.在等比数列｛d｝中，各项都是正数，”皿］0+的的=41,a4a8=4,则a4+as=

6.等差数列｛a”｝的公差dWO,“1=20,且的,由，。9成等比数列，贝Ud=______.

7.在等比数列｛a〃｝中，若敢，的是方程x2—3工+6=0的两个根，则“36=一.

三、解答题

8.在递增等比数列｛诙｝中，-3=64,的+。7=20,求。11的值.

9.三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三

个数的和为6,求这三个数.

[尖子生题库I

10.设二次方程为x2一为+京+1=0（〃£1^）有两个根匿4且满足6a—2磔+64=3.

（1）试用。”表不Q”+i；

（2）当〃[=（时，求数列｛为｝的通项公式.

同步练习（七）等比数列的性质

I.解析：因为9=一30,所以｛飙｝是摆动数列.

答案：D

2.解析：因为成=的。9,所以的，。6,。9成等比数列.

答案：D

3.解析：、T,a\9。2,4成等差数列，

/.3（a2—。1）=4—1,二妆一m=1.

又・・・1,bi,岳，加3成等比数列，设其公比为q,则胡=

1X4=4,且岳=lXq2>（）,

.,C.0―。2—（。2..1）1

♦•岳=2，・・一^-=一瓦z-=一,

答案:A

4.解析：由题知log3Q〃+l=log3（3a〃）=log30?+l，

所以an+1—3a〃>0,所以:一=3,

所以｛。〃｝是公比为3的等比数列.

所以45+^7+〃9=（〃2+&|+。6均3=9X3'=3'，

答案：A

5.解析：a6aio="，a3a5=曷，tziH-tzi—41.

又。4。8=4,•**（。4+as）?=曷+〃&+2a4a8=41+8=49.

・・•数列｛〃〃｝各项都是正数，・・・〃4+〃8=7.

答案：7

6.解析：由的,密，。9成等比数列,则a3a9=鬲,

即（〃1+1+3d）=（m+6d）2,

化简得20"+20法=0,

由0=20,dWO,得d=-2.

答案：一2

7.解析：由题知。2・。8=6,根据等比数列的性质，。4&6=

。2，。8=6.

答案：6

8.解析：在等比数列缶〃｝中，

•,49=43♦♦由已知可得43，。7=64且Q3+。7=20.

。3=4,。3=16,

联立得或'

。7=1607=4.

♦••｛斯｝是递增等比数列，

・••取白3=4,dj—16»J16=4/,/•（y4=4.

/.an=a7-94=16X4=64.

9.解析：由已知，可设这三个数为a—d,0,a+d,则

a—d+a+a+d=6,:・a=2,

这三个数可表示为2—d,2,2+d,

①若2—d为等比中项，则有（2—02=2（2+6/）,

解得d=6或d=0（舍去）.此时三个数为一4,2,8.

②若2+d是等比中项，则有（2+02=2（2—J）,

解得d=—6或d=0（舍去）.

此时三个数为8,2,-4.

③若2为等比中项，

则22=（2+砌（2一人

・・"=0（舍去）.

综上可求得此三数为一4,2,8.

10.解析：（1）由根与系数的关系得，a+°=『侬

又6a—2姐+6£=3,所以

即原+i=上〃+；.

（2）因为。〃+1=呼什号

2

所以。〃+1—§=

「21

又0一§=]，

2111

故以一令是以£为首项，公比也为:1的等比数歹L2

223⑵

2I]

",所以数列｛。〃｝的通项公式为扇=]+[]1，.

同步练习（八）等比数列的前〃项和

一、选择题

1.等比数列｛小｝中，s=l,S6=63,则公比g的值为（）

A.2B.-2

C.4D.g

3

--a

2.在等比数列｛“〃｝中,32其前三项的和S3电，则数列｛斯｝的公比q=（）

A-1B1

C.一；或1或1

3.设等比数列｛为｝的前〃项和为S“，若m=3,且。2018+。2019=°，则S673等于（)

A.3B.2019

C.-3D.-2019

4.数列1,x,x2,•kI…的前〃项和为（)

1一/l-x"-1

AT=7B-rr

C.午三D.以上均不对

二、填空题

5.在数列｛斯｝中，s=2,&+i=2%,S“为｛小｝的前n项和.若S,=126,则n=

6.设等比数列｛〃”｝的公比4=提前〃项和为S”，则衿,

7.记等比数列｛为｝的前〃项和为S〃，若S3=3s，则公比g=.

三、解答题

R.记S”为等比数列｛%｝的前〃项和.已知,8=2.S3=-6.

⑴求｛为｝的通项公式；

(2)求Sn.

9.已知等差数列｛为｝的公差介0,首项m=l，m，。2,。5成等比数歹U.

(1)求数列｛斯｝的通项公式：

(2)若数列｛儿｝满足儿=2"+外，求数列仙〃｝的前〃项和£.

［尖子生题库|

10.已知数列｛〃“｝满足6=1.a„\\—a„=2,等比数列｛儿｝满足滴=5,ZM―4+L

(1)求数列｛%｝,｛儿｝的通项公式；

(2)设Cn=aM，求数列｛如｝的前n项和Sn.

同步练习(八)等比数列的前〃项和

1.解析：当q=l时，56=6ai=6^63,不符合题意,

当qWl时，S6=0（1—"）=F^=63,将选项代入检验，

1~q1~q

可得q=2.

答案：A

t39、

2.解析：由题意，可得41+。1'+口］12=5，两式

相除，得1+十］,解得q=-J或1.

q乙

答案：c

3.解析：由。2018+。2019=0可得数列的公比为9=-1,故

5673=。673=。1=3・

答案：A

4.解析：利用分类讨论的思想，对x=0,x=l,xWl且

xNO进行分析.

当x=0时，数列为1,0,0,…，0,前〃项和为S〃=l；

当x=l时,数列为1,1,1,1,前〃项和为S〃=〃；

当xWl且xWO时，数列为等比数列，且首项0=1,公比

诉|'/壬巧知《0(1一9〃)1X(1-XZ/)l-xn

q=x,所以刖n项和S=-■='.

n1-q\—x1—x

答案：D

5.解析：0=2,a〃+i=2a〃,

.••数列｛为｝是首项为2,公比为2的等比数列，又・・・S〃=126,

.2(1—2〃)

=126,〃=6.

・1-2

答案：6

6.解析：・・・S4=0?—Q。4=。q3,

1—q

•&=E=15

答案：15

7.角平杆f1S3=+/+的=3的，，+。2=2。3,***a\0>

.\i+q=2q2,即2q2-q—[=0,.■均=—9或1.

答案：一;或1

8.解析:(1)设｛。〃｝的公比为夕.

41(1+夕)=2,

由题设可得，

々1(1+夕+=2)=-6.

tzi=—2,

解得

q=-2.

故｛〃〃｝的通项公式为。〃=（一2）〃.

-2X[1—(-2)'1

(2)由(1)可得S〃=

1-(-2)

2.2〃+i

=-3+(-1)--

9.解析：⑴由题意可得成=防的,即（防+的2=内（4]+甸,

得（1+J）2=1+4%整理得d（d—2）=0,

解得d=0或d=2.

又因为力＞0,所以"=2.

所以a〃=2